1、第八单元 推理与证明第 43 讲 合情推理与演绎推理1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是( )A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大2.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：“若 a，bR，则 ab 0ab”类比推出“若 a，bC ，则 ab0ab” ；“若 a，b，c，dR ，则复数 abicdi ac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ ，则 ab cd ac，bd” ；2 2“若 a，bR，则 ab 0ab”类比推出“若 a，bC ，则 ab0ab” 其中类比得到的结论正确的个数是( )A0
2、 B1C2 D33.观察图中各正方形图案，每条边上有 n(n2) 个圆点，第 n 个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和 Sn 与 n 的关系式为( )AS n2n 22n BS n2n 2CS n4n 23n DS n2n 22n4.ABC 中，若 sin Asin Bb，那么 ”，假设内容应是( )3a3bA. B. 0)的焦点为 F，点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P 3(x3，y 3)在抛物线上，且 2x2 x1x 3，则有( )A|FP 1| FP2|FP 3|B|FP 1|2|FP 2|2|FP 3|2C2|FP 2|FP 1|FP 3|D|FP 2
3、|2| FP1|FP3|3.已知 a，b，c 都是正数，则三数 a ，b ，c ( )1b 1c 1aA都大于 2 B都小于 2C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 24.已知集合 A( x，y )|x n，y nab，nZ，B(x，y)|x m， y3m 212，mZ 若存在实数 a，b 使得 A B成立，称点(a，b)为“”点，则“”点在平面区域 C(x，y )|x2y 2108内的个数是( )A0 B1C2 D无数个5.在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确例如：在ABC 中，若 ABAC，P 是ABC 内一点，
4、APBAPC，求证：BAPCAP ，用反证法证明时应分：假设_和_两类6.设 S 是至少含有两个元素的集合在 S 上定义了一个运算“*”(即对任意的a，bS，对于有序元素对(a ，b) ，在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应)若对任意的a，bS，有 a*(b*a)b，则对任意的 a，bS，下列恒成立的等式的序号是 _(a*b)*aaa*(b*a)*(a*b)ab*(b*b) b(a*b)* b*(a*b)b7.设 a，b 是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a 2b 22；ab1.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是 .(填序号)8.叙述并证明余弦定理9.
5、若正整数 Na 1a 2 a n(akN *，k1,2，n) ，则称 a1a2an 为 N的一个“分解积” (1)当 N 分别等于 6,7,8 时，写出 N 的一个分解积，使其值最大；(2)当正整数 N(N2) 的分解积最大时，证明：a k(kN *)中 2 的个数不超过 2；(3)对任意给定的正整数 N(N2)，求出 ak(k1,2，n )，使得 N 的分解积最大第八单元 推理与证明第 43 讲 合情推理与演绎推理1A 由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为 5 的三白二黑的圆列，因为 3657 余 1，所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相同，即白色2C 因为虚数不
6、能比较大小，所以 错误，故选 C.3A 事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当 n2 时有 S24，分别代入即可淘汰 B， C，D 三选项，从而选 A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为 4 的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前 n1 项和，即 Sn(n1)4 42n 2 2n.n 1n 224B 因为 sin Asin B0，所以 cos(C )0，所以 cos CCAP67 若 a ，b ，则 ab1，12 23但 a2，故推不出；若 a2，b3，则 ab1，故推不出；对于，即 ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 ab
7、2，与 ab2 矛盾，因此假设不成立，故 a，b 中至少有一个大于 1.8解析：叙述：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍或：在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，有a2b 2c 22bccos A，b2c 2a 22cacos B，c2a 2b 22abcos C.(证法一) 如图，a2 2BC ( )( )AC AB AC AB 22 2AC AC AB AB 22| | |cos A 2AC AC AB AB b 22bccos Ac 2，即 a2b 2c 22bc cos A.同理可证 b2c 2a 22ca cos B，c
8、2a 2b 22abcos C，(证法二) 已知ABC 中，A，B，C 所对边分别为 a，b，c，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂线为 y 轴建立直角坐标系，则 C(bcos A，b sin A)，B(c, 0)，所以 a2|BC| 2( bcos Ac )2(bsin A) 2b 2cos 2A2bccos Ac 2b 2sin 2Ab 2c 22bccos A，即 a2b 2c 22bc cos A.同理可证 b2c 2a 22ca cos B，c2a 2b 22abcos C.9解析：(1)633，分解积的最大值为 339；732234，分解积的最大值为 322341
9、2；8332，分解积的最大值为 33218.(2)证明：由(1)可知，a k(k1,2，n)中可以有 2 个 2.当 ak(k1,2，n)有 3 个或 3 个以上的 2 时，因为 22233，且 2224，因为 ai2(ai2)，所以将 ai 分解为 2(a i2)会使得分解积更大综上所述，a k(k1,2，n)中只能出现 2 或 3 或 4，且 2 不能超过 2 个，4 不能超过1 个于是，当 N3m(mN *)时，N 使得分解积最大；3 3 3m个当 N3m1(mN *)时，N 22 4 使得分解积最大；3 3 3m 1个 3 3 3m 1个当 N3m2(mN *)时，N 2 使得分解积最大3 3 3m个
