1、基础巩固强化一、选择题1直线 y x3 与抛物线 y24x 交于 A、 B 两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则梯形 APQB 的面积为( )A48 B56 C64 D72答案 A解析 由 Error!消去 y 得，x210x90，x1 或 9，Error!或Error!|AP |10，|BQ| 2 或者| BQ|10，|AP|2，|PQ|8，梯形APQB 的面积为 48，选 A.2过抛物线 y24x 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点 O 为坐标原点，则 的值是 ( )OA OB A12 B12 C 3 D3答案 D解析 设 A( ，y 1)， B( ，y 2)，则 (
2、 ，y 1)，y214 y24 OA y214 ( ， y2)，则 ( ，y 1)( ，y 2) y 1y2，又ABOB y24 OA OB y214 y24 y21y216过焦点，则有 y1y2 p24， y 1y2 43，故选 D.OA OB y1y2216 42163过抛物线 y24x 的焦点，作一条直线与抛物线交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( )A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案 B解析 由定义 |AB|527，|AB |min4，这样的直线有两条4已知 AB 是过抛物线 2x2y 的焦点的弦，若 |AB|4，则 AB的中点的纵坐标是(
3、 )A1 B2 C. D.58 158答案 D解析 如图所示，设 AB 的中点为 P(x0， y0)，分别过A，P，B 三点作准线 l 的垂线，垂足分别为 A，Q ，B，由题意得|AA | |BB |AB| 4，|PQ| 2，又| PQ|y 0|AA | |BB |2，y 0 2，y 0 .18 18 1585直线 y kx2 交抛物线 y28x 于 A、B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 k( )A2 或2 B1C 2 D3答案 C解析 由 Error!得 k2x24(k2) x40，则 4，即 k2.4k 2k26设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，
4、若 0，则 | | | |等于( )FA FB FC FA FB FC A9 B6 C4 D3答案 B解析 设 A、B、C 三点坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)、(x3， y3)由题意知 F(1,0)，因为 0，所以FA FB FC x1x 2x 33.根据抛物线定义，有| | | |x 1 1x 21x 313 36.故选 B. FA FB FC 二、填空题7已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 m 时，量得水面宽 8 m，当水面升高 1 米后，水面宽度是_m.答案 4 2解析 设抛物线拱桥的方程为 x22py，当顶点距水面 2 m时，量得水面宽 8 m，即抛物线过点(4，2)
5、代入方程得 164p，p4，则抛物线方程是 x28y ，水面升高 1 m 时，即 y1 时，x 2 .2则水面宽为 4 m.28已知抛物线 y24x 的一条过焦点的弦 AB，A(x 1，y 1)，B(x2， y2)，AB 所在直线与 y 轴交点坐标(0,2) ，则 _.1y1 1y2答案 12解析 弦 AB 是过焦点 F(1,0)的弦，又过点(0,2)，其方程为 x 1，y22xy20 与 y24x 联立得y22y40，y 1y 22，y 1y24， .1y1 1y2 y1 y2y1y2 2 4 12三、解答题9设抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B
6、两点，点 C 在抛物线的准线上且 BCx 轴，证明直线 AC经过原点 O.解析 因为抛物线 y22px(p0)的焦点为 F( ，0)，p2所以经过点 F 的直线 AB 的方程设为：x my 代入抛物线方p2程得：y 2 2pmyp 2 0若记 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 y1、y 2 是该方程的两个根，所以y1y2 p2因为 BCx 轴，且点 C 在准线 x 上，p2所以点 C 的坐标为( ，y 2)，p2故直线 CO 的斜率为：k ，y2 p2 2py1 y1x1即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点10已知抛物线 y2 x 与直线 yk(x 1) 相交于
7、 A，B 两点(1)求证： OAOB；(2)当 OAB 的面积等于 时，求 k 的值10解析 (1)如图所示，由 Error!消去 x 得，ky 2yk0.设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，由根与系数的关系得y1y21， y1y 2 .1kA， B 在抛物线 y2x 上，y x 1，y x 2，y y x 1x2.21 2 21 2k OAkOB 1，OAOB .y1x1y2x2 y1y2x1x2 1y1y2(2)设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0.令 y0，得 x1，即 N(1,0)S OAB S OAN S OBN |ON|y1| |ON|y2|12 12 |ON|y1y
8、2|，12S OAB 112 y1 y22 4y1y2 .12 1k2 4S OAB ，10 ，解得 k .1012 1k2 4 16能力拓展提升一、选择题11抛物线 y x2 的焦点关于直线 xy1 0 的对称点的坐标14是( )A(2，1) B(1，1)C ( ， ) D( ， )14 14 116 116答案 A解析 y x2x 24y ，焦点为(0,1)，其关于 xy 10 的对14称点为(2， 1)12设 O 是坐标原点，F 是抛物线 y22px ( p0)的焦点，A 是抛物线上的一点， 与 x 轴正向的夹角为 60，则| |为( )FA OA A. B.21p4 21p2C. p
9、D. p136 1336答案 B解析 依题意可设 AF 所在直线方程为y0(x )tan60， y (x )p2 3 p2联立Error!，解得 x 与 .p6 3p2 与 x 轴正向夹角为 60，x ，y p.FA 3p2 3| | .OA x2 y2 21p213已知直线 yk (x2)(k 0)与抛物线 C：y 28x 相交于 A、B两点，F 为 C 的焦点若|FA| 2|FB|，则 k( )A. B.13 23C. D.23 223答案 D解析 设 A、B 两点坐标分别为 (x1，y 1)、( x2，y 2)，由Error!消去 y 得，k 2x24x(k 22)4k 20，x 1x
10、2 ，x 1x24.42 k2k2由抛物线定义得|AF| x12，| BF|x 22，又|AF |2|BF |，x 122x 24，x 12x 22 代入 x1x24，得 x x 220，2x 21 或 2(舍去)，x 14， 5，k 2 ，42 k2k2 89k0，k .22314设双曲线 1(a0，b0)的渐近线与抛物线 yx 21x2a2 y2b2相切，则该双曲线的离心率等于( )A. B 2 C. D.3 5 6答案 C解析 双曲线的渐近线方程为 y x.ba渐近线与 yx 21 相切，x 2 x10 有两相等根，ba 40，b 24a 2，b2a2e .ca c2a2 a2 b2a2
11、 5二、填空题15已知 F 是抛物线 y24x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP|MF| 的最小值是_答案 4解析 过 P 作垂直于准线的直线，垂足为 N，交抛物线于M，则| MP|MF |MP| | MN| PN|4 为所求最小值16在已知抛物线 y x2 上存在两个不同的点 M、N 关于直线ykx 对称，则 k 的取值范围为_ 92答案 k 或 k( )2k 2 ，12k 116k 或 k .14 14三、解答题17已知抛物线 y26 x 的弦 AB 经过点 P(4,2)，且 OA OB(O为坐标原点) ，求弦 AB 的长解析 由 A、B 两点在抛物线 y26x 上，可设 A( ，y 1)，B(y216， y2)y26因为 OAOB ，所以 0.OA OB 由 ( ，y 1)， ( ，y 2)，得 y1y20.OA y216 OB y26 y21y236y 1y20，y 1y236，点 A、B 与点 P(4,2)在一条直线上，
