1、2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差双 基 达 标 限 时 15分 钟 1下列说法正确的是_填序号离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的概率的平均值；离散型随机变量 X 的方差 V(X)反映了 X 取值的平均水平；离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的平均水平；离散型随机变量 X 的方差 V(X)反映了 X 取值的概率的平均值答案 2若 XB (n，p)，且 E(X)6，V(X) 3，则 P(X1)的值为_解析 由Error!Error!P(X1)C 123 210 .12(12)答案 32 103有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，有放回地任取
2、 3 件，若 X 表示取到次品的件数，则 V(X)_.解析 由题意知取到次品的概率为 ，14XB ，V (X)3 .(3，14) 14 (1 14) 916答案 9164已知离散型随机变量 X 的分布列如表，若 E(X)0，D(X)1，则a_，b_.X 1 0 1 2P a b c 112解析 由题意知Error!解得Error!答案 512 145设一随机试验的结果只有 A 和 ，且 P(A)p 令随机变量 XError!，则 X 的A方差 V(X)等于_解析 X 服从两点分布，V(X )p(1p)答案 p(1 p)6甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标12
3、的概率为 .23(1)求乙至多击中目标 2 次的概率；(2)记甲击中目标的次数为 Z，求 Z 的分布列、数学期望和标准差解 (1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标 2 次的概率为 1C 3 .3(23) 1927(2)P(Z0)C 3 ；03(12) 18P(Z1) C 3 ；13(12) 38P(Z2) C 3 ；23(12) 38P(Z3) C 3 .3(12) 18Z 的分布列如下表：Z 0 1 2 3P 18 38 38 18E(Z) 0 1 2 3 ，18 38 38 18 32D(Z) 2 2 2 2 ， .(0 32) 18 (1 32) 38 (2 32)
4、 38 (3 32) 18 34 DZ 32综 合 提 高 限 时 30分 钟 7随机变量 X 的分布列如下：X 1 0 1P a b c其中 a，b，c 成等差数列，若 E(X) ，则 V(X)的值为_13解析 由题意知：ac 2b，E(X)1ac ，abc1.13a ，b ，c ，16 13 12D(X) 2 2 2 .( 1 13) 16 (0 13) 13 (1 13) 12 59答案 598有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量 X1，X 2，已知 E(X1)E( X2)，V(X 1)V( X2)，则自动包装机_的质量好解析 期望值相等的前提下，方差越小，稳定性越好，质量也越
5、好答案 乙9若 X 是离散型随机变量，P(X x 1) ，P(Xx 2) ，且 x1x 2，又已知 E(X)23 13 ，V( X) ，则 x1x 2的值为_43 29解析 由题意知，X 的所有可能取值为 x1，x 2，则有Error!解得Error!或Error!(舍去) ，x 1x 23.答案 310袋中有大小相同的三个球，编号分别为 1,2,2，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X 表示所有被取到的球的编号之和，则 X 的方差为_ 解析 X 的分布列为X 1 3 5P 13 13 13E(X)3，V( X) .83答案 8311某篮球队与其他 6 支篮球队依次进
6、行 6 场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是 .13(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率；(3)求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的期望和方差解 (1)P 2 .(1 13) 13 427(2)6 场胜 3 场的情况有 C 种36PC 3 320 .36(13)(1 13) 127 827 160729(3)由于 X 服从二项分布，即 XB ，(6，13)E(X)6 2，V( X)6 .13 13 (1 13) 4312甲、乙两名射手各打了 10 发子弹，其中甲击中环数与次数
7、如下表环数 5 6 7 8 9 10次数 1 1 1 1 2 4乙射击的概率分布列如表环数 7 8 9 10概率 0.2 0.3 p 0.1(1)若甲，乙两人各打一枪，求共击中 18 环的概率及 p 的值；(2)比较甲，乙两人射击水平的优劣解 (1)由 0.20.3p0.11，得 p0.4.设甲，乙两人击中的环数分别为 X1，X 2，则P(X18) 0.1，110P(X19) 0.2，210P(X110) 0.4；410P(X28)0.3，P(X29)0.4，P(X210)0.1，所以甲，乙各打一枪共击中 18 环的概率为：P0.10.10.30.40.20.40.21.(2)甲的期望 E(X
8、1)50.160.170.18 0.190.2100.48.4.乙的期望 E(X2)70.2 80.390.4100.1 8.4.甲的方差 D(X1)(58.4) 20.1(68.4) 20.1(78.4) 20.1(88.4)20.1(9 8.4) 20.2(10 8.4) 20.43.04.乙的方差为 D(X2)(78.4) 20.2(88.4) 20.3(98.4)20.4(10 8.4) 20.10.84.由于 D(X1)D(X 2)，故乙比甲技术稳定13(创新拓展) A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2，根据市场分析，X 1和 X2的分布列分别为X1 5% 10%
9、P 0.8 0.2X2 2% 8% 12%P 0.2 0.5 0.3(1)在 A，B 两个项目上各投资 100 万元，Y 1和 Y2分别表示投资项目 A 和 B所获得的利润，求方差 V(Y1)、V(Y 2)；(2)将 x(0x100)万元投资 A 项目，100x 万元投资 B 项目，f (x)表示投资A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和求 f(x)的最小值，并指出 x 为何值时， f(x)取到最小值解 (1)由题设可知 Y1和 Y2的分布列分别为Y1 5 10P 0.8 0.2Y2 2 8 12P 0.2 0.5 0.3E(Y1) 50.8100.26，V(Y1) (56) 20.8(106) 20.24；E(Y2) 20.280.5120.38，V(Y2) (28) 20.2(8 8)20.5(128) 20.312.(2)f(x) V V(x100Y1) (100 x100 Y2) 2V(Y1) 2V(Y2)(x100) (100 x100 ) x23(100x) 241002 (4x2600x 3100 2)，41002当 x 75 时，f(x)3 为最小值.60024
