1、第 4 课时 空间向量的坐标表示教学过程一、 问题情境问题 1 空间向量基本定理是什么 ?问题 2 我们如何选择基底?空间向量如何用坐标表示?二、 数学建构(图 1)问题 3 如图 1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置? 1问题 4 确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?问题 5 如何用一组实数来表示电灯的位置 ?解 通过类比联想,容易知道需要三个数 .在地面上建立直角坐标系 xOy,则地面上任一点的位置只需两个数 x,y 就可确定 .为了确定不在地面上的电灯的位置,需要用第三个数表示物体离地面的高度,即
2、需第三个数 z.因此,只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.例如,若这个电灯在平面 xOy 上的射影的两个数分别为 4 和 5,到地面的距离为 3,则可以用有序数组(4,5,3)确定这个电灯的位置(如图 2).(图 2)问题 6 如何用坐标表示空间向量 呢?能表示所有的空间向量吗?1.空间向量的坐标表示(图 3)如图 3,在空间直角坐标系 O-xyz 中, 分别取与 x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i,j,k 作为基向量,对于空间任意一个向量 a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 a=xi+yj+zk.有序实数组( x,y,z)叫做向量 a
3、在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标,记作a=(x,y,z).2.在空间直角坐标系 O-xyz 中 ,对于空间任意一点 A(x,y,z),向量 是确定的, 容易得到=xi+yj+zk,因此,向量 的坐标为 =(x,y,z).这就是说, 当空间向量 a 的起点移至坐标原点时,其终点的坐标就是向量 a 的坐标.3.空间向量坐标运算法则(1)设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),a=(a1,a2,a3),R;(2)若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x
4、1,y2-y1,z2-z1).(例 1)4.空间向量平行的坐标表示ab(a0)b1=a1,b2=a2,b3=a3(R).三、 数学运用【例 1】 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 D1D,DB 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG=CD,H 是 C1G 的中点.以 D 为坐标原点, DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求向量 和 的坐标. (见学生用书 P55)处理建议 求向量的坐标应先求出向量的起点和终点的坐标.规范板书 解 由已知可得 E ,F ,C1(0,1,1),G .H 是 C1G 的中点, H.故
5、 = , = .题后反思 求向量的坐标,应先建立恰当的空间直角坐标系,然后得到起点和终点的坐标,最后得出向量的坐标.【例 2】 (教材第 90 页例 1)已知 a=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求 a+b,a-b,3a. (见学生用书 P56)处理建议 引导学生根据空间向量的坐标表示及运算法则解题.规范板书 解 a+b=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4).a-b=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,8+4)=(-2,-13,12).3a=3(1,-3,8)=(3,-9,24). 题后反思 空间向量的坐标运算,
6、需要准确、熟练,为后续学习奠定基础.【例 3】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M, N,P 分别是 CC1,B1C1,C1D1 的中点, 试建立适当的空间直角坐标系,求证:平面 MNP平面 A1BD. (见学生用书 P56)处理建议 先建立适当的直角坐标系,再寻求相关空间向量的坐标,从而确定它们之间的关系,以算代证.(例 3)规范板书 证明 如图,以 D1 为坐标原点, D1A1,D1C1,D1D 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴 ,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1,则 A1(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),N ,M,P 0,0 ,于是 =(0,1,
7、1), =(-1,0,1), = , = ,显然有 = , =,所以 , .又因为 MN平面 MNP,A1D平面 MNP,所以 A1D平面 MNP.同理 A1B平面 MNP.又因为A1DA1B=A1,所以平面 MNP平面 A1BD.题后反思 同平面向量的坐标法解题一样,关键是如何建立适当的直角坐标系,从而运用代数的方法论证,体现了空间向量的基本思想.当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明.四、 课堂练习1. 已知点 A(2,3,4),B(1,3,5),则 =(-1,0,1).2.若向量 a=(1,-2,2),b=(3,1,-1),c=(-1,0,4),则 2a+b-2c=(7,-3,-5)
8、.3. 已知 i,j,k为空间的一个单位正交基底,且向量 a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量 a-2b 用坐标形式表示为(-5 ,7,7).提示 因为 a=(-1,1,3),b=(2,-3,-2),所以 a-2b=(-5,7,7).4.已知 a=(1,6,-3),b=(1,-2,9),c=(4,0,24),求证: a,b,c 共面.解 因为 a=(1,6,-3),b=(1,-2,9),所以 a 与 b 不共线.设 c=xa+yb,则 解得 即 c=a+3b,所以 a,b,c 共面.五、 课堂小结1.空间向量的坐标表示及线性运算.2.通过空间向量的坐标表示,运用代数的方法求解空间向量的问题.
