1、选修 2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差一、选择题1下面说法中正确的是( )A离散型随机变量 的均值 E()反映了 取值的概率的平均值B离散型随机变量 的方差 D()反映了 取值的平均水平C离散型随机变量 的均值 E()反映了 取值的平均水平D离散型随机变量 的方差 D()反映了 取值的概率的平均值答案 C解析 离散型随机变量 的均值 E()反映 取值的平均水平，它的方差反映 的取值的离散程度故答案选 C.2已知随机变量 X 的分布列为：P(Xk) ，k1、2、3，则 D(3X5)( )13A6 B9 C3 D4答案 A解析 E( X)(123) 2，13D(X)(12) 2(2 2)
2、2(32) 2 ，13 23D(3X5) 9D(X)6.3设 XB (n，p)，且 E(X)12，D (X)4，则 n 与 p 的值分别为( )A18， B12， 13 23C18， D12，23 13答案 C解析 由Error!得Error!则 p ，n18.234(2010山东理，6)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A. B. 65 65C. D22答案 D解析 1，a1，a 0 1 2 35故 s2 (1 1)2(01) 2(11) 2(2 1) 2(31) 22.155已知随机变量 的数学均值为 E()，方差为 D()，随机变
3、量 ，则 D()的 E()D()值为( )A0 B1 C1 D. D()答案 C解析 E( )与 D()均为常数，不妨设 E()a， b，D()则 . E()D() 1b abD()D D() 1.(1b ab) 1b26随机变量 XB(100,0.2)，那么 D(4X3)的值为( )A64 B256 C259 D320答案 B解析 由 X B(100,0.2)知随机变量 X 服从二项分布，且 n100，p0.2，由公式得D(X)np (1p)1000.20.816，因此 D(4X3)4 2D(X)1616256，故选 B.7已知 X 的分布列如下表则在下列式子中：E(X) ；D(X) ；P(
4、X0)13 2327 .正确的有( )13X 1 0 1P 12 13 16A.0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 C解析 易求得 D(X) 2 2 2 ，故只有正确，( 1 13) 12 (0 13) 13 (1 13) 16 59故选 C.8甲，乙两台自动机床各生产同种标准产品 1000 件， 表示甲车床生产 1000 件产品中的次品数， 表示乙车床生产 1000 件产品中的次品数，经过一段时间的考察 ， 的分布列分别如表一，表二所示据此判定( )表一 0 1 2 3P 0.7 0 0.2 0.1表二 0 1 2 3P 0.6 0.2 0.1 0.1A.甲比乙质量好 B乙比甲质量好C
5、甲与乙质量相同 D无法判定答案 B解析 由分布列可求甲的次品数期望为 E()0.7，乙的次品数期望为 E()0.7，进而得 D()(00.7) 20.7(1 0.7) 20(20.7) 20.2(3 0.7) 20.11.21，D ()(00.7) 20.6(1 0.7) 20.2(20.7) 20.1(3 0.7) 20.11.01，故乙的质量要比甲好二、填空题9某射手击中目标的概率为 p，则他射击 n 次，击中目标次数 X 的方差为_答案 np(1 p)解析 X B(n，p)，D(X) np(1p)10已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,2
6、0，且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小，则 a、b 的取值分别是_答案 10.5、10.5解析 由题意得 10.5，ab21，a b2 10，x2 3 3 7 21 13.7 18.3 20 1210s 2 (10 2)2(103) 2(103) 2(10 7) 2(10a) 2(10b) 2(1012)1102(10 13.7)2 (1018.3) 2 (1020) 2 827 27 23 2(10a) 2(10 b) 243.7 28.3 210 2110 (10a) 2 (1021a) 2110 2(a10.5) 2110当 a10.5 时，方差 s 最小，b10.5.1
7、1随机变量 X 的分布列如下表：X 1 0 1P a b c其中 a，b，c 成等差数列，若 E(X) ，则 D(X)的值是_ 13答案 59解析 abc 1,2ba c ，b ，ac ，13 23又E(X) ， ac ，13 13故 a ，c ，16 12D(X)(1 )2 (0 )2 (1 )2 .13 16 13 13 13 12 5912(2009广东理 12)已知离散型随机变量 X 的分布列如下表，若 E(X)0，D(X)1， ，则 a_，b_.X 1 0 1 2P a b c 112答案 ；512 14解析 考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的计算由条件及 E(X)x 1p1x
8、 2p2x npn，D(X)(x 1E( X)2p1( x2E(X) 2p2( xnE (X)2pn得Error!， Error!.三、解答题13有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上 0、1、2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作 x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作 y，令 Xx y.求(1)X 的概率分布；(2)随机变量 X 的均值与方差解析 (1)P( X0) ；533 59P(X1) ；133 19P(X2) ；233 29P(X4) .133 19X 的分布列如下表：X 0 1 2 4P 59 19 29 19(2)E(X)1，D (X) .16914甲、乙两名射
9、手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 与 ，且 、 的分布列为 1 2 3P a 0.1 0.6 1 2 3P 0.3 b 0.3求：(1)a、b 的值；(2)计算 、 的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况解析 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a0.10.61，a0.3.同理 0.3b0.31，b0.4.(2)E()10.320.130.62.3，E()10.3 20.430.32，D()(12.3) 20.3(22.3) 20.1(32.3) 20.60.81，D()(1 2) 20.3(22) 20.4(32) 20.30.6.由于 E()E( )，说明在一次射击中，甲
10、的平均得分比乙高，但 D()D()，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势点评 比较技术水平、机器性能、产品质量，通常要同时考虑期望与方差这两个特征数15甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相同而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X 0 1 2 3P 0.3 0.3 0.2 0.2乙保护区：X 0 1 2P 0.1 0.5 0.4试评定这两个保护区的管理水平解析 甲保护区的违规次数 X 的均值和方差为 E()00.310.320.230.21.3，D()(01.3) 20.3(11.3)
11、 20.3(21.3) 20.2(31.3) 20.21.21；乙保护区的违规次数 的均值和方差为E()00.1 10.520.41.3，D()(0 1.3) 20.1(11.3) 20.5(21.3) 20.40.41.因为 E()E( )，D ()D()，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动16有一批零件共 10 个合格品，2 个不合格品安装机器时从这批零件中任选 1 个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回(1)求最多取 2 次零件就能安装的概率；(2)求在取得合格品前已经取出的次品
12、数 X 的分布列，并求出 X 的均值 E(X)和方差 D(X)(方差计算结果保留两个有效数字) 分析 注意取到不合格品时不再放回，故可考虑用等可能性事件的概率公式求概率值解析 (1)设安装时所取零件的次数是 ，则 P(1) ，这是取 1 次零件就取1012 56到了合格品，可以安装；P( 2) ，这是第 1 次取到不合格品，第 2 次取到了合格品212 1011 533最多取 2 次零件就能安装的概率为 .56 533 6566(2)依题意 X 的所有可能取值为 0、1、2，P(X0)P(1) ，56P(X1)P(2) ，533P(X2)1 .56 533 166故 X 的分布列是X 0 1 2P 56 533 166于是 E(X)0 1 2 ，56 533 166 211D(X) 2 2 20.18.56 (211) 533 (911) 166 (2011)所以 X 的期望值和方差值分别是 和 0.18.211高-考?试 !题#库
