1、对于积分中值定理的一点思考摘要积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点 必可在开区间 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用.),(ba关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言推广的积分第一中值定理：若函数 f(x)与 g(x)在闭区间a, b上连续，且 g(x)在a, b上不变号，则在a, b上至少存在一点 使得（1）baba xdgfxdgf )()()(推广的积分中值定理可改进如下：定理 1：若函数 f(x)与 g(x
2、)在闭区间a, b上连续，且 g(x)在a, b上不变号，则在上至少存在一点 使得 。),(bababa xdgfxdgf )()()(对其证明如下：因为 在 上连续，故 在 上存在最大值和最小值，不妨分别设为 M)(xf,b)(f,b和 m,即 ，则必存在 ，使 ，Mmxxa2121mf)(1，又因为f)(2在 上不变号，不妨设 ,则 ，xg,ba0)(xgbadx0)(且有 ，又 和 都在 可积，则 在)()(Mxfmfg,b)(xgf也可积，从而有 （2）,ba ababa dxMdxfdg)()(（1） 当 时，有 以及 ，由（2）得badxg0)(badxgm0)(badxgM0)(
3、，因此对 ，有 。baxf)( ),(ffbaba )()(（2） 当 时，由（2）得 badxg0)( dxgxfmbaba)(/)(若 ，则Mfmbaba)(/)( )()(/)()( 21 fff baba由于 在 上连续，故由介值定理知，存在 位于 和 之间，使xf, 12，即dxgfbaba)(/)()( dxgdxgfbaba)(f)(再考虑到 ，则命题成立。,21若 （3）)()(/)( 2fMdxgxfbaba 当 时，取 ，则 ，命题成立；当 或),(22babadxgfdxg)()(f a2时，可以证明存在 ，使 。事实上，假设 ，都有bx2 ,(f),(b，取充分小的 ，
4、使 ，令 为 在 上的Mf)(0b*)(xf,a最大值，则 ，所以*baababdxgfdxgfdxgfdxgf)()()()( a baa M*故 ，与（3）式矛盾。这说明必存在 ，使dxgxfbaba)(/)( ),(ba，从而 Mf)( dxgfbab)(f)(a同理可证，当 时，必有 ，使mxdgxfbaba)(/)( ),(badxgdxgfbab)(f)(a所以定理得证。 bxfxfbaba ,)()(推论 1：若 在区间 上连续，则至少存在一点 使f, ,bababfdxfba ),()(定理 2：若函数 f(x)与 g(x)在闭区间a,b上连续，且 g(x)在a, b上可积且不
5、变号，则在 上至少存在一点 使得 。),(b baba xdgfxdgf )()()(证明：不妨假定 g(x)在a,b上连续，故存在 ,Mfm,使若 ，则可在 内任取一点 使badxg0)(),(bac。baadxgcff )()(若 ，则 ，badxg0)(bababa dxgMxdgfm)()()()(即有 。Mdxgfba)(若上式没有一个等号成立，则有 （1）Mdxgfmba)(设 分别在 和 取得最小值与最大值，即 ， ，不妨设)(xf12 mf)(1fx)(2，则 ，由（1）可知， 介于 之间。x21,21babadxgf)(Mm与由连续函数的介值性定理可知，存在 ，使 ，,(21
6、ccf即 。显然 ，故结论成立。baba dxgcfdxgf )()( ),b若（1）中至少有一个等号成立，不妨设右边等号成立，则有 。badxgfM0)(由于 在 上可积，故它在 上的 Darboux 下和 )(xg,ba,baminiTs1),(当 时趋于 ，即 。前面已设0)(Tadxg)( bainioTdxg)(lm1)(，故存在分割 T，只要 ，就有 。badxg)( 00),(1iniTs由于 ，故 。而在 上， 又知 0i ,1xiiigMxf(，),(bx故 bai dxgfxdxgfMdfiiii m0)()()(011因此 ，其中 在 上非负且连续，0)(1 dxfMii
7、 i ixf)(,1ii故必有 ，而在 上,)(1iiixf,1ii。因此对 内任意一点 ，都有)0miiix )(ii c，从而 （a0)pnsi分析与证明：此被积函数的原函数不能用初等函数表示。令 ， ，xfsin)(g1)(显然在 上满足推广的积分第一中值定理的条件，于是 ，使,pn ,p当 时， ，而 npxdxpnnlsisii 0ln1|sin|故 。dnpnsilm0)l(siln解此类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时， 不仅依赖于积分区间，还可能依赖于极限式中自变量 n 的趋近方式。5积分中值定理在估计值中的应用例 1 估计 的值dxe0解：（法一）令
8、， 显然 和 满足推广的积分第一中f)(10)(xg)(xfg值定理的条件，于是 = ，dx100e10,而 2lnl2ln10dx故 l0e（法二）令 ，xf)(10)(g显然 和 满足定理的条件，于是x1.0)(10)1010 ( eeedxdx),(6 证明函数的单调性例 1 设 在 上连续且为(严格) 单调减函数，试证明 在)(xf,a xadtfF)(1)(内是严格单调减函数。,a证明 当 x a 时有 xadtffF)(1)(1)(2对 在 上应用推广积分中值定理的改进定理，则至少存在一点 ，使得tf,xa ),(xa，从而 )()(fdtfxa 0)(1)()( ffaxfxF从
9、而 在 内是严格单调减函数)(xF),例 2 设函数 在 上连续， ，试证：在 内，若f,0( dtfxF)(2()0),0(为非减函数，则 为非减函数。)(xf )x证明： ，对此式求导得：xxx dtftfdtfF000 )(2)(2(x xxftffxftf0 0 )()()()(利用积分中值定理得：，)()()( xffxf )若 为非减函数，则f 0所以 ，故 F(x)为非增函数。0)(xF综上所述：积分中值定理在应用中所起的重要作用是可以使积分号去掉，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号。在使用该定理时，常与微分中值定理或定积分的其它一些性质结合使用，使所求问题迎刃而解。参考文献1 刘玉涟等 数学分析讲义 高等教育出版社 20042 数学分析 上册 华东师范大学数学系编 高等教育出版社 2001.63 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 高等教育出版社 2001.4苏C.M.尼柯尔斯基，数学分析教程，第一卷第二分册，高等教育出版社 19835 数学分析的概念与方法 上海科学文献出版社 19896 高等数学典型题精讲 大连理工大学出版社 2001Abstract
