1、自动控制原理习题及其解答第一章（略）第二章例 2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图 2-1 示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：(1) 设输入为 yr，输出为 y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足 ，0F则对于 A 点有021KfF其中，F f 为阻尼摩擦力，F K1，F K2 为弹性恢复力。(3) 写中间变量关系式0210)(yKFYdtfr(4) 消中间变量得021yKdtftfrr (5) 化标准形rrytTyt0其中: 为时间常数，单位秒。215KT为传递函数，无量纲。21例 2-2 已知单摆系统的运动如图 2
2、-2 示。(1) 写出运动方程式(2) 求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角 ，摆球质量为 m。（2）由牛顿定律写原始方程。hmgdtlsin)(其中，l 为摆长，l 为运动弧长，h 为空气阻力。（3）写中间变量关系式)(dtl式中， 为空气阻力系数 为运动线速度。（4）消中间变量得运动方程式图 2-2 单摆运动 （2-1)0sin2mgdtaltl此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在 0 的附近，非线性函数 sin ，故代入式（2-1）可得线性化方程为02mgdtaltl例 2-3 已知机械旋转系统如图 2-3 所示，试列出系统运动方程。解：（1）设输入量作
3、用力矩 Mf，输出为旋转角速度 。（2）列写运动方程式ffdtJ式中， f为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为fMfdtJ此为一阶线性微分方程，若输出变量改为 ，则由于dt代入方程得二阶线性微分方程式fMtfdtJ2例 2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图 2-4 所示。图 2-3 机械旋转系统 图 2-4 倒立摆系统 倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图 2-65 所示平面内运动。控制力 u 作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心 A。试求该系统的运动方程式。解：(1) 设输入为作
4、用力 u，输出为摆角 。(2) 写原始方程式，设摆杆重心 A 的坐标为（X A，y A）于是XAX l sinXy = lcos画出系统隔离体受力图如图 25 所示。摆杆围绕重心 A 点转动方程为：（22）cossin2HlVldtJ式中，J 为摆杆围绕重心 A 的转动惯量。摆杆重心 A 沿 X 轴方向运动方程为： dtxmA2即 （23）Hlxt)sin(2摆杆重心 A 沿 y 轴方向运动方程为：图 2-5 隔离体受力图 mgVdtyA2即 lt)cos(2小车沿 x 轴方向运动方程为：HudtxM2方程（22） ，方程（23）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有 sin 和 cos 项，所
5、以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3) 当 很小时，可对方程组线性化，由 sin ，同理可得到 cos1 则方程式(22)式（23）可用线性化方程表示为：HudtxMmgVtdltJ22220用 的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量 V、H、X 得2dtSugmMsJmlMl )()(2将微分算子还原后得dtdtll )()(2此为二阶线性化偏量微分方程。例 2-5 RC 无源网络电路图如图 26 所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数 Uc(s)/Ur(s)。解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：图
6、 2-6 RC 无源网络 )(sZIU如果二端元件是电阻 R、电容 C 或电感 L，则复阻抗 Z(s)分别是 R、1/C s 或 L s 。(1) 用复阻抗写电路方程式：sCSIVRUI sSISIccccr2221121)()()()()()(2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得 RC 网络结构图，见图 26（a） 。(3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图 26（c） 、( d)、( e)。(4) 用梅逊公式直接由图 26(b) 写出传递函数 Uc(s)/Ur(s) 。KG独立回路有三个： SCRL111图 2-6 RC 无源网络结构图 （a）（b）（c）（d）SCRL22211
7、S1213回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则211SCR由上式可写出特征式为：21122121321)( SCRSSLL 通向前路只有一条 21211 SCRSCRG由于 G1 与所有回路 L1，L 2， L3 都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为 1=1代入梅逊公式得传递函数 1)(1 12221 2211 sCRsCRsG例 2-6 有源网络如图 27 所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图 28 所示 PI 调节器，写出传递函数。解：图 2-7 中 Zi 和 Zf 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设 A点为虚地，即 UA
8、0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I 1 = I2则有： )()(21sZIsUfcii故传递函数为图 2-8 PI 调节器 图 2-7 有源网络 （24）)()(sZsUGific对于由运算放大器构成的调节器，式（24）可看作计算传递函数的一般公式，对于图 2-8 所示 PI 调节器，有 1)(RsZiCSf 2故 SRsZsGif 1212)()( 例 2-7 求下列微分方程的时域解 x（t） 。已知 。3)0(,)(x0632dtt解：对方程两端取拉氏变换为：0)(63)()(0)(2 sXxsSXxSsX代入初始条件得到)(63(2s解出 X（s）为：222 )15()
9、.(563)( SSs反变换得时域解为：)2sin(52)(.1tetxt例 2-8 已知系统结构图如图 2-9 所示，试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。图 2-10 系统结构图的简化 图 2-9 系统结构图 解：（1）首先将含有 G2 的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图 2-10（a）所示。（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图 2-10（b） 。（3）最后将两个方框串联相乘得图 2-10（c） 。例 2-9 已知系统结构图如图 2-11 所示，试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图 2-12（a）的形式。（2）将小前馈
10、并联支路相加，得图 2-12（b） 。（3）先用串联公式，再用并联公式 将支路化简为图 2-12（c） 。例 2-10 已知机械系统如图 2-13（a）所示，电气系统如图 2-13（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。图 2-11 系统结构图 图 2-12 系统结构图 图 2-13 系统结构图 （a）机械系统 （b）电气系统解：（1）若图 2-13（a） 所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：yKFxf xKxfii20 01011)( )()
11、(取拉氏变换，并整理成因果关系有：)(1)( )()()20 01syFsfxKySxssfi画结构图如图 214： 求传递函数为：skfsfkfsfksfsXi 12211210 )( )()( （2）写图 2-13（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：图 2-14 机械系统结构图 )()(1 )()()()(20 0112sECsIR sEsCEssIsIc iii整理成因果关系：)()(1)()
12、()202 0sEIRsSCsssIci画结构图如图 2-15 所示：求传递函数为：SCRsSCRSCRssEi 212121210 )( )()( 对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表 2-1。表 2-1 相似量机械系统 xi x0 y F F1 F2 K1 1/K2 f1 f2电气系统 ei e0 ec2 i i i 1/R R C1 C2例 2-11 RC 网络如图 2-16 所示，其中 u1 为网络输入量，u 2 为网络输出量。（1）画出网络结构图；（2）求传递函数 U2(s)/ U1(s)。解：（1） 用复阻抗写出原始
13、方程组。输入回路 sCIIR211)(图 2-15 电气系统结构图 图 2-16 RC 网络 输出回路 sCIIRU212)(中间回路 11（3）整理成因果关系式。 sCIURI211)(122sICIIRU22)(即可画出结构图如图 2-17 所示。（4） 用梅逊 公式求出：3212GUsCRsCRssR2121121 1)(12121ssR例 2-12 已知系统的信号流图如图 2-18 所示，试求传递函数 C(s)/ R(s)。解： 单独回路 4 个，即 21321GLa图 2-17 网络结构图 图 2-18 信号流图 两个互不接触的回路有 4 组，即3213212GGLcb三个互不接触的
14、回路有 1 组，即 321fed于是，得特征式为 3213212321 GGGLLfedcba 从源点 R 到阱节点 C 的前向通路共有 4 条，其前向通路总增益以及余因子式分别为KP32 1213G44因此，传递函数为 4321)( PPsRC 3213212321 )()( GGGK第三章例 3-1 系统的结构图如图 3-1 所示。已知传递函数 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间 ts)12.0/()ssG减小为原来的 0.1 倍，并保证总放大系数不变。试确定参数 Kh 和 K0 的数值。解 首先求出系统的传递函数 （s） ，并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。一阶系统的过
15、渡过程时间 ts 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 )10/2.()s即 HHKsGKsRC102.)(1)(0)(102.(0sH比较系数得 10HK解之得 、9.0解毕。例 3-10 某系统在输入信号 r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为：（t 0）ec1.)已知初始条件为零，试求系统的传递函数 。)(s解 因为 21)(ssR)0(9.0.1)( 22tcLsC故系统传递函数为 1.0)(sRCs解毕。例 3-3 设控制系统如图 3-2 所示。试分析参数 b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。解 由图得闭环传递函数为 1)()sbKTs系统是一阶的。动态性能指
16、标为 )(32.690bKTttsrd因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 3-34 所示。试确定系统的传递函数。解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为 22)(nss然后由响应的 、 及相应公式，即可换算出 、 。%pMt n%34)(cpp1TsKbs430 0.1 t图 3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应h(t)（s）1.0pt由公式得 %321/eMp.02nt换算求解得： 、 3.0.3解毕。例 3-13 设系统如图 3-35 所示。
17、如果要求系统的超调量等于 ，峰值时间等于%150.8s，试确定增益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。解 由图示得闭环特征方程为 0)1(12Ksst即 ，21nKntt2由已知条件 8.0115%21/2tnpteMtt解得 15.4,7.0snt于是5.21K78.021KnttR(s) C(s)图 3-35)1(s1+Ktsstnttd 297.0.6.01t tntnr 538.1arco122snts476.53解毕。例 3-14 设控制系统如图 3-36 所示。试设计反馈通道传递函数 H(s)，使系统阻尼比提高到
18、希望的 1 值，但保持增益 K 及自然频率 n 不变。解 由图得闭环传递函数 )(2)( 2sHKssnn在题意要求下，应取 Ht此时，闭环特征方程为： 0)2(2nntss令： ，解出，1ntKnt K/)(1故反馈通道传递函数为： nssH)(2)1解毕。例 3-15 系统特征方程为 025102303456 sss试判断系统的稳定性。解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中 s 一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。R(s) C(s)图 3-36 例 3-14 控制系统结构图H(s)22nK例 3-16 已知系统特征方程式为 05168234 ss试用劳斯判据
19、判断系统的稳定情况。解 劳斯表为1 18 4s 58 16 3 02s680151 .13560s.03由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。例 3-17 已知系统特征方程为 0532345 sss试判断系统稳定性。解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数 来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为5s1234 53s0221s540由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小
20、的正数 来代替；第四行第一列系数为（2+2/，当 趋于零时为正数；第五行第一列系数为（445 2）/（2 +2） ，当 趋于零时为 。由于第一列变号两次，故有两个根在右半 s 平面，所以系2统是不稳定的。解毕。例 3-18 已知系统特征方程为 016201823456 sss试求：（1）在 右半平面的根的个数；（2）虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等
21、于零）求得。劳斯行列表为6s182016524s30由于 行中各项系数全为零，于是可利用 行中的系数构成辅助多项式，即3s 4s162)(P求辅助多项式对 s 的导数，得 ssd48)(3原劳斯行列表中 s3 行各项，用上述方程式的系数，即 8 和 24 代替。此时，劳斯行列表变为1 8 2062 12 165s2 12 1648 243s6 1622.671s160新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令 01624s得到 和jj解毕。例 3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为 )1)()(2csbasKG试求： （1）位置误差系数，速度误差
22、系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为 ， 和 时系统的稳态误差。)(1tr)(t)(2tr解 根据误差系数公式，有位置误差系数为)1)(lim)(li 200 csbasKsGKsp速度误差系数为 Kcsbasssv )1)(li)(li 200加速度误差系数为 0)1)(lim)(li 22020 csbassGKsa对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为 ，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为)(1tr01rKeps参考输入为 ，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为)(1trrevs参考输入为 ，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为)(12tr02rKeas解毕。例 3-2
23、0 单位反馈控制系统的开环传递函数为 )1(0)(2sTsG输入信号为 r（t）= A+t，A 为常量， =0.5 弧度/ 秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为 210)(trrt系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算： avps Krre210对于本例，系统的稳态误差为 vpsAe1本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为 1 型系统，所以pK10)(1lim)(li 200 sTssGKsv系统的稳态误差为
24、 05.1011Aevps解毕。例 3-21 控制系统的结构图如图 3-37 所示。假设输入信号为 r(t)=at ( 为任意常数)。a证明：通过适当地调节 Ki 的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。R(s) C(s)图 3-37 例 3-21 控制系统的结构图Kis+1 )1(TsK解 系统的闭环传递函数为 KTsRCi)1()即 )()2sRsi因此)()(2sKsTsCRi当输入信号为 r(t)=at 时，系统的稳态误差为 KasTassse iis iis )1()1(lim)1(lmli20 2022要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即 ess=0，必须满足0i所以
25、 Ki/1解毕。例 3-22 设单位负反馈系统开环传递函数为 。如果要求系统的位置1)(TsGgp稳态误差 ess=0，单位阶跃响应的超调量 Mp%=4.3%，试问 Kp、 Kg、 T，各参数之间应保持什么关系？解 开环传递函数 )2()1(/)() ngpgpsTsTsKG显然gpn2n12解得:24/1TKgp由于要求 %3.0%21/ eMp故应有 0.707。于是，各参数之间应有如下关系 5.TKgp本例为 I 型系统，位置稳态误差 ess=0 的要求自然满足。解毕。例 3-23 设复合控制系统如图 3-38 所示。其中， ， 121sT25.0132K试求 时，系统的稳态误差。)(/
26、()tttr解 闭环传递函数 24)5.0(1)( 2123 sKsTKs等效单位反馈开环传递函数 2)()1)(ssG表明系统为 II 型系统，且 Ka当 时，稳态误差为)(12/()tttr5.0/ase解毕。)1(2sTKsK3K1 C(s)R(s) 图 3-38 复合控制系统例 3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数 。 试选择参数 及)1(/)(TsKsGK的值以满足下列指标：T（1）当 r(t)= t 时，系统的稳态误差 ess 0.02；（2）当 r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标 Mp%30% ，t s0.3s (=5%)解 02.1Kes开环增益应取 K50 。现取
27、K=60 。因 )2()/1()nsTsG故有，n2/K/2于是 取 % ，计算得Kn2.0pM456.0)(ln22p7.此时(S)3.014./5.3nst满足指标要求。最后得所选参数为：K=60 T=0.02 (s)解毕。例 3-25 一复合控制系统如图 3-39 所示。图中： sTbasGsTKsGKs r212211 1)()()( K1、K 2、T 1、T 2 均为已知正值。当输入量 r(t)= t2/2 时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数 a 和 b 。解 系统闭环传递函数为R(s)E(s) C(s)Gr(s)图 3-39 复合控制G2(s)G1(s)21121 )()( G
28、GsRCrr故 )()21sRsr误差为 )()()( 21sGsCRsEr代入 及 、 、 , 得3/1)(sR1G2r212121321 )()()( KsTsTsKbaC闭环特征方程为0)()( 212121321 sssT易知，在题设条件下，不等式 212121)(TK成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数 、 无关。此时，讨论稳态误差ab是有意义的。而 3212121321 )()()( ssTsTsE 若 00221 bKaK则有 212121321 )()()( sTsTsE系统的稳态误差为 0)(lim0Ees因此可求出待定参数为2211KbKTa解毕。例 3-26
29、控制系统结构如图 3-40 所示。误差 E(s)在输入端定义。扰动输入是幅值为 2的阶跃函数。 （1）试求 K=40 时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。（2）若 K=20，其结果如何？（3）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节 1/s，对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节 1/s，结果又如何？解 在图中，令， ，105.1sKG52s.2H则 )()()(212EGNC代入 ，得)(sHRsE)(1)(122 sRHs令 ，得扰动作用下的输出表达式0)(s)(1)(2sNGsCn此时，误差表达式为)(1)()(2sHsHRsEnn 即)(1lim)(li 200
30、 sNGsesnsn而扰动作用下的稳态输出为105.sK5sK2.5图 3-40 控制系统结构图 C(s)R(s) E(s)N(s)(1lim)(li)( 200 sNHGsCnsn 代入 N(s)、G 1、G 2 和 H 的表达式，可得，Kcn5.21)( Kesn5.（1）当 时， ，40K0/10/s（2）当 时， ，)(ncsne可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。若 1/s 加在扰动作用点之前，则， ，)105.(1sKG52sG.2H不难算得，)(nc0sne若 1/s 加在扰动作用点之后，则， ，105.1sKG)5(2s.2H容易求
31、出 时时20 ,5/24.)(Kcn时时 ,/1.esn可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。解毕。例 3-27 设单位反馈系统的开环传递函数为 )2()nsG已知系统的误差响应为（t0）ttete73.07.14)(试求系统的阻尼比 、自然振荡频率 n 和稳态误差 ess。解 闭环特征方程为 022ns由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函 1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故 ttTtTt eete 73.07.1/ 44.0.1)(21 即，系统时间常数为 93.1.2令 212 Tssn得 21/T21n代入求出的时间常数，得，.n稳态
32、误差为 0)(limtets实际上，I 型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。解毕。第四章例 4-1 设系统的开环传递函数为 )2(1)(sKsHG试绘制系统的根轨迹。解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。（1）系统的开环极点为 ， ， 是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限012开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。（2）系统的根轨迹有 条渐进线3mn渐进线的倾斜角为 0318)()(Ka取式中的 K=0，1，2，得 a= /3， ，5 /3。渐进线与实轴的交点为13)2(11minjjazp三条渐近线如图 4-13 中的虚线所示。（3）实轴上
33、的根轨迹位于原点与1 点之间以及2 点的左边，如图 4-13 中的粗实线所示。（4）确定分离点系统的特征方程式为 0232Kss即 )(123K利用 ，则有0/dsK0)6(23sds解得和 4.0157.12由于在1 到2 之间的实轴上没有根轨迹，故 s2=1.577 显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为 s1=0.423。（5）确定根轨迹与虚轴的交点方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为1 23s3 22 K01s326K20由劳斯判据，系统稳定时 K 的极限值为 3。相应于 K=3 的频率可由辅助方程0622ss确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为 。根轨迹与虚轴交点处的频率
34、为j41.2方法二 令 代入特征方程式，可得js 02)()(3)(2Kjjj即 )()(22jK令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即，03202所以 3K（6）确定根轨迹各分支上每一点的 值根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点 0 与1 出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点2 出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在 K=3处相交时，可按式 3)4.().0(jjx求出后一条根轨迹分支上 K=3 的点为 x=3。由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为0.423j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为 3)42.0().(x所以 ， x=2.154。 因本系
35、统特征方程式的三个根之和为2K，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的 K 值。现在已知根轨迹的分离点分别为0.423j0 和2.154，该点的 K 值为)154.2()3.0(2K即，K=0.195 。系统的根轨迹如图 4-1 所示。例 4-2 设控制系统的开环传递函数为 )2)(3)(2ssKHsG试绘制系统的根轨迹。解 （1）系统的开环极点为 0，3，(1j )和(1j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。（2）确定根轨迹的渐近线渐近线的倾斜角为 0318)2()12(Kmna取式中的 K=0，1，2，得 a= /3， ，5 /3，或60及180。三条渐近线如图 4-14 中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为 114)2(30(11 jzpnminjja（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点2 之间以及极点3 的左边，如图 4-14 中的粗线所示。从复数极点(1j ) 出发的两条根轨迹分支沿60渐近线趋向无穷远处。（4）在实轴上无根轨迹的分离点。（5）确定根轨迹与虚轴的交点图 4-1 例 4-1 系统的根轨迹S 平面j
