1、第 1 章 常用逻辑用语 第 1 课时 四种命题教学过程一、 问题情境在我们日常生活中,经常涉及逻辑上的问题 .无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要用逻辑用语表达自己的思想,需要用逻辑关系进行判断和推理 .在初中我们已经学过命题的有关概念,下面我们来复习一下 .问题 1 下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?若 xy=1,则 x,y 互为倒数; 相似三角形的周长相等; 2+4=5;如果 b-1,那么方程 x2-2bx+b2+b=0 有实数根; 3 不能被 2 整除 .二、 数学建构(一)生成概念问题 2 判断下列命题的真假,你能发现各命题之间有什么关系?如果两个三角形全
2、等,那么它们的面积相等;如果两个三角形的面积相等,那么它们全等;如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等;如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等 .解 为真命题, 为假命题; 与 、 与 的条件和结论互逆, 与 、 与 的条件和结论互否 .(二) 理解概念1.原命题与逆命题在两个命题中,如果第一个命题的条件(或题设) 是第二个命题的结论 ,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题 .如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题 .2.原命题与否命题在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题就叫做互否命题
3、 .若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的否命题 .3.原命题与逆否命题在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题就叫做互为逆否命题 .若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的逆否命题 .(三) 巩固概念关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以这样表述(原命题为“ 若 p 则 q”):(1) 交换原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的逆命题(逆命题为“若 q 则 p”);(2) 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的否命题(否命题为“若非 p 则非 q”);(3) 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的
4、命题是原命题的逆否命题 (逆否命题为“若非 q 则非 p”).三、 数学运用【例 1】 (根据教材第 6 页例 1 改编 )写出命题“若 a=0,则 ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假 . (见学生用书 P1)处理建议 先让学生叙述原命题的条件和结论,再对照定义进行解答 .规范板书 解 原命题:若 a=0,则 ab=0(真命题);逆命题:若 ab=0,则 a=0(假命题);否命题:若 a0,则 ab0(假命题);逆否命题:若 ab0,则 a0(真命题) .题后反思 原命题为真命题,它的逆命题、否命题不一定为真命题,但它的逆否命题一定为真命题 .【例 2】 (根据教材第 6
5、页例 2 改编 )把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假 . (见学生用书 P2)(1)两个全等的三角形的三边对应相等;(2)四边相等的四边形是正方形;(3)负数的平方是正数 .处理建议 先让学生分析原命题的条件 p 和结论 q,然后写出逆命题、否命题、逆否命题,对(3)中的条件和结论引导学生得到不同的写法 .规范板书 解 (1) 原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形的三边对应相等 (真命题);逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等(真命题);否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形的三边不对应相等(真命题);逆
6、否命题:若两个三角形的三边不对应相等,则这两个三角形不全等(真命题) .(2)原命题:若一个四边形的四边相等,则它是正方形(假命题);逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等(真命题);否命题:若一个四边形的四边不相等,则它不是正方形(真命题);逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等(假命题) .(3)原命题:若一个数是负数,则它的平方是正数(真命题);逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数(假命题);否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数(假命题);逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数(真命题) .问题 3 第(3) 问还有其他写法吗?解 原命题:若一个
7、数是负数的平方,则这个数是正数(真命题);逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方(假命题);否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数(假命题);逆否命题:若一个数不是正数,则它不是负数的平方(真命题) .题后反思 两个互为逆否的命题同真或同假(如:原命题和逆否命题,逆命题和否命题),其余情况则不一定同真或同假(如:原命题和逆命题,否命题和逆否命题等) .问题 4 逆命题与否命题,逆命题与逆否命题,否命题与逆否命题之间又有什么关系呢?结论:四种命题之间的关系如下图所示 .*【例 3】 已知原命题是“当 c0 时,若 ab,则 acbc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们
8、的真假 .处理建议 “当 c0 时” 是大前提 ,写其他命题时应该保留,原命题的条件是“ ab”,结论是“ acbc”.规范板书 解 逆命题:当 c0 时,若 acbc,则 ab(真命题);否命题:当 c0 时,若 ab,则 acbc(真命题);逆否命题:当 c0 时,若 acbc,则 ab(真命题) .四、 课堂练习1.将命题“平行四边形的对角相等” 写成“若 p 则 q”的形式为若一个四边形是平行四边形 ,则它的对角相等 .2.写出“ 若 x2+y2=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题:若 x0 或 y0,则 x2+y20.提示 “且 ”与“或”的否定分别为“ 或”与“且” .3.命题
9、“ 若 ab,则 2a2b-1”的否命题是 若 ab,则 2a2b-1.4.写出命题“若 a 和 b 都是偶数,则 a+b 是偶数” 的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假 .解 逆命题:若 a+b 是偶数,则 a 和 b 都是偶数(假命题);否命题:若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数(假命题);逆否命题:若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是偶数(真命题) .五、 课堂小结1.四种命题的准确表达及其相互关系 .2.等价转化的思想:互为逆否命题的两个命题同真同假的应用 .第 2 课时 充分条件和必要条件(1) 教学过程一、 问题情境请判断下列命题的真假:若 ab,则 acb
10、c(假命题);若 x0,则 x20(真命题) .二、 数学建构1.推断符号“” 的含义例如上述 为真命题,由 p 经过推理可以得出 q,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,此时可记作“ pq”.又例如上述 为假命题,由 p 经过推理得不出 q,即如果 p 成立,推不出 q 成立,此时可记作“ p/q”.用推断符号“” 写出下列命题:(1) 若 ab,则 a+cb+c;(2) 若 x0,则 x20.2.充分条件与必要条件一般地,如果已知 pq,那么就说 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件 .(1)上述定义中,“ pq”即如果具备了条件 p,就足以保证 q 成立,所以 p 是 q
11、的充分条件,这点容易理解 .但同时说 q 是 p 的必要条件,这是为什么呢?(2)应注意条件和结论是相对而言的,“ pq”的等价命题是“ qp”,即若 q 不成立,则 p 就不成立,故 q 就是 p 成立的必要条件了 .但还必须注意:当 q 成立时, p 可能成立,也可能不成立,即 q 成立不能保证 p 一定成立 .(3)如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“ 必要”呢?充分性 说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的 .它符合上述的“若 p则 q”为真 (即 pq)的形式 .“有之必成立,无之未必不成立” .必要性 必要就是必须,必不可少 .它满足上述的“若非
12、 q 则非 p”为真(即 qp)的形式 .“有之未必成立,无之必不成立” .3.充要条件 如果既有 pq,又有 qp,就记作 pq.我们就说, p 和 q 互为充要条件 .(1) 符号“”叫做等价符号 .“pq”表示“ pq 且 pq”,也表示“ p 等价于 q”. (2) “充要条件” 有时还可以改用“ 当且仅当”来表示,其中“当” 表示“充分 ”,“仅当”表示“必要” .说出下列问题中的条件与结论之间的关系:(1) 若 ab,则 a+cb+c;(2) 若 x0,则 x20;(3) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等 . 三、 数学运用【例 1】 (教材第 7 页例 1)指出下列命题
13、中, p 是 q 的什么条件 .(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件” 和“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1) p:x-1=0,q:(x-1)(x+2)=0;(2) p:两直线平行, q:内错角相等;(3) p:ab,q:a2b2;(4) p:四边形的四条边相等, q:四边形是正方形 . (见学生用书 P3)处理建议 本题是本节课知识的初步应用 .由学生根据以前的数学知识,判断 p,q 之间的推理关系 .规范板书 解 (1) 因为 x-1=0(x-1)(x+2)=0,但( x-1)(x+2)=0/x-1=0,所以 p 是 q 的充分不必要条件 .(2) 因为两条直线平行 内
14、错角相等,所以 p 是 q 的充要条件 .(3) 因为 ab/ a2b2,且 a2b2/ ab,所以 p 是 q 的既不充分又不必要条件 .(4) 因为四边形是正方形四边形的四条边相等 ,但四条边相等的四边形不一定是正方形,所以 p 是 q 的必要不充分条件 .题后反思 本题直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件 .如果由原命题直接判断不方便,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断 .【例 2】 (1) 若 cR,则“ c=0”是“函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过原点”的什么条件?(2) 对于函数 y=f(x),xR,“y=|f(x)|的图
15、象关于 y 轴对称”是“ y=f(x)是奇函数”的什么条件?(见学生用书 P4)处理建议 (1)可直接由函数图象过原点的等价条件来判断;(2)综合考查了奇函数、偶函数的性质及图象,可通过举反例来说明 p/q.规范板书 解 (1) 若 c=0,则 f(x)=ax2+bx(a0),当 x=0 时, y=f(0)=0,因此函数 f(x)=ax2+bx(a0)的图象过原点,故充分性成立 .(2) 因为函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过原点 ,所以 f(0)=0,即 c=0,故必要性成立 .综上,“ c=0”是“函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过原点”的充要条件 .(2) 若
16、 y=f(x)是奇函数,则对任意的 xR,均有 f(-x)=-f(x),即 |f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以 y=|f(x)|是偶函数,即 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,故必要性成立 .若 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,则不能得出 y=f(x)一定是奇函数 .如: y=|cosx|,显然其图象关于 y 轴对称,但y=cosx 是偶函数 .故充分性不成立 .综上,“ y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“ y=f(x)是奇函数”的必要不充分条件 .题后反思 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,知命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类:充分不必要
17、条件,即 pq,而 q/p;必要不充分条件,即 pq,而 p/q;充要条件,既有 pq,又有 qp;既不充分又不必要条件,既有 p/q,又有 q/p.*【例 3】 已知集合 A=x|x5,集合 B=x|x3,则命题“ xA”是命题“ xB”的什么条件?规范板书 解 充分不必要条件 .变式 1 已知集合 A=x|x5,集合 B=x|xa,若命题“ xA”是命题“ xB”的充分条件,则 a 的取值范围是 (-,5 . 变式 2 已知集合 A=x|x5,集合 B=x|xa,若命题“ xA”是命题“ xB”的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 (-,5) . 题后反思 一个问题总是有正反两个方面,变
18、式考查的是已知命题的充分必要性求原命题中参数的取值范围,提醒学生注意临界值 .四、 课堂练习1.在 ABC 中,“ AB”是“sin AsinB”的 充要 条件 . 2.从“ ”“”中选择适当的符号填空 .(1)a,b 都是奇数 a+b 是偶数 ; (2)x2=x+2 |x|= . 3.从“ 充分不必要条件”“必要不充分条件 ”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空 .(1)“=0”是“函数 f(x)=sin(x+)为奇函数”的充分不必要条件;(2)“2a2b”是“log 2alog2b”的必要不充分条件;(3)“00”是“ x+2”的充要条件 .五、 课堂小结1.对充分条
19、件和必要条件概念的理解 .2.对充分条件和必要条件的判断 .第 3 课时 充分条件和必要条件(2)教学过程一、 问题情境对于“ 命题 p 是 q 成立的充要条件” 和“命题 p 成立的充要条件是 q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、 数学建构1.充要条件如果既有 pq,又有 qp,就记作 pq.我们就说, p 和 q 互为充要条件 .(1) 符号“”叫做等价符号,“ pq”表示“ pq 且 pq”,也表示“ p 等价于 q”; (2) “充要条件” 有时还可以改用“ 当且仅当”来表示,其中“当” 表示“充分 ”,“仅当”表示“必要” .2.充要条件的判断方法四种“ 命题 ”反映了命题的条件
20、与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:(1) 确定条件是什么,结论是什么;(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法);(3) 确定条件是结论的什么条件;(4) 充要性包含:充分性 pq,必要性 qp,这两个方面,缺一不可 .三、 数学运用【例 1】 若 M 是 N 的充分不必要条件, N 是 P 的充要条件, Q 是 P 的必要不充分条件,则 M 是 Q 的什么条件?(见学生用书 P5)处理建议 引导学生用推导符号先表示出它们的关系 .规范板书 解 由题意可知 MNPQ,显然 M 是 Q 的充分不必要条件 .题后反思 命题的充分必要性具有传递性 .【例 2】 若
21、不等式 |x-a|0,所以方程 x2+px+q=0 有两个不相等的实根,设其为 x1,x2.因为 x1x2=q) 小于 (7,q:8=7.(2) 这个命题是“ p 且 q”的形式,其中 ,p:2 是偶数, q:2 是质数 .(3) 这个命题是“非 p”的形式,其中 ,p: 是整数 .题后反思 本题对含逻辑联结词的三种形式作了概括,学生能模仿即可 .【例 2】 分别写出由下列各组命题构成的“ p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的命题 .(1)p: 是无理数 ,q:e 不是无理数;(2)p:方程 x2+2x+1=0 有两个相等的实数根, q:方程 x2+2x+1=0 两根的绝对值相等 ;(3
22、)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和, q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 . (见学生用书 P8)规范板书 解 (1)“p 或 q”: 是无理数或 e 不是无理数;“p 且 q”: 是无理数且 e 不是无理数;“非 p”: 不是无理数 .(2)“p 或 q”:方程 x2+2x+1=0 有两个相等的实数根或方程 x2+2x+1=0 两根的绝对值相等;“p 且 q”:方程 x2+2x+1=0 有两个相等的实数根且方程 x2+2x+1=0 两根的绝对值相等;“非 p”:方程 x2+2x+1=0 没有两个相等的实数根 .(3)“p 或 q”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
23、的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;“p 且 q”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;“非 p”: 三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和 .题后反思 注意含逻辑联结词的命题的结构 .【例 3】 (教材第 11 页例 3)判断下列命题的真假:(1)43; (2)44; (3)45.(见学生用书 P8)处理建议 命题形式虽然简洁,但是学生不易理解,需要通过一些实例来体会 .规范板书 解 (1) “43”的含义是“4 3 或 4=3”,其中“ 43”是真命题,所以“43”是真命题 .(2)“44”的含义是 “44 或 4=4”,其
24、中“ 4=4”是真命题,所以“4 4”是真命题 .(3)“45”的含义是 “45 或 4=5”,其中“ 45”与“4 =5”都是假命题,所以“45”是假命题 .题后反思 通过这个例题,让学生体会“”“”的含义 .*【例 4】 已知 p:关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实数根; q:关于 x 的方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实数根 .如果“ p 或 q”为真命题,“ p 且 q”为假命题,求出满足要求的 m 的取值范围 .处理建议 先由“ p 或 q”为真命题及 “p 且 q”为假命题,得出 p,q 的真假 ,然后再求出 m 的取值范围 .规范板书 解 若方程 x
25、2+mx+1=0 有两个不相等的负实数根,则若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实数根,则 =16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)x;(2)xR,x2x;(3)xQ,x2-8=0;(4)xR,x2+20. (见学生用书 P10)处理建议 师生共同分析,找出判断全称命题和存在性命题真假的一般方法 .规范板书 解 (1) 因为当 x=2 时, x2x 成立,所以“ xR,x2x”是真命题 .(2)因为当 x=0 时, x2x 不成立,所以“ xR,x2x”是假命题 .(3)因为使 x2-8=0 成立的数只有 x=2 与 x=-2 ,但它们都不是有理数 ,所以“ xQ,x2-8=0”是假命题 .(4)因为对于任意实数 x,都有 x2+20 成立,所以“ xR,x2+20”是真命题 .
