1、教育研究方法,基本统计概念 Basic S 13617960391,1,授课内容：基本统计概念 + 讨论,正态分布 （normal distribution） 方差 （variance）、标准差 （standard error) Z 分数 （Z- score） 偏态（skewed ） 参数（parameter）与统计量（statistic） 描述性统计 （descriptive statistics) - 7. 零相关 （zero correlation） 8. 正相关 （positive correlation） 9. 标准分数（standard score) 或 Z 分数 （Z- sco
2、re） 10. 第一类型错误 （Type I error） 11. 第二类型错误 （Type II error）,2,统计概念的重要性：授课计划,前几周：概况、主要研究方法本周和下周：基本统计概念、数据分析最后几周：教育实验设计、案例评述、报告- 承上启下完整、深入学习的基础有一定难度,3,基本统计概念：正态分布,正态分布 （normal distribution），又名高斯分布（Gaussian distribution）， 统计学最重要的基础概念，运用最广泛的分布。抽样和抽样统计 Z 分数、Z 检验、方差分析、回归分析等近似描述很多现象的统计规律：“中间大，两头小”（大样本） 人们的身高、
3、体重、考试成绩、智商 各种各样的测量误差 运用：估计频数分布、制定参考值范围、质量控制,4,5,6,2006年四川省普通高考文科语文,7,8,9,正态分布曲线,正态分布由两个参数决定：平均值和方差N（， 2 ）其概率密度函数曲线f(x)的特点：对称性：平均值为对称线以横轴为渐近线方差越小，分布越集中在均值附近，图形越陡峭拐点/反弯点（inflection point）在离平均值的距离 为一个标准差的地方,10,方差、标准差,方差（variance）：对随机变量离散性质的反映和度量每一个体(观测值)偏离总体平均值的程度 方差的计算：各数据与平均数的差的平方的平均值标准差 standard dev
4、iation (SD)：方差的平方根,11,12,方差越小， 图形 越陡峭,13,正态分布：钟形曲线，不是抛物线,14,标准正态分布,15,16,（教材p.348):正态分布函数曲线下,68.3%的面积在平均值左右的1个标准差（ )范围內 95.4%的面积在平均值左右的2个标准差(2 )范围內 99.74%的面积在平均值左右的 3个标准差(3 )范围內 -“68-95-99.7法则”或“经验法则”99.994%的面积在平均值左右的4个标准差(4 )范围內,17,“小概率事件”,通常指发生的概率小于5%的事件（2 之外） 在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。 我们也有5%的犯错误的可能：例如：
5、假设检验的第一类型错误,18,标准正态分布 （Standard normal distribution）,什么是标准正态分布？ = 0 ， 2 = 1，即 N（0，1）Z分数公式z=(x-)/原始分数和总体平均值之间的距离，以标准差为单位计算。反映个体在团体中相对位置,19,Z 转换,-3 -2 -1 0 1 2 3,20,问题：三门功课中，乙同学哪门功课的排名最好？甲同学呢？,21,计算标准分数,22,计算标准分数,23,练习：刘小兰哪门成绩比较好？,上学期期末考试，语文全班平均分为73分，方差为9分，刘小兰得了78分；数学全班平均分为80分，方差为4分，刘小兰得了83分。Z(语文)=(78
6、-73)/3=1.67Z(数学)=(83-80)/2=1.50 小兰语文的班级排名比数学好,24,练习,某市抽样调查，考生的英语成绩（按百分制计算，近似正态分布），平均成绩为72 分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的英语成绩在60分到84分之间的概率. （大致估算）2 近似 = （96 -72) = 24 约 为 12 60 84 之间有68.3% 的学生 / 概率,25,26,27,标准分数的其他形式,T分数T = 10 * Z + 50 （1939年，美国麦柯尔提出）美国大学入学考试分数（如SAT）CEEB = 100 * Z + 500 美国韦克斯勒(Wechsler)智
7、力测验的智商 分量表智商：DIQ = 3 * Z + 10总量表智商：DIQ = 15 * Z + 100美国斯坦福-比纳智力(Stanford-Binet)测验的智商DIQ = 15 * Z + 100 (2003年以前: DIQ=16*Z + 100),28,29,思考,高考成绩为何要转化为标准分？标准分与原始分各有何优劣之处？,30,高考标准分数,原始分制度的主要缺点： （教育测量学的观点）不能反映考生成绩在团体中的位置（尤其对选拔性考试而言）各科成绩不能直接比较（命题难度不同，试卷的区分度也不同）各科原始分相加不合理 （难度不一；每科实际平均分在总分中比例与预期不同）,31,高考标准分
8、数,报告标准分、百分等级: 各科，总分（改称综合分）各科标准分及百分等级获得方法： 1.该科原始分在全省考生属类别团体（如理工类、文史类）中排序 2.每一个原始分以下的考生占团体考生总数的百分比-百分等级 3.由每个原始分的百分等级查正态分布表，找出对应的正态分数 4.按正态分数给出标准分：标准分 = 500 + 100正态分数 标准分在分之间,32,高考标准分数,综合分的标准分和百分等级：把考生各科的标准分相加 按其和的大小从高到低排序 确定其百分等级、标准分 【例】高考成绩（标准分制度）通知单（理工类）考号 姓名 成绩 综合分 语文 数学 外语 物理 化学 * * 标准分 566 600
9、650 485 553 562百分等级 74.5 84.1 93.3 44 70.2 73.2,33,标准分的缺点？,标准分2000年前很热门1988年开始，陆续实行于 广东、海南、河南、陕西、广西、山东、福建广东 （1988年- 2006年） 海南 云南（2011年 - ）,34,标准分的缺点,一旦出现改分错误，纠正很麻烦 不利于偏科的同学 考生投机选科目报考对于有些 3+X考生不利广东成绩较好的学生报文科的更多 只知道排名，不知道具体答卷情况,35,偏态（skewed) 分布,负偏态分布（左偏）长尾向左延伸，分布较多于右侧e.g. 容易的考试的学生成绩正偏态分布（右偏）长尾向右侧延伸，分布
10、较多于左侧e.g. 收入、难度大的考试的学生成绩,36,37,skew is -0.43（251 trading days）,38,描述性统计 （descriptive statistics),mode （众数） 具有最大频率的随机变量的取值average （平均数）median （中数） 累积概率50%时对应的观测值在正态分布中，mode=median=expectation 描述性统计 （descriptive statistics)推论性统计 （inferential statistics),39,总体、个体、样本,研究举例： 受过良好早期教育儿童的智商是否高于一般水平 总体： 缩小范围
11、 总体：“中国大城市现年6-9岁的儿童” 个体: 构成总体的每个基本单元 样本：从总体中抽取出的一部分个体，目的在于为我们所实验或观察，以达到“从局部推断总体”。,40,参数(parameters)和统计量(statistics),参数 总体, 希腊字母表示例如：江西成年男子的真实的平均身高吉安市成人收入的中数(median)统计量 statistic 样本例如：江西随机抽样1000名成年男子的平均身高；随机抽样1000个吉安市成人的收入的中数统计的目的: 用样本统计量去估计或推测总体参数的大小。 平均数： 样本平均数（用X表示） 总体平均数（用表示） 方差： 样本方差（用S2表示） 总体方差
12、（用2表示） 公式的区别: 样本方差 vs. 总体方差分母：(n-1) vs. N,41,抽样误差 （Sampling error）,抽样误差 （ sampling error）vs.样本偏差 （sampling bias）中心极限定理（ Central Limit Theorem ）：概率论第二大定理 当样本n足够大时，样本的平均值呈正态分布。标准误（Standard Error) ：Standard Deviation of sample mean = 标准差/ 根号n,42,43,概率论第一大定理,大数定理（ the law of large numbers）在试验不变的条件下，重复试验
13、多次，随机事件的频率近似于它的概率。,44,变量 variable,变量：总体的一个特征（属性）的数量化对应着一个 变量总体特征往住有多个，一个总体可以对应多个随机变量因变量自变量,45,变量（variable）的数值类型,分类变量（ Categorical Variable or Nominal Variable ）例如：“性别”、“民族”、“考试及格与否” dummy variable 顺序变量 （ Ordinal Variable ）例如：“喜好程度”、“文化程度”数值型变量（Quantitative Variable or Interval Variable）例如：分数，年龄，工资，智
14、商,46,47,第一类型错误（Type I error）,例：在发电厂附近长大对儿童的智力的影响 H0： 发电厂对儿童智商没有影响,即=100 H1： 不等于100。韦克斯勒(Wechsler) DIQ = 15 * Z + 100 斯坦福-比纳智力(Stanford-Binet) DIQ = 16 * Z + 100 Type I error: 假如事实是电厂对智商的没有影响，而该研究的结论是推翻H0。 设定 (level of significance） 1. =0.01的意义2. 把 =0.01 改设为 =0.05，第一类型错误的概率是增加了还是减少了？,48,第二类型错误（Type I
15、I error）,当H0为假时，接受H0. 假如事实是生活在电厂对儿童的智力有影响，而该研究的结论是不推翻H0。,49,第一类型错误（false positive）,类似“crying wolf” - “false alam”“狼来了” - “错误的警报”H0： 没有狼- “未能报警”（failing to raise an alarm) 第二类型错误（false negative）,50,第一、二类型错误的危害,H0：产品是合格的NASA在挑选电子配件是应该着重避免哪类错误？ NASA（The National Aeronautics and Space Administration ）避免
16、第二类型错误H0：嫌疑人是无罪的在法庭上应更注意避免哪类错误？避免第一类型错误 （注重人权）,51,第一、二类型错误的危害,医学上 H0：被测是健康的 H0：被测无艾滋等血液传染病献血者 vs. 待确诊的人H0：被测无乳腺癌全球，美国出错率高 荷兰等最低 ：审查两次， 设定的更低,52,第一、二类型错误的危害,2012/ 5/17 纽约时报医学报告（前列腺癌）H0：被测是健康的 （无前列腺癌的隐患或病症）至多1/3000 获救； 1/3000 致死，43/1000 人 (1/23)受严重损害教育上H0：学生智力正常,53,第一、第二类型错误的避免,n（样本数）不变，跷跷板的关系两类错误都减小n
17、 增大判断题：“抽样统计时，样本越大越好。”,54,55,Alternative hypothesis 备择假设,方向性（directional）/单侧（one-tailed)非方向性（nondirectional）/双侧（two- tailed),56,维生素B6的额外摄入是否对少儿智力的发育有显著影响,（1）该研究的备择假设H1(alternative hypothesis)是“维生素B6的摄入对少儿智力发育有显著影响”。 （2）该研究要验证的假设是非方向性假设（non-directional hypothesis）。 （3）该研究的自变量(independent variable)是“是
18、否额外摄入维生素B6”，因变量(dependent variable)是“儿童的智力发育”。,57,练习：教室门的最低高度？,学生的平均身高为175厘米， 方差为36平方厘米，教室门的高度应不低于99%的学生的身高。解答：z=(x-175)/6 = 2.33 ( 查表：单侧值）x= 175+14.0x=189 (厘米）车门最低为189厘米,58,59,60,抽样误差 （Sampling error）,抽样误差 （ sampling error）vs.样本偏差 （sampling bias）中心极限定理（ Central Limit Theorem ）：概率论第二大定理 当样本n足够大时，样本的
19、平均值呈正态分布。标准误（Standard Error) ：Standard Deviation of sample mean = 标准差/ 根号n,61,平均值的Z 检验,62,Z检验（Z test）：举例,假设在江西某地区, 三年级语文成绩的平均分是100，标准差是12。该地区有一所学校有55名三年级学生，他们的平均分是96。问该小学的平均分是否显著地低于该地区的平均值？( =0.05) - 随机在该地区挑55个三年级学生，他们的平均成绩高于96分的概率 Z= (96-100)/(12/sqrt55)=-2.47 距离母体平均值2.47 个标准差 ，大于1.65 （单边检验）讨论: if平
20、均值99, n=900, then Z= -2.5 如果样本空间很大，与母体平均值极小的差别也会被证实有显著的统计意义 （highly statistically significant）.,【例】难产儿出生体重n=35, =3.42, S =0.40, 一般婴儿出生体重0=3.30（大规模调查获得）， 问相同否？,解：1.建立假设、确定检验水准H0： = 0 （零假设，无效假设，null hypothesis）H1：（备择假设,alternative hypothesis，）双侧检验，检验水准:=0.052.计算检验统计量v=n-1=35-1=34 t=(3.42-3.30)/(S/sqrt
21、(n)= 1.773.查相应界值表，确定P值，下结论查附表1，t*= 2.032, t 0.05， 按=0.05标准，不拒绝H0，两者的差别无统计学意义,练习,刘老师每年教完统计后都会用同样的试卷进行测试。以往测试的平均分是81分。今年在教学中加大练习量后，测试成绩为83分，学生人数为25人。问 （1）今年的分数是否比往年显著高了？ H0：（2）如果有了更多数据后，拒绝了H0， 有可能犯第一类型错误吗？有可能犯第二类型错误吗？,65,X 2 检验（chi-square test）卡方检验,临界值与有关 （ = 0.05； = 0.01； = 0.001） 临界值与自由度 v =（n1 1) * (n2 1) 有关,66,
