1、第五章 数学物理方程和定解条件的导出5-1 波动方程的定解问题 作业及答案1. 一长为 的均匀细杆， 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长 后静止l0x b（在弹性限度内） ，突然放手任其振动，写出振动方程与定解条件。解： 方程： 2 22()(,)txxusdxdxsttutuYYdxuau 边界条件(0,)(0()xtFtultYs自 由 振 动 初始条件t u(x,0)(,),(u0bbxl l由 比 例 得2. 一根均匀柔软的细弦沿 轴绷紧，垂直于平衡位置作微小的横振动，求其振x动方程。解：应用牛顿定律于纵向及横向。 纵向。由纵向加速度为零 21T()cosT()cs0gdxdgx+积分
2、 0()()()xxTgl 横向21T()sinT()si1:()()txxdttxttx xxudxtguTugluglA+因联 立3. 长为 的弦两端固定，密度为 ，开始时在 处受到冲量 作用，写l xcI出初始条件。解：1.初始条件1）初位移， 时弦来不及振动，故0t(,0)ux2）初速度，在 段，由动量定理： ,而动量的变化为xc21tPFdI，将两式联立，有(,0)2(,0)t tPmuu (,0),tuxxc在 段，没有受到外界作用，故 xc,t4. 长为 的均匀细杆，在振动过程中 端固定，另一端受拉力 的作用，试l 0x0F写出边界条件（杆的横截面积为 ,杨氏模量为 ）.SY解：
3、我们取 和 段进行研究，设杆的体密度为 ，(0,),)l对于 段，由牛顿第二定律有：, 20uspFt由胡克定律 20xxupYsFt当 有00xuYs即 0xFuYs对于 段有(,)l20xluFYst当 有00xls故其边界条件为 00xxlFuYs5. 线密度为 长为 的弦，两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度的l弦所受阻力 ，试写出其运动方程。uFht解：任取 一小段弦进行研究，由牛顿定律在垂直方向有(,)xd221sinsixdxuuTgxhdxtt 水平方向有 21cos0xdxT我们研究的范围限于微小振动 21210,s即亦即 xdxT且 1122sinta,sintax xduu2222()xdxuTgdhttuuxttuTghxt因为 这项很小，可以忽略不计所以220utt令 2Ta故运动方程为：220uhuatxt
