求三角形面积的海伦公式若 的三边长分别为 ， ， ，则ABCabc()()()()4,S abcpp其中 是 的半周长，即 。p()2abc（证明一）设边 上的高为 。由于 ，而在 和 chADBcADC中，根据勾股定理有DBC222;.ADChBaABCbchD于是有22,bha即22.cbh两边平方，化简得222.a两边平方，化简得22(4)bch22(1)2.ABCacSc仔细化简一下，得22424242(1)4 ).1()()()()4ABCbcabbcSacac（证明二）(1)21sinos2ABCSbC在 中，由余弦定理得ABC22cos.acb代入 (1) 式，化简得222 22 211()sincos4()4().ABC abcSabCb 化简得1()()()()4 .ABCSacabc
