1、 声子晶体研究的若干进展 倪青, 程建春 （近代声学教育部重点实验室，南京大学声学研究所，南京 210093 ） 1 引言 20世纪初半导体材料的出现引发了一场轰轰烈烈的电子工业革命，使我们进入了信息时代。半导体的原子呈周期性排列，电子在半导体中运动时，电子与原子周期势场相互作用使得半导体具有电子禁带，能够操控电子的流动。以硅晶体为代表的半导体带来了一次科学技术革命。随着晶体管、集成电路、大规模集成电路甚至超大规模集成电路的开发运用，半导体技术对人类文明的进步产生了深远的影响。我们知道，半导体的理论依据是固体电子的能带理论，即电子在周期性势场的作用下会形成价带和导带，带与带之间有能隙。量子阱、
2、半导体超晶格等模拟实际晶体设计的相关材料与器件的成功应用，使电子能带理论突破了原有天然材料的限制，进入了一个新的阶段。 约二十年前，人们开始触及对结构功能材料光学特性的研究。理论和实验证明，如果结构功能材料中的介电常数在光波长尺度上周期性变化，光子与周期结构相互作用，会使得该材料具有类似半导体中电子禁带的能带结构，称之为光子禁带。具有光子禁带的周期性电介质结构功能材料称为光子晶体。光子能量落在光子禁带中的光波不能在光子晶体中传播，当光子晶体中存在( 或引入) 点缺陷或线缺陷时，则禁带内的光波将被局域在点缺陷内或只能沿线缺陷传播。通过对光子晶体周期结构及其缺陷的设计，可以人为地调控光子的流动。
3、1987年，Yablonovithch 和John 两人分别独立地提出了光子晶体的概念1, 2 ， Yablonovitch还通过实验验证了微波波段光子禁带的存在3 。光子晶体迅速成为光电子以及信息技术领域研究的热点。 随后，人们发现当弹性波在周期性弹性复合介质中传播时，也会产生类似的弹性波禁带，于是提出了声子晶体的概念。声子晶体具有丰富的物理内涵及潜在的广阔应用前景。声子晶体的研究引起了各国研究机构的高度关注。 2 声子晶体研究概况 2.1 声子晶体概念及基本特征 声子晶体是具有不同弹性性质的材料周期复合而成的介质。在声子晶体内部材料组分(或称为组元) 的弹性常数、质量密度等参数周期性变化。
4、随着材料组分搭配的不同，以及周期结构形式的不同，声子晶体的弹性波禁带特性也就不同。 声子晶体同光子晶体有着相似的基本特征：当弹性波频率落在禁带范围内时，弹性波被禁止传播；当存在点缺陷或线缺陷时，弹性波会被局域在点缺陷处，或只能沿线缺陷传播。同样，通过对声子晶体周期结构及其缺陷的设计，可以人为地调控弹性波的传播。 弹性波是由纵波和横波耦合的张量波，在每个组元中具有3 个独立的弹性参数，即质量密度 、纵波波速cl和横波波速ct(在流体介质中ct=0)；光波是矢量波（只有横波），在每个组元中只有一个独立的参数即介电常数（忽略材料的磁性）。因此，声子晶体的研究比光子晶体更困难，且具有更丰富的物理内涵。
5、比较( 电子) 晶体、光子晶体及声子晶体的有关特性，1发现三者具有惊人的相似之处4 ，因此， (电子) 晶体、光子晶体的一些研究方法对声子晶体的研究有一定的指导作用。 根据声子晶体结构在迪卡尔坐标系中三个正交方向上的周期性，可以将声子晶体分为一维、二维、三维声子晶体。学者们已经对一些特定结构的声子晶体进行了研究：一维声子晶体，一般针对两种或多种材料组成的周期性层状结构；二维声子晶体，一般针对柱体材料中心轴线均平行于空间某一方向、并将其嵌入另一基体材料中所形成的周期性点阵结构，柱体材料可以是中空的或实心的，柱体的横截面通常是圆形，也可以是正方形，柱体的排列形式可以是正方形、三角形、六边形排列等；
6、三维声子晶体一般针对球形散射体嵌入某一基体材料中所形成的周期性点阵结构，周期性点阵结构形式可以是体心立方、面心立方、六角密排结构等。 2.2 声子晶体禁带机理 大量的理论和实验研究都证明了声子晶体中弹性波禁带的存在，图1 给出了一个典型的二维声子晶体色散关系(Dispersion Relation) 图，图1 中左图的阴影部分即为弹性波禁带，右图为正方排列声子晶体的第一Brillouin 区。 0.00.20.40.60.81.01.2约 化 波 矢约化频率M X MKy Kx M X 图 1 某种二维声子晶体的色散关系图，右图为第一 Brillouin 区 关于弹性波禁带形成的机理比较成熟的
7、有两种： 布拉格散射机理4 和局域共振机理5。布拉格散射是由固体物理学的能带理论引出的，其造成禁带的原因主要是：周期变化的材料特性与弹性波相互作用，使得某些频率的波在周期结构中没有对应的振动模式，也即不能传播，因而产生禁带。大量研究弹性波禁带形成的文献着重讨论了布拉格散射机理，研究表明：弹性波禁带的产生与复合介质中组分的弹性常数、密度、声速、组分的填充率等有关；与晶格结构形式及尺寸有关。此外，布拉格散射形成的弹性波禁带对应的弹性波波长一般与周期结构尺寸参数( 即晶格尺寸或晶格常数) 相当，这与光子晶体周期结构产生禁带的机理在概念上是一致的，因此布拉格散射机理对声子晶体在低频( 尤其是在1kHz
8、 以下) 禁带方面的应用造成了一定的困难。 我国学者刘正猷等5, 7在研究用粘弹性软材料包覆后的铅球组成简单立方晶格结构嵌入环氧树脂中形成的三维声子晶体时发现，该声子晶体禁带所对应的波长远远大于晶格的尺寸，突破了布拉格散射机理的限制，而且在散射体并非严格周期分布、甚至随机分布时，复合结构同样具有禁带，由此提出了弹性波禁带的局域共振机理。局域共振机理认为，在特定频率的弹性波激励下，单个散射体产生共振，并与入射波相互作用，使其不能继续传播。禁2带的产生主要取决于各个单散射体本身的结构与弹性波的相互作用。因此，对于符合局域共振机理的声子晶体，禁带与单个散射体固有的振动特性密切相关，与散射体的周期性及
9、晶格常数关系不大，这对于声子晶体在低频波段的应用开辟了广阔的道路。中国国防科技大学Wang等 6最近提出了不含包覆层的局域共振型声子晶体，他们的理论证明，利用非常软材料嵌入到某种硬基体中也存在很低共振频率的特点。 总之，布拉格散射机理强调周期结构对波的影响，如何设计其周期结构的晶格常数与材料组分的搭配是设计禁带的关键因素之一；局域共振机理则强调单个散射体的特殊结构对波的作用，如何设计单个散射体的共振结构与散射体在基体内的散布特性是问题的关键。 2.3 声子晶体缺陷态 符合布拉格散射机理的声子晶体具有理想的周期性结构，对这种理想周期性结构的破坏一般称为缺陷。缺陷按其维数可以分为点缺陷8 、线缺陷
10、9 和面缺陷10 。当声子晶体中存在某种缺陷时，会在其禁带范围内产生所谓的缺陷态，缺陷态的存在会对声子晶体的禁带特性产生重大的影响。因此，对声子晶体缺陷态特性的研究有着重要的意义。 Sigalas等 8研究了二维铅/ 环氧树脂声子晶体中存在点缺陷时弹性波传播情况，该点缺陷通过改变某个铅柱的直径来获得，计算表明点缺陷对弹性波具有局域作用。 Kafeski等 9采用有限时域差分法研究了弹性波在二维铅/ 环氧树脂声子晶体中存在线缺陷时的传播情况，该线缺陷是通过移去声子晶体中的一行或一列铅棒获得的。研究表明弹性波只能沿线缺陷传播。在实验方面，Torres 等11 研究了二维水银/ 铝声子晶体中的表面态
11、情况，指出声波在声子晶体界面上具有声波局域现象。同时还实验研究了通过移去部分水银柱形成的L形线缺陷情况下声波的传播情况。实验表明，声波只能沿线缺陷传播或被局域在点缺陷处，实验结果很好地验证了理论计算结果。关于三维声子晶体中的缺陷研究， Psarobas等 10研究了三维铅球嵌入环氧树脂基体中以面心立方晶格排列时，面缺陷的存在可以使得声子晶体的禁带中出现横波和纵波的局域现象。 对声子晶体中缺陷态的研究，大部分还只是理论计算工作，声子晶体虽然只有点缺陷、线缺陷、面缺陷三种缺陷形式，但每种缺陷形式又可以有多种多样的结构形式。对声子晶体缺陷态特性的研究将对声子晶体的工程应用提供广泛的理论指导。 2.4
12、 声子晶体研究方法 比较成熟的声子晶体禁带计算方法主要有平面波展开(PWE) 方法4 、有限时域差分法(FDTD)9和多重散射法(MST)5 。 PWE法直接利用了结构的周期性，将波动方程从实空间变换到离散Fourier 空间，将能带计算简化成代数特征值问题的求解，其应用最为广泛，易于理解，且计算相对简单。但由于其依赖于对弹性参数的傅里叶级数展开，因此该方法在计算含大弹性常数差界面的声子晶体的禁带特性时，需要使用大量的傅里叶级数项。 MST法可以解决这些问题，但其理论推导十分复杂，目前限于处理球形或柱形单元结构的声子晶体， MST法的原理是基于电子能带结构计算的著名方法，即Korringa-K
13、ohn-Rostoker(KKR) 理论12 ，它的基本思想是将入射到某一球体( 散射体) 上的入射波分成两部分：从其它散射体散射过来的散射波，介质接收到的外部场的入射波。 FDTD法适用于计算有限周期声子晶体结构的传输、反射特性，但对于大弹性常数差声子晶体结构，也需要大幅度减小离散时间步长，以满足计算稳定性的要求，这使得计算时间大大增加。其基本思想是：定义初始时间的一组场分布，然后根据周期性边界条件，利用波动方程可以求得场强随时间的变化，最终求得声子晶体的能带结构。 32.5 声子晶体应用领域 声子晶体的应用在很大程度上还处于探索阶段，但声子晶体具有的禁带特性、缺陷态特性使得它在减振、降噪、
14、声学器件等方面有着潜在的广阔应用前景。 在减振方面，利用声子晶体的禁带特性，可以为高精密机械加工系统提供一定频率范围内的无振动加工环境，从而保证加工精度水平；也可以为某些精密仪器设备提供一定频率范围内的无振动工作环境，进而提高工作参数精度，提高可靠性，延长使用寿命。在降噪方面，利用声子晶体的禁带特性，有可能设计和制造出一种全新的降噪材料，这种材料既可以在噪声的传播途中隔离噪声，又可以在噪声源处控制噪声。根据局域共振机理，如果突破了声子晶体低频禁带的设计方法，声子晶体将在潜艇的消声瓦、声纳等方面有着广阔的应用前景。 根据声子晶体中存在缺陷时声波的局域特性，可以设计出新型的高效率、低能耗的声学滤波
15、器，也可以设计出具有高聚焦特性、低能耗的声学透镜等。 关于声子晶体应用研究的文献较少。Diez 等13 通过在光纤中刻蚀声学光栅构成一维声子晶体实现了光纤的声光调制； Cervera等14 采用弹性材料排列在空气中构成二维声子晶体实现了声学透镜的功能。美国国防部高级研究计划局 (DARPA)在 1999年对声子晶体的应用研究方面进行了大力资助，主要是针对声滤波器、振动和噪声隔离等领域。随着声子晶体理论研究的日趋成熟，声子晶体的应用研究也将引起越来越多的关注。声子晶体的应用研究必将涉及声子晶体的制备理论与技术、声子晶体的测试表征，它们也是声子晶体研究内容的一部分。虽然目前专门报道这方面工作的文献
16、较少，但随着声子晶体应用研究工作的展开，这部分研究工作必将引起重视。 3 表面波和兰姆波型声子晶体 3.1 声子晶体表面波禁带 早在1984年，法国的Djafari15 就研究了声表面波在两种材料组成的一维层状复合材料中的传播特性。随着声子晶体概念的提出，人们逐渐对声子晶体表面波的禁带特性有了更进一步的认识。目前，国际上有多个课题组在对声子晶体表面波进行研究，如美国的Vines16 、乌克兰的Tartakovskaya17 、日本的Tananka18 等。这些研究工作主要集中在一维和二维声子晶体的声表面波禁带特性理论计算方面，从理论计算上证实了声子晶体存在声表面波禁带。Vines 和 Mese
17、guer等 16还从实验的角度证实了半无限周期性结构表面存在声表面波禁带。美国马里兰大学Agis Lliadis 研究小组在基于硅和蓝宝石基体的声子晶体表面研究声表面波禁带，应用于高频声表面波滤波器或生物传感器上，并获得了美国自然科学基金的资助。 3.2 声子晶体兰姆波禁带 关于Lamb 波在周期复合介质中的传播， Auld等 20第一次利用耦合模式近似方法研究了Lamb波在二维周期性复合材料中传播特性，并证明了 Lamb波在周期材料中会产生禁带。Alippi等 21第一次在复合材料薄板实验中观测到最低对称Lamb 波模式的禁带，并用近似的理论进行了解析。他们利用传递矩阵方法研究了Lamb 波
18、在有限长度周期性材料中的传播特性，其结果非常对应于Kronig-Penney 方法结果。目前，国内南京大学声学所对Lamb 波声子晶体进行了大量研究。 Cheng小组 22研究了一维周期性复合薄板中低阶Lamb 波的传播，理论上严格证明了一维钨（Tungsten ）/ 硅（ Silicon）薄板结构中存在低阶Lamb 波禁带（如图 2）, 发现其禁带结构与体波禁带结构存在很大的差别，特别是提出了Lamb 波禁带存在的一个关键参数，即晶格常数与薄板厚度之比。经有限元法计算Lamb 波经过有限长周期结构薄板的能量传输谱与4平面波展开法非常吻合。 禁带 图 2 有限元计算的钨/ 硅薄板结构中 Lam
19、b 波的透射谱（薄板厚度与晶格常数之比 L/D=0.5，占有比 f=0.5） :点线为 Lamb 波经过同样厚度的均匀薄板透射谱 进一步，Cheng 小组 23研究了钨/ 硅呈Fibonacci 序列排列的一维准周期复合薄板中的Lamb波传播，发现其禁带结构比周期结构声子晶体的禁带结构更为丰富，如图3 。他们还研究 24了均匀衬底上周期薄板中的Lamb 波传播，发现当衬底较硬时，衬底对Lamb 波的禁带影响较大，随着衬底变厚，Lamb 波禁带会逐渐减小最终消失；相反当衬底较软时，随着衬底变厚， Lamb波禁带反而变大；而当衬底材料与基体材料相同时，衬底对Lamb 波的影响介于二者之间。 图 3
20、 有限元计算的钨/ 硅呈 Fibonacci 序列排列的一维准周期薄板中 Lamb 波透射谱：粗线、点线和细线分别为 Lamb 波经过准周期薄板、同样厚度的均匀薄板和周期薄板的透射谱 53.3 压电声子晶体表面波、兰姆波 Wu25等人把研究声子晶体中表面波的方法推广到各向异性材料，并研究了表面波在周期压电材料传播特性。Laude26 等人在周期性压电材料中观测到表面波完全禁带。Wilm27等人利用三维平面波展开法研究了周期性薄板压电材料。 Vasseur等研究了均匀衬底上周期板中的板波传播，并研究了其中的缺陷态现象，从而提出了其在无线电通迅方面的应用28 。 Cheng小组 29研究了压电陶瓷
21、- 环氧树脂声子晶体板中的板波禁带结构，详细研究了声子晶体的组成（填充率、板厚相对晶格的尺度大小）、压电陶瓷在不同电边界条件下不同的极化模式（开路边界和短路边界）对禁带的起始频率和宽度的影响。研究表明：极化过的陶瓷声子晶体具有更宽的禁带；在同一极化模式下，短路边界的压电陶瓷声子晶体具有更宽的板波禁带。研究还表明，三个关键参数决定了禁带的性质：极化方向、填充率以及板厚相对晶格的尺度大小。因此，通过选择合适的参数可以控制板波禁带的起始频率和禁带宽度。 4 声子晶体的负折射 要彻底了解声子晶体的特性，仅仅考虑禁带是不够的。有必要了解频率落在禁带以外时，波在声子晶体内的传播行为。这些研究成果将能帮助未
22、来以更多元的方式操控波的传播，并进而设计及制造各种有用的等效介质。目前，最重要的发现之一是所谓负折射现象30 ，即当电磁波由真空中入射到具负折射特性的人工介质表面后，折射波束会折向法线的另一边(有一个负的折射角) ，如图4 所示。由 Snell定律可定义此介质具有负的折射率。 负折射 介质 物 像 图 4 负折射介质对波传播的影响示意图 1968年， 前 苏联科学家 Veselago断言 31： 平面电磁波照射在一个同时具有负介电常数 和负磁导率 （即折射率 n为负值） 的媒质时， 要发生反常的折射现象。 自然界已知的材料都呈现正折射率， 因此负折射概念的提出， 轰动了整个科学界。 科学家们理
23、论解释了存在负折射率的原理， 并人工合成了这种媒质。 实验进一步证明了当微波入射样品后， 传播方向与入射方向在法线的同一侧，与 Snell定 律所描述的相反。 2000年， Pendry发表了一 篇著名的文 章 30， 证 明 一块折射率 n= 1(也要求 = 1)的负折射介质板是一个完美透镜， 可将波源原像重现而超越绕射极限。 这样的一块平板除了可6聚焦由点光源发射出的传导波之外，还可以放大倏逝波，将本来不会有贡献的倏逝波还原成原来的强度。此文发表后，立即在学术界掀起了负折射研究的热潮。其中不乏质疑完美透镜之可行性的声音，而且对实验结果的解读也有不同说法。目前对负折射介质的质疑包括：负折射是
24、否真的存在，或只是对不熟悉之现象的一种错误解释；完美成像是否可能以及负折射介质是否有物理上的限制；绕射极限是否能被超越以及吸收与色散是否会破坏负折射。 声子晶体的负折射效应是利用声子晶体在禁带边缘的特殊色散关系制造出负群指数，模拟半导体能带理论中电子的负等效质量。在负群指数频率范围内，波向量 k的方向由广义Snell定律决定，而平均能流的方向等于群速度方向。 目前学者对负折射现象的机制，以及其可能的限制( 比如非均向性，强反射等) 的认识还是很粗浅的。我国学者Zhang 和Liu 研究了二维声子晶体中的负折射现象32 ，它们与光子晶体中存在的负折射现象相似。Liu 等研究了二维三元声子晶体中的
25、负折射现象 33，利用局域共振机理实现了低频部分的负折射。 南京大学Chen 小组34 从理论和实验上研究了声子晶体在第一能带和第二能带的负折射现象：在第一能带中，由于波矢始终为正，因此，声波的群速度有正负两种情况，分别对应正折射和负折射。而在声子晶体第二能带中，声波具有负的波矢和负的相速度以及有效负折射率，从而实现了具有回波效应的负折射，这一现象是区分它和左手系材料以及声子晶体第一能带中的负折射现象的重要特征。由于回波效应引起的位相补偿，提供了同时放大具有负折射和正折射的近场倏逝波的方法，从而能够增强声波的分辨率并有可能得到突破衍射极限的亚波长成像。 最近, Chen小组 35研究了声子晶体
26、中的双负折射现象。由于光子晶体一些能带的重叠，相同频率可能会同时属于不同的能带和不同的波向量，从而在光子晶体的高频能带部分可能会在相同极化状态时产生双折射现象36 。 Chen小组 35等实现了二维声子晶体中的双负折射现象，他们提出的双负折射现象发生在同一频率下的相同极化状态。利用声子晶体的这一特性，可实现新颖的双聚焦成像，在声聚焦、声全息，声表面波器件等方面可能有重要应用。 5 声子晶体低频弹性波传播 负折射现象可能出现在禁带附近或禁带以上的频率部分；对于周期结构，色散关系中低于第一条禁带以下的很大一部分对应的是线性色散关系( 低频部分) ，周期结构介质在这一部分的性质表现出来与自然介质相似
27、的性质，但同时又有不同于自然介质的一些特有性质。 Cervera等 14首先报道了利用声子晶体在低频部分的性质，采用弹性材料排列在空气中构成二维声子晶体实现了声学透镜的功能。随后Kafesaki 等 37运用多重散射法研究了水中含空气泡的有效声速度问题，很好地验证了Ruffa38 提出的含泡液体中声速下降问题。 随着Cervera 以及Kafesaki 报导的出现， Krokhin等 39运用在研究光子晶体低频极限时的方法研究了水中含空气泡的有效声速度问题以及弹性材料排列在空气中构成二维声子晶体的低频声传播问题，他们的研究结果与之前的报导完全吻合。随后，出现了较多学者对声子晶体长波极限的研究。
28、Hou 等40 直接将长波极限时的声子晶体看成有效介质，然后运用有效介质的传输系数来研究二维声子晶体长波极限时的声传播现象。Mei 等 41以及Torrent 等42运用多重散射法研究液体介质中含周期排列悬浮物时的声波传播问题，研究结果与Cervera的实验以及Krokhin 的理论结果完全一致，同时Mei 等人还指出了传统复合介质有效密度（完全平均法）对液体介质中含固体悬浮复合介质的局限性，而Berryman43 的有效密度理论则适用于固- 固以及液体介质中含固体悬浮物的复合介质。 Torrent等42 则同时明确指出他们的长波极限理论可以适用的范围：波动的波长大于周期结构的特征长度三倍以上
29、。Halevi 等 44 运用 PWE 法研究了流体介质作为基体的声子晶体的低频均一化7（homogenization ）问题，Mei等以及 Cervera等人的结果与他们的完全一致。 针对声子晶体中低频极限时传播问题的研究大多集中于对含空气泡流体介质或空气中含硬柱体的介质。声波在这些复合介质中的传播行为是各向同性的。对于固- 固型声子晶体中弹性波的传播，处理各向同性的有效介质的理论将难以应用。由于固- 固复合介质中弹性波动方程存在不同偏振方向的耦合，使得对其低频极限时的研究要比对各向同性有效介质的研究复杂得多。无论是从对物理现象本质的发现出发，还是从固- 固型声子晶体的实际应用的需求出发，需
30、进一步研究固- 固型声子晶体中的长波极限问题。 Cheng小组 45运用平面波展开法和低频极限方法研究了二维声子晶体长波极限弹性波传播。随后利用周期结构的周期性特点和特殊方向波动的纯模性质，又研究了三维声子晶体低频极限弹性波传播性质46 ，可以得出声子晶体低频极限时的各项物理参数。并且理论兼顾到了声子晶体的周期拓扑结构以及多重散射效果对有效参数的影响，克服了前人的一些相应理论在处理矢量波传播时的缺点。特别是，他们发现了声子晶体在低频具有各向异性的特点，研究了材料常数、填充率以及晶格拓扑形状对有效速度和各向异性的影响。对于含中间包层的局域共振型声子晶体，低频极限研究还发现软包层的引入并不是由于降
31、低声子晶体中的波动传播速度而使禁带出现在低频，而且即使由于某种因素导致声子晶体中波动的传播速度变慢，也并不一定会引起声子晶体禁带对应频率的降低。 6 其它：安德森局域化 声子晶体的一个主要特征是波的安德森局域化。声子禁带与安德森局域化密切相关，而且研究缺陷( 点缺陷、线缺陷和面缺陷) 处的局域模式非常重要。利用点缺陷可以把声波俘获在某一个特定的位置，使其无法向外传播，这相当于微腔。声子晶体中引入某种线缺陷( 如型线缺陷) ，可以使处于禁带频率范围内的声波沿该通道进行传播，即所谓的声波导。 Cheng小组 47研究了在声子晶体中嵌入由第三种材料组成的台球系统作为缺陷时弹性波的传播特性。通过与可积
32、系统（圆形）比较，计算在台球区域中以及在整个声子晶体中的能量变化，发现了不可积系统的混沌效应。讨论了波数k 对这种混沌效应的影响，发现ka 必须足够大才能使这种效应得以体现。他们研究了不同形状的运动场台球，证明任何形状的运动场台球都是混沌的，并且通过计算空间声场分布显示弹性波被局域化在台球场内。 通过计算空间两点相关函数，比较了可积系统（圆形）和不可积系统（运动场台球）中波场在统计特性上的差异，发现不可积系统的空间相关函数幅度更小，对距离的变化更为敏感，类似于Corr(s)= J0(ks)变化（其中k 为波数， s为两点距离, J0为零阶Bessel 函数） ，而这是混沌系统的基本特征。引入缺
33、陷后，声波在声子晶体禁带内受到更强的抑制，并且运动场台球比圆形台球体现出更强的抑制效果。 7 发展方向 总之，声子晶体的研究仍然是目前的一个热点课题。从频率域来区分，研究内容向两个方向拓展：寻找低频（1kHz 以下）存在宽禁带的局域型声子晶体，物理上实现小尺度（厘米量级的晶体）控制大尺度（米量级的声波波长）；在高频段，研究经典波在非均匀、复杂介质中传播的基本规律，而声子晶体周期结构介质是复杂介质的最简单形式。当然，探讨声子晶体的应用是研究的最终目标。 8感谢 本文得到国家自然科学基金(Grant No. 10125417) 和教育部项目(Grant Nos. 705017 和 20060284
34、035)的资助。 参考文献 1 E. Yablonovitch: Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics, Phys. Rev. Lett. 58 (20), 2059-2062(1987). 2 S. John: Strong Localization of Photons in Certain Disordered Dielectric Superlattices, Phys. Rev. Lett. 58 (23), 2486-2489(1987). 3 E. Yablonovitch, a
35、nd T. J. Gmitter: Photonic Band Structure: The Face-Centered-Cubic Case, Phys. Rev. Lett. 63 (18), 1950-1953(1989). 4 M. S. Kushwaha et al: Theory of acoustic band structure of periodic elastic composites, Phys. Rev. B 49 (4), 2313-2322(1994). 5 Z. Y. Liu, X. X. Zhang, Y. W. Mao, et al: Locally reso
36、nant sonic materials, Science, 289 (5485),1734-1736(2000). 6 G. Wang et al, Two-Dimensional Locally Resonant Phononic Crystals with Binary Structures, Phys. Rev. Lett. 93(15), art. 154302(2004). 7 温维佳, 沈平 : 局域共振的光子、声子功能材料, 物理 33(2), 106-110(2004). 8 M. M. Sigalas: Elastic wave band gaps and defect s
37、tates in two-dimensional composites, J. Acoust. Soc. Amer. 101(3), 1256-1261(1997). 9 M. Kafesaki, M. M. Sigalas, N. Garcia: Frequency Modulation in the Transmittivity of Wave Guides in Elastic-Wave Band-Gap Materials, Phys. Rev. Lett, 85(19), 4044-4017(2000). 10 H. Chandra, P. A. Deymier, J. O. Vas
38、seur: Elastic wave propagation along waveguides in three-dimensional phononic crystals, Phys. Rev. B 70(5), art.054302(2004). 11 F. R. Montero de Espinosa, et al: Ultrasonic Band Gap in a Periodic Two-Dimensional Composite, Phys. Rev. Lett. 80(6), 1208-1211(1998). 12 W. Kohn, N. Rostoker: Solution o
39、f the Schrdinger Equation in Periodic Lattices with an Application to Metallic Lithium, Phys. Rev. 94(5), 1111-1120(1951). 13 A. Diez, G. Kakarantzas, T. A. Birks: Acoustic stop-bands in periodically microtapered optical fibers, Appl. Phy. Lett. 76(5), 3481-3483(2000). 14 F. Cervera et al: Refractiv
40、e Acoustic Devices for Airborne Sound, Phys. Rev. Lett. 88(2), art. 023902(2002). 15 B. Djafari-Rouhani: Rayleigh waves on a superlattice stratified normal to the surface, Phys. Rev. B 29(12), 6454-6462(1984). 16 R. E. Vines: Scanning phononic lattices with surface acoustic waves, Physica B 263, 567
41、-570 (1999). 17 E. Tartakovskaya: Surface waves in elastic band-gap composites, Phys. Rev. B 62(16), 11225-11229(2000). 18 Y. Tanaka and S. I. Tamura: Surface acoustic waves in two-dimensional periodic elastic structures, Phys. Rev. B 58(12), 7958-7965(1998). 19 F. Meseguer: Rayleigh-wave attenuatio
42、n by a semi-infinite two-dimensional elastic-band-gap 9crystal, Phys. Rev. B 59(19), 12169-12172(1999). 20 B. A. Auld, Y. A. Shui, Y. Wang: Elastic wave propagation in three-dimensional periodic composite materials, J. Phys. (Paris) 45, 159-163(1984). 21 A. Alippi, F. Craciun, E. Molinari: Finite-si
43、ze effects in the frequency response of piezoelectric composite plates, J. Appl. Phys. 66(7), 2828-2832(1989). 22 J. J. Chen, K. W. Zhang, J. Gao, J. C. Cheng: Stopbands for lower-order Lamb waves in one-dimensional composite thin plates, Phys. Rev. B 73 (9), art. 094307(2006). 23 J. Gao, J.C. Cheng
44、, B.W. Li: Propagation of Lamb waves in one-dimensional quasiperiodic composite thin plates: A split of phonon band gap, Appl. Phys. Lett. 90(11), art. 111908 (2007). 24 J. Gao X. Y. Zou, J. C. Cheng, B. W. Li: Substrate Effect on Band-gaps of lower-order Lamb wave in thin plate with one-dimensional
45、 phononic crystal layer on substrate, submitted to Appl. Phys. Lett. 25 T. T. Wu, Z. G. Huang, S. Lin: Surface and bulk acoustic waves in two-dimensional phononic crystal consisting of materials with general anisotropy, Phys. Rev. B 69(9), art. 094301(2004). 26 T. T. Wu, Z. C. Hsu, Z. G. Huang: Band
46、 gaps and the electromechanical coupling coefficient of a surface acoustic wave in a two-dimensional piezoelectric phononic crystal, Phys. Rev. B 71(6), art. 064303(2005). 27 V. Laude et al: Band gaps and the electromechanical coupling coefficient of a surface acoustic wave in a two-dimensional piez
47、oelectric phononic crystal, Phys. Rev. E 71(3), art. 036607 (2005). 28 M. Wilm et al: A full 3D plane-wave-expansion model for 1-3 piezoelectric composite structures, J. Acoust. Soc. Amer. 112(3), 943-952(2002). 29 J. O. Vasseur et al: Waveguiding in two-dimensional piezoelectric phononic crystal pl
48、ates, J. Appl. Phys. 101(11), art. 114904(2007). 30 X. Y. Zou, Q. Chen, J.C. Cheng: The Band Gaps of Plate-Mode Waves in One-Dimensional Piezoelectric Composite Plates: Polarizations and Boundary Conditions, IEEE Trans. UFFC, 54(7), 1430-1436(2007). 31 J. B. Pendry: Negative Refraction Makes a Perfe
49、ct Lens, Phys. Rev. Lett. 85(18), 3966-1969 (2000). 32 V. G. Veselago: The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of and , Sov. Phys. Usp. 10(4), 509-514(1968). 33 X. Zhang, Z. Liu: Negative refraction of acoustic waves in two-dimensional phononic crystals, Appl. Phys. Lett. 85(2), 341-343(2004). 34 J. Zi, Z. Liu, C. Qiu: Neg
