1、第 10 课时 基本不等式的证明(2)教学过程一、 数学运用【例 1】 已知 a, b 都为正实数 ,求证:a 3+b3a2b+ab2. (见学生用书课堂本 P59)处理建议 学生思考、交流,教师注意从多角度解决此题.规范板书 证法一 (比较法 )(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b), a, b 为两正实数 , (a-b)2(a+b)0, (a3+b3)-(a2b+ab2)0,即 a3+b3a2b+ab2.证法二 (分析法)要证 a3+b3a2b+ab2,只要证(a+b )(a2-ab+b2)ab(a+b),
2、a, b 为两正实数, 只要证 a2-ab+b2ab,只要证 a2-2ab+b20,只要证( a-b)20. (a-b)20 恒成立, a3+b3a2b+ab2,即原不等式成立.证法三 (综合法)由( a-b)20 得 a2-ab+b2ab, a, b 为两正实数, a+b 为正数, (a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),即 a3+b3a2b+ab2.题后反思 三种证明方法进行对比之后发现,比较法对式子的变形要求较高;分析法本质上是思考问题的一种方法,分析法有助于我们对问题的分析,只是书写格式要注意“要证 ,只要证,只要证” ;而综合法,其实与分析法是统一的,要从源头开始写,而分析法则
3、是究根溯源!变式 设 a, b 均为正数 ,证明:a 5+b5ab4+a4b.规范板书 证明 (比较法 )a5+b5-(ab4+a4b)=(a5-ab4)+(b5-a4b)=(a-b)(a4-b4)=(a-b)2(a+b)(a2+b2), a,b 均为正数, (a-b)2(a+b)(a2+b2)0, a5+b5-(ab4+a4b)0, a5+b5ab4+a4b.【例 2】 已知 a, b, c 为两两不相等的正实数, 求证:a+b+c + + .(见学生用书课堂本 P60)规范板书 证明 a, b, c 为两两不相等的正实数, , , , + + + , a+b+c + + .题后反思 对所要
4、证明的结论进行分析,寻求解题的思路.其实本题用比较法也可以解决!变式 设 a, b, c 均为正数,证明 :+ + + .规范板书 证明 a, b, c 均为正数, , , 均为正数 , +2 , +2 , +2 , + + + .【例 3】 已知 a, b 都是正数 ,且 a+b=1,求证: + . (见学生用书课堂本 P60)规范板书 证明 a, b 为正数, 2 a+b=1.而 =a+b+2 (a+b)+(a+b)=2, + .题后反思 对于正数 a, b,在基本不等式中有两种形式 a+b, ab,因此解决本题的关键是创造条件 ab,然后利用基本不等式!变式 证明: + .规范板书 证明
5、 由题意得 0x1, x, 1-x 均为非负数 , 2 x+(1-x)=1, =1+2 1+1=2, + .*【例 4】 (教材 P106 复习题第 17 题)如图, ABDC 为梯形 ,其中 AB=a, CD=b,设 O 为对角线的交点.GH 表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL 表示平行于两底且使梯形 ABLK 与梯形 KLDC 相似的线段,EF 表示平行于两底且过点 O 的线段,MN 表示平行于两底且将梯形 ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.(例 4)试研究线段 GH, KL, EF, MN 与代数式 , , , 之间的关系,并据此得到它们之间的一个大小关系.
6、你能用基本不等式证明所得的结论吗?规范板书 解 GH= , KL= , MN= , EF= .由图可知 EF0, , .题后反思 了解 , , , 这四个代数式之间的关系,可以分别从数与形两个角度加以理解!二、 课堂练习1. 设 x1,试比较大小:x 5+1x4+x.提示 (x5+1)-(x4+x)=(x-1)2(x+1)(x2+1).2. 已知 a0,试比较大小 : 1.提示 -1= .3. 已知 a1,且 b1,试比较大小 :logab+logba2.提示 由 a1,且 b1 得 logab0, logab+logba=logab+ 2.4. 已知 a+b=2,则 + 的最大值是 2 . 提示 =a+b+2 2(a+b)=4.三、 课堂小结1. 基本不等式及其应用条件.2. 不等式证明的三种常用方法.
