1、柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式（一）教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案： 及几种变式.(0,)2abab2. 练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证 222()()abcdacb证法：（比较法） =.=22()0二、讲授新课：1. 柯西不等式： 提出定理 1：若 a、 b、 c、 d 为实数，则 .222()()abcdacb 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？ 讨论：
2、二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法） 22222()abcdacdbcd. （要点：展开配方）()证法三：（向量法）设向量 ， ，则 ， .,)m,n2|ma2|ncd ，且 ，则 . .mnacbd|cosn|n证法四：（函数法）设 ，则222()()fxabxabdxc0 恒成立.2()fx 0，即.224()acbdcd 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式： 或 22|abA22|abcdabA或 .abcd 提出定理 2：设 是两个向量，则 .,|即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线）, 练习：已知 a、
3、b、 c、 d 为实数，求证 .2222()()abcdacbd证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式： 出示定理 3：设 ，则 .12,xyR22221 11()()xyxyxy分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：若 ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 123,三、应用举例：例 1：已知 a,b 为实数，求证 2324)()(baba说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题 2：求函数 的最大值。xxy2105分析：利用不等式解决最值问题，通常
4、设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。 （ ）22| dcbadc解：函数的定义域为【1，5】 ，且 y036427)5()1()(51222xxxy当且仅当 时，等号成立，即 时，函数取最大值x12736课堂练习：1. 证明: (x 2+y4)(a4+b2)(a 2x+by2)22.求函数 的最大值.xy653例 3.设 a,b 是正实数，a+b=1，求证 1ba分析：注意到 ，有了 就可以用柯西不等式了。)(1ba)(四、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知 x+2y=1, 求 x2+y2的最小值. 五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）六、布置作业：P37 页，4，5， 7，8，9
