1、3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示一、基础过关1若平面 、 的法向量分别为 u(2，3,5) ，v(3，1，4) ，则 ( )A BC、 相交但不垂直 D以上均不正确2若直线 l 的一个方向向量为 a(2,5,7)，平面 的一个法向量为 u(1,1，1)，则( )Al Bl Cl DA 、C 都有可能3已知平面 内有一个点 A(2，1,2) ， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是 ( )A(1，1,1) B.(1，3，32)C. D.(1， 3，32) ( 1，3， 32)4若 n1，n 2分别是平面 ， 的法向量，且 ，n 1(1,2，x) ，n 2(x
2、，x1，x) ，则 x 的值为 ( )A1 或 2 B1 或2C1 D25设平面 的法向量为(1,2，2) ，平面 的法向量为( 2，4，k)，若 ，则 k 等于( )A2 B4 C4 D26已知 A(1,0,0)、B(0,1,0) 、C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是 ( )A. B.(33，33， 33) ( 33， 33，33)C. D.( 33，33，33) ( 33， 33， 33)7已知平面 和平面 的法向量分别为 a(1,1,2)，b(x，2，3) ，且 ，则x_.8下列命题中：若 u，v 分别是平面 ， 的法向量，则 uv0；若 u 是平面 的法向量且向量 a
3、 与 共面，则 ua0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直正确的命题序号是_9已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 (2，1，4) ， (4,2,0)，AB AD ( 1,2，1)对于结论： AP AB；APAD； 是平面 ABCD 的法向量；AP AP .AP BD 其中正确的是_(填序号 )二、能力提升10在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，试在棱 BB1 上找一点M，使得 D1M 平面 EFB1.11.如图所示，ABC 是一个正三角形，EC 平面 ABC， BDCE ，且 CECA2BD，M 是 EA 的中点求
4、证：平面 DEA平面 ECA.12.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，AB AD ，ABC60 ， PAABBC，AD AB，E 是 PC 的中点233证明：PD平面 ABE.三、探究与拓展13.如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，DAB60，AB AD2CD，侧面 PAD底面 ABCD，且PAD为等腰直角三角形，APD90 ，M 为 AP 的中点求证：DM 平面 PCB.答案1C 2D 3B 4B 5C 6D 748910解 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为2，则 E(2,1,0)，F(1,2,0) ，D 1(0,
5、0,2)，B 1(2,2,2)设 M(2,2，m)，则 (1,1,0)， (0，1，2) ，EF B1E (2,2，m2)D1M D 1M平面 EFB1，D 1MEF，D 1MB 1E， 0 且 0，D1M EF D1M B1E 于是Error! m1，故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M平面 EFB1.11证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，不妨设 CA2，则 CE2，BD1，C(0,0,0)，A( ，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，3D(0,2,1)所以 ( ，1，2) ， (0,0,2)， (0,2 ，1)EA 3 CE ED 分别设面 CEA 与面 DE
6、A 的法向量是 n1( x1，y 1，z 1)，n2(x 2，y 2，z 2)，则Error!即Error!解得Error!Error! 即Error!解得Error!不妨取 n1(1 ， ，0)，n 2( ，1,2)，3 3因为 n1n20，所以两个法向量相互垂直所以平面 DEA平面 ECA.12证明 PA底面 ABCD，ABAD，AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PAABBC1，则 P(0,0,1)、A(0,0,0)、B(1,0,0) 、D .(0，233，0)ABC60，ABC 为正三角形C ，E .(12，32，0) (14，34，12) (1,0,0)，
7、，AB AE (14，34，12)设平面 ABE 的一个法向量为 n( x，y ，z) ，则Error!令 y2，则 z ，n (0,2， )3 3 ，显然 n， n ，PD (0，233， 1) PD 33 PD 平面 ABE，即 PD平面 ABE.PD 13证明 取 AD 的中点 G，连接 PG，GB .侧面 PAD底面 ABCD.PGAD ，PG 底面 ABCD，PGBG .又BG AD，直线 DA、GB、GP 两两互相垂直，故可以分别以直线 DA，GB ，GP 为 x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz，设 PGa，C(x，y，z)，则可求得P(0,0，a)，A
8、(a,0,0)，B(0 ， a,0)，D (a,0,0)，3则 (0,0 ，a) ， (a， a,0)， (0 ， a，a) GP AB 3 PB 3AB2DC，且 ABCD ， 2 ，即(a， a,0)2( x，y，z) (a,0,0)AB DC 3(x，y，z) ，即 C .( 32a，32a，0) ( 32a，32a，0) .BC ( 32a， 32a，0)设 n(x 0，y 0，z 0)是平面 PBC 的法向量，则 n 0 且 n 0，BC PB Error!Error!取 y0 ，得 n(1， ， 3)3 3点 M 是 AP 的中点，M ，(a2，0，a2) (a,0,0) .DM (a2，0，a2) (32a，0，a2)n (1， ，3)0， n.DM (32a，0，a2) 3 DM DM 平面 PCB，DM 平面 PCB.
