1、第 7 课时 函数的和、差、积、商的导数教学过程一、 问题情境1. 分别求下列函数的导数.(1) y=x2;(2) y=x;(3) y=x2+x.你能从以上计算结果中发现什么结论?解 前两个函数的和(即第三个函数 )的导数, 等于这两个函数导数的和.2. 你能证明上述结论吗?解 因为 = =2x+x+1,当 x0 时, 2x+1,所以 y=2x+1.3. 两个函数的差的导数,等于这两个函数导数的差吗?题后反思 从具体函数入手,利用导数的定义求出两个函数和的导数,在此基础上,作出猜想,给出两个函数和、差的求导法则,学生容易理解.两个函数的和的求导法则的推导,不要求学生掌握,可指导学生课外探究.二
2、、 数学建构问题 1 已知 f(x),g(x),则f(x) +g(x)等于什么? 1解 一般地,函数和的求导法则 :f(x)+g(x)=f(x)+g(x).即两个函数的和的导数 ,等于这两个函数的导数的和.问题 2 可以怎么验证大家呈现的结论是否正确呢 ?2问题 3 你能证明吗? 3问题 4 已知 f(x),g(x),则f(x) -g(x)f(x)g(x), 等于什么?函数的和(差)的求导法则 两个函数的和(或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和( 或差), 即f( x)g(x)=f(x)g(x).函数的积的求导法则 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘
3、以第二个函数的导数,即 f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).函数的商的求导法则 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积, 减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方 ,即 = (g(x)0).对法则的理解:(1) 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数的和、差、积、商不一定不可导.(2) Cf(x)=Cf(x)(C 为常数).(3) 求导法则的证明不作要求.三、 数学运用【例 1】 (教材第 83 页例 2)求下列函数的导数:(1) f(x)=x2+sinx;(2) g(x)=x3-x2-6x+2. (见学生用书 P53)处理建议 先由学生写出解题过程,
4、让其他学生点评.教师在学生的交流中,了解学生的思维过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误,同时强调书写格式的规范.规范板书 解 (1) f(x)=(x2+sinx)=(x2)+(sinx)=2x+cosx.(2) g(x)= =3x2-3x-6.题后反思 根据函数的和(差)求导法则的一般步骤:先用求导法则转化为求基本函数的导数,再用导数公式进行运算.变式 求 y=2x3-3x2+5x-4 的导数.规范板书 解 y=(2x3-2x2+5x-4)=6x2-6x+5.【例 2】 (教材第 83 页例 3)求下列函数的导数:(1) h(x)=xsinx;(2) S(t)= . (见学生用书 P54)
5、规范板书 解 (1) h(x)=(xsinx)=xsinx+x(sinx)=sinx+xcosx.(2) S(t)= = = = .题后反思 例 2 中的第(2)题还有其他解法:S(t)= =1- .例 2 第二种解法可由学生的探究活动产生, 教师作适当的点拨.归纳根据函数的积商的求导法则求导的一般步骤,同时注意说明解法不唯一.要求学生正确运用公式.变式 1 用两种方法求 y=(2x2+3)(3x-2)的导数.规范板书解法一 y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.解法二 y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8
6、x+9.变式 2 求 y= 的导数.规范板书 解 y= = .变式 3 求 y=xlnx 的导数.规范板书 解 y=x ln x+x(ln x)=ln x+1.变式 4 求 y= 在点 x=3 处的导数.规范板书解 y= = = = ,所以 y = = =-.【例 3】 已知函数 f(x)的导数是 f(x),则函数 f(x)2 的导数为 2f(x).这个结论对吗?(见学生用书 P54)处理建议 可将f(x) 2 看作 f(x)f(x),再利用函数积的求导法则求 f(x)2 的导数.规范板书 解 f(x)2=f(x)f(x)=f(x)f(x)+f(x)f(x)=2f(x)f(x)2f(x),所以上述结论错误.题后反思 本题的实质是复合函数的求导,有兴趣的同学可以研究一下复合函数求导的规律.四、 课堂练习1. 函数 y=x2cosx 的导数 y=2xcosx-x2sinx.2. 函数 y= 的导数 y= .3. 若曲线 y=2ax2+1 过点( ,3),则此曲线在该点的切线方程是 4x-y-1=0.4. 若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b) 处的切线方程是 x-y+1=0,则 a= 1 ,b= 1 . 五、 课堂小结1. 函数的和、差、积、商的求导法则.2. 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.3. 求导法则的证明不作要求.
