1、一阶微分方程习题课,1、七种类型的一阶微分方程的解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,(2) 齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,（其中h和k是待定的常数）,(3) 一阶线性微分方程,齐次,非齐次.,解法,齐次方程,分离变量法,非齐次方程,常数变易法 积分因子法,(4) 伯努利(Bernoulli)方程,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,(5) 全微分方程,其中,注意：,解法,（1）直接凑微分法,（2）线积分法,（3）偏积分法,(6) 可化为全微分方程的方程,（1）公式法,（2）观察法,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子,
2、（3）分组求积分因子法,（7）一阶隐式方程,形式,1.,或,解法,令,2.,或,解法,参数法,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,三个标准类型:,可分离变量方程,线性方程,全微分方程,二、典型例题,例1. 判断下列方程的类型,齐次,线性,全微分,齐次,可分离,伯努利,可分离,全微分,齐次,伯努利,例2. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,例3. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 将方程改写为,(伯努利方程),(分离变量方程),原方程化为,令 y = u t,(齐次方程),令 t = x 1 , 则,可分离变量方程求解,化方程为,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,例4. 设 是连续函数，且满足,求,解：,令,则,
