1、2.6 正态分布双 基 达 标 限 时 15分 钟 1已知随机变量 X 服从正态分布 N(3， 2)，则 P(X3)_.解析 由正态分布图象知，3 为该图象的对称轴，P(X3)P (X3) .12答案 122若随机变量 X 服从标准正态分布 N(0,1)，则 X 在区间(3,3上取值的概率等于_答案 0.9973设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)若 P(Xc 1)P (Xc 1)，则 c 等于_解析 2，由正态分布的定义知其图象关于直线 x2 对称，于是2，c2.c 1 c 12答案 24已知 XN(0， 2)且 P(2X 0)0.4，则 P(X2)_.解析 P(0 X2)P(2X0)
2、0.4，P(X2) (120.4)0.1.12答案 0.15已知正态总体落在区间(0.2，)内的概率是 0.5，那么相应的正态曲线 f(x)在 x_ 时达到最高点解析 由正态曲线的性质知：0.2，故 x0.2 时，正态曲线 f(x)达到最高点答案 0.26已知某种零件的尺寸 X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，) 上是减函数，且 f(80) .182(1)求正态分布密度函数的解析式；(2)估计尺寸在 72 mm88 mm 之间的零件大约占总数的百分之几解 (1)由于正态曲线在 (0,80)上是增函数，在(80， )上是减函数，所以正态曲线关于直线 x80
3、 对称，且在 x80 处取得最大值因此得 80 ， ，所以 8.12 182故正态分布密度函数的解析式是(2)由 80，8，得 80872， 80888，所以零件尺寸 X 在区间(72,88)内的概率是 0.682 6.因此尺寸在 72 mm88 mm 间的零件大约占总数的 68.26%.综 合 提 高 限 时 30分 钟 7对于正态分布 N(0,1)的概率密度函数 P(x) ，有下列四种说法：P( x)为偶函数；P(x) 的最大值为 ；P(x)在 x0 时是单调减函数，12在 x0 时是单调增函数； P( x)关于 1 对称不正确的是_(填序号)解析 XN(0,1) ，曲线的对称轴为 x 0
4、.答案 8已知某次英语考试的成绩 X 服从正态分布 N(116,64)，则 10 000 名考生中成绩在 140 分以上的人数为_解析 由已知得 116， 8.P(92X140)P( 3X 3)0.997 4，P(X140) (10.997 4)0.001 3，12成绩在 140 以上的人数为 13.答案 139如图是当 取三个不同值 1、 2、 3 时的三种正态曲线 N(0， 2)的图象，那么 1、 2、 3 的大小关系是_解析 由已知得 ，122 12 21.由正态曲线的性质知，当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高” ，所以 0 1 21 3.答案 0 1 21 310设
5、XN(0,1) P(X 0)P(0X) ；P(X0)0.5；已知 P(1 X1)0.682 6，则 P(X1)0.158 7；已知 P(2 X2)0.954 4，则 P(X2)0.977 2；已知 P(3 X3)0.997 4，则 P(X3)0.998 7.其中正确的有_(只填序号)解析 正态曲线关于 y 轴对称，故 正确对于，P(X1) (1P(| X|1)，12 (1 0.682 6)0.158 7，12故正确；对于，P( X2) (1 P(|X|2)P(|X | 2)12 (1 0.954 4)0.954 40.977 2；12故正确，同理正确答案 11若一批白炽灯共有 10 000 只
6、，其光通量 X 服从正态分布，其正态分布密度函数是 f(x) ，x(，)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数(1)(203,215)；(2)(191,227)解 由于 X 的正态分布密度函数为f(x) ， x(，)， 209 ，6. 2096203，2096215. 320963209 18191， 320963209 18227.因此光通量 X 的取值在区间(203,215)，(191,227) 内的概率应分别是 0.682 6和 0.997 4.(1)于是光通量 X 在(203,215)范围内的灯泡个数大约是 10 0000.682 66 826.(2)光通量在(191,227)范围内的灯
7、泡个数大约是 10 0000.997 49 974.12在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 13 人(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解 (1)设学生的成绩为 X，共有 n 人参加竞赛，XN(60,100) ，60，10.P(X90) 1P (30X90)12 (1 0.997 4)0.001 3.12又 P(X90) ， 0.001 3.n10 000.13n 13n故此次参加竞赛的学生总数共有 10 000 人(2
8、)设受奖的学生的分数线为 x0.则 P(Xx 0) 0.022 8.22810 0000.022 80.5，x 060.P(120x 0Xx 0)12P(Xx 0)0.954 4，x 06020 80.故受奖学生的分数线是 80 分13(创新拓展) 已知电灯泡的使用寿命服从正态分布 XN(1 500，100 2)(单位：h)(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于 1 400 小时的概率；(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占 0.13%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？解 (1)P( X 1 400)1P(X1 400)1 0.841 3.1 P1 400 X 1 6002 1 0.682 62(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为 x0 小时，则 x01 500，则 P(Xx 0)0.13%，P(X1 500x 01 500) 0.13%，1 P|X 1 500 x0 1 5002P(|X1 500|x 01 500) 10.26%0.997 4，所以 x01 500 300，x 0 1 800(小时)
