1、第三章 热传导方程的分离变量法第 1 页 共 12 页数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第三章 热传导方程的分离变量法2第三章 热传导方程的分离变量法引 言上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究，它的研究包括从方程的导出到应用行波法。本章我们对抛物型方程 以热传导方程为代表进行研究。复习：数理方程的导出步骤（ ） 定 量 化物 理 模 型 数 学 模 型 建坐标系 选物理量 u 找物理规律 写表达式本章，我们先对热传导进行推导。3.1 热传导方程3.1.1 热传导方程的导出1. 物理模型截面积为 均匀细杆，侧面绝
2、热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。A2.相关概念和定律相关概念热传导：由于温度分布不均匀产生的热传递现象。设热量： 面积： 体积：QSV时间： 密度： 温度： ，tT比热：单位物质，温度升高一度所需热量 QC热流密度：单位时间流过单位面积的热量（Fourier 实验定律）， ：导热率QuqtSn热源强度：单位时间，单位体积放出的热量（热源密度） QftV用到的物理学规律第三章 热传导方程的分离变量法3 Fourier 实验定律(热传导定律)：当物体内存在温度差时，会产生热量的流动。热流强度（热流密度） 与温度的下降成正比。即 。qqu：热导系数（热导率） ，不同物质 不同， 。对均匀杆 是常
3、,xu数。负号表示温度下降的方向。分量形式： ， ，xuqyuqzq一维问题： n热量守恒（质量）定律：物体内部温度升高所吸收的热量（浓度增加所需要的质量） ，等于流入物体内部的净热量（质量）与物体内部的热源所产生的热量（质量）之和。3 分析研究的问题: 热流流动是由温差造成,设 为温度.u已知： ， ， 常数 C是一维问题,uxt4 研究建立方程取 轴与细杆重合， 表示在 点 时刻的温度。,uxtxt考虑任一 段在 时间热量情况x流入 面： 1xQAt流出 面：x2xut热源产生：设有热源其密度为 ，杆内热源在 段产生的热量,ftx为 3,QfxtAt 段温度要升高 所吸收的热量xu第三章
4、热传导方程的分离变量法4QCAxu,xutxt 根据能量守恒定律流入 段总热量与 段中热源产生的热量 123Q即 ,CAxutxt,xxututAfxt两边同除以 1t,xxtt,xxttf当 ， 时，0xttxCuf， 其中 ，txuDfFf同理 ，二维热传导方程为 txyuDf三维热传导方程为 txyzuf或 tuf或 2ta3.1.2 定解条件初始条件 ,0ux 边界条件提法有三种第一类边界条件：直接给出物理量在边界上的数值（边界上各点的温度） 。，10,utt2,ultt，x xl第二类边界条件：研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数第三章 热传导方程的分离变量法5值。，10xuvt
5、2xluvt或 ， 10,xutvt 10xuvt已知通过细杆端点的热量，特殊情形 如 绝,0xult热条件。物理意义：把细杆端点 处的截面用一种定点绝热的物质包xl裹起来，使得在端点 处，既无热量流出去，又无热量流进来。l 第三类边界条件：物理量与外法向导数的线性组合。已知杆端 与某种介质接触，它们之间按热传导中的牛顿实xl验定律进行热交换，相应的边界条件为 ，,xultlt：热导系数 ， ：热交换系数介质通过边界按 冷却定律散热：单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介质表面温度 和外界温度 之差成正u边 界 u比。设比例系数为 ，则aan边 界边 界ut如在 处，xl,xltl3 .
6、2 混合问题的分离变量解3.2.1 定解问题有界杆的热传导现象 200,txuaxltultl 其中 为已知函数。x第三章 热传导方程的分离变量法6分析：求解：第一步：分离变量.设热导方程具有如下分离变量解（特解） ,uxtXTt.将其代入泛定方程有 ，其中 是常数。于是有21TXa，0x20aT 由边界条件有当 ，则 ，0,utX当 ，则l0l即本征值问题 00Xxl第二步：求解本征值问题上章已经证明只有当 时，证本征值问题有非零解。. sincosXxAxBx. 由 00in0All ，2nl1,23即特征值是 ，nl, .本征函数是 sinXxl第三步：求特解，并叠加出一般解又由 ， ，
7、得 20Ta2nl2 0naTl第三章 热传导方程的分离变量法72Ttnal2lddtl两边积分 21lnaTtCl2natlnTe其中 是积分常数。于是nC，2, sinatlnnnuxtXTtexl1,23故一般解 21,iatlntCl第四步：确定叠加系数由初始条件 ，有 ,uxt1sinxl两端同乘以 ，逐次积分有sinml001isinil mxdxCxdlll01sinilnmCl 201sinlnxdn012coslnxld2nlC0silnxdl于是，21,sinatlnuxtCexdl 1,23n0ill第三章 热传导方程的分离变量法8分析解答由初始温度 引起的温度分布 可看
8、作是由各个瞬间热源引起的温x,uxt度分布的叠加。3.3 初值问题的付氏解法引言：上节求解混合问题时，空间坐标 变动区间为 。如考虑无界杆的热传x0,l导，如何？将 等在 上展成 Fourier 级数，再让区间 无限扩大。,fxt,l,l结果：在一定条件下，Fourier 级数变成一个积分形式，称为 Fourier 积分。3.3.1 Fourier 积分设 定义在 内，且在任一有限区间 上分段光滑，则fx,l可f展开成 Fourier 级数 1cosin2naxxfxbll其中 ，lnfdl，sinlb0,12则 11cosssinsi2l l ln xxfxfdfdfdl ll 1 iil
9、l lnnff fllll 11cossini2l lnfdf xxdllll 第三章 热传导方程的分离变量法911cos2l lnnxfdfdl现设 在 上这时可积，即 ，则当 时，fx, f有 限 值 l1limcoslnnfxfxdl证 ， ， ， ， ，则1l2ll1nnl上式写成 1limcosnlnnfxfxd，01sdfx 它是关于 的偶函数。称为 的 Fourier 积分cos2fxfd f可以证明： 及 的连续点处， 的付氏积分收敛于它在 的函fx x数值。Fourier 积分还可写为 cossinfxAxBxd其中 ，12f。siB3.3.2 热导方程的 Cauchy 问题
10、定解问题 2 0,0txuaxt其中 为已知函数。x分析：已知一无限长细杆在初始时刻的温度分布，求其以后的温度分布。分离变量法求解：第三章 热传导方程的分离变量法10令 ，则有 ， 为常数。,uxtTXx 0TaX有 2atte 时， 将随 的增加而增加，所以不合理。0tt ，证 ，则 2u 0Ta20Tua XX 当 时， ，012Cx， ， 为积分常数， 必须T1C22C0因为 ， 会无界，所以xXx1X 当 时， ， ， ， 与0u2uatTecosinxAuBxA， 无关，而恒等于 。xt2, siuatuxtX， 取所有实数，解的叠加只能积分。02,cosinuatteAxBud而
11、,ux由 Fourier 积分有 1cos2AuudinB21, cssinuatuxtexuxdt2ouat d而 22 401csbax aebe22 401cos2xuat atedu第三章 热传导方程的分离变量法11241,2xatuxtedat分析解答解的物理意义：由初始温度 引起的温度分布 可看作由各个,uxt瞬间点热源引起的温度分布的叠加。说明： 取241xatve在单位横截面积细杆上取 点附近的一个小单元 ，设 ,x在任意区间外，函数 ，在由 （常数）物理上：在初始时刻，0xxU这个表示吸取了热量 ,使这一段温度为 ，此后温度在细杆2QC 上的分布由 给出。241,2xatux
12、tedat 取上式为24xxatUt 2412xxatQedCt，将分布在整个一小段上的热量 看作在极限情形只作用在0点，则在 有瞬时点热源，强度为 ，这样的热源，在细杆上得到的xx温度分布为： 241lim2xxatQedCat由积分中值定理 2244xxxatat其中 ， 时， ，则xx0第三章 热传导方程的分离变量法12224412xxxatatede2 24 41limx xxat atQQeCCat 故 所代表的温度分布是当初始时刻 时，细杆在 处受到强度为v 0t的瞬时点热源的作用而产生的。Q对原问题的解： 为在初始时刻要使细杆在 处只有温度 ，则在此近邻一小x单位 上需吸收的热量 ，或在 点有温度ddQCdx为的瞬时点热源，所产生的温度分布为 ，在细杆的dQ241xatde所有点上，初始温度 的总作用，就是由这些个别单位的作用241,2xatuxtedat由初始温度 引起的的温度分布 可看作由各个瞬时点热源所,ut引起的温度分布的。 观察 的曲线v 对任何时刻 沿整个 轴 对 积分有tx,Cv2 242aatxatCededx 初始时刻 处温度为 的瞬时点热源，热量沿杆分布的总和始终不变，细杆上热量的总和不随时间变化。
