1、第 1 页 共 102 页反比例函数一.选择题1. （2015 四川眉山，第 12 题 3 分）如图，A、B 是双曲线 y= 上的两点，过 A 点作ACx 轴，交 OB 于 D 点，垂足为 C若 ADO 的面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为（ ）A B C 3 D 4考点： 反比例函数系数 k 的几何意义；相似三角形的判定与性质.分析： 过点 B 作 BEx 轴于点 E，根据 D 为 OB 的中点可知 CD 是OBE 的中位线，即CD= BE，设 A（x， ） ，则 B（2x ， ） ，故 CD= ，AD= ，再由ADO 的面积为1 求出 y 的值即可得出结论解答： 解：过点 B
2、 作 BEx 轴于点 E，D 为 OB 的中点，CD 是OBE 的中位线，即 CD= BE设 A（x ， ） ，则 B（2x ， ） ，CD= ，AD= ，ADO 的面积为 1， ADOC=1， （ ）x=1，解得 y= ，k=x =y= 故选 B第 2 页 共 102 页点评： 本题考查的是反比例函数系数 k 的几何意义，熟知反比例函数 y= 图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变是解答此题的关键2.（2015 山东莱芜 ,第 7 题 3 分）已知反比例函数 ，下列结论不正确的是( )A图象必经过点 (1,2) By 随 x 的增大而
3、增大C图象在第二、四象限内 D若 x1，则 y2【答案】B【解析】试题分析：此题可根据反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断A、把（1，2）代入函数解析式得：2= 成立，故点（1，2）在函数图象上，故选项正确；B、由 k=20，因此在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，故选项正确；C、由 k=20，因此函数图象在二、四象限内，故选项正确；D、当 x=1，则 y=2，又因为 k=20，所以 y 随 x 的增大而增大，因此 x1 时，2y0，故选项不正确；第 3 页 共 102 页故选 D考点：反比例函数的图像与性质3.(2015 山东青岛，第 8 题,3 分) 如图，正比
4、例函数 xky1的图像与反比例函数 xky2的图象相交于 A、B 两点，其中点 A 的横坐标为 2，当 2 时， 的取值范围是（ ） A 2或 xB 0或 xx C 20或 x D02或【答案】D【解析】试题分析：根据函数的交点可得点 B 的横坐标为2，根据图象可得当一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时 x2 或2x0.考点：反比例函数与一次函数.4 （2015湖北省武汉市，第 9 题 3 分）在反比例函数 图象上有两点 A(x1，y 1)、xmy31B(x2，y 2)，x 10y 1，y 1y 2，则 m 的取值范围是（ ）Am Bm Cm3131第 4 页 共 102 页Dm 31【解
5、析】x 10x 2 时，y 1y 2,说明反比例函数图像位于一三象限，故 13m 0，所以 m.3易错警示：对于 x10x 2 时，y 1y 2,部分同学容易误认为 y 随 x 增大而增大，故错误得出13m0.考虑反比例函数增减性要在同一个分支上， x1 0x 2 说明点 A、B 不在同一个分支上，故不能利用增减性来解答.备考指导：反比例函数 为常数，且 的图像是双曲线，当 时，双曲kxy()0k0k线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小；当 时，0，k 是不等于 0 的常数)的图象于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A，点 C 关于 x 轴的对称点为
6、 C，连接CC，交 x 轴于点 B，连结 AB，AA，A C，若ABC 的面积等于 6，则由线段AC，CC，CA ，AA 所围成的图形的面积等于( ) A. 8 B. 10 C . 3 D . 4第 11 页 共 102 页【答案】B.【解析】试题分析：如图，连接 O A,由点 A 和点 A关于 y 轴的对称可得 AOM=AOM，又因AOM+BOC=90, AOM +AOB=90,根据等角的余角相等可得 BOC= AOB；又因点 C与点 C关于 x 轴的对称，所以点 A、A 、C 三点在同一直线上.设点 A 的坐标为（m ， ） ，直线 AC 经过点 A，可求的直线 AC 的表达式为 .直线
7、AC 与函数 y= 一个交点为点 C,则可求得点 C 的坐标当 k0 时为（mk， ） ，当 k0 时为（mk， ）,根据ABC 的面积等于 6 可得 ，解得 .或，解得 ，所以 y= .根据反比例函数比例系数 k 的几何意义和轴对称的性质可得 AO A的面积为 1，CO C 的面积为 9，所以线段 AC，CC ，C A，AA 所围成的图形的面积等于AO A的面积+ CO C的面积，即线段 AC，CC，C A，AA 所围成的图形的面积等于 10，故答案选 B.第 12 页 共 102 页考点：反比例函数与一次函数的综合题；反比例函数与一次函数的交点坐标；反比例函数比例系数 k 的几何意义和轴对
8、称的性质.13. （2015 四川省内江市，第 12 题，3 分）如图，正方形 ABCD 位于第一象限，边长为3，点 A 在直线 y=x 上，点 A 的横坐标为 1，正方形 ABCD 的边分别平行于 x 轴、y 轴若双曲线 y= 与正方形 ABCD 有公共点，则 k 的取值范围为（ ）A 1k9 B 2k34 C 1k16 D 4k16考点： 反比例函数与一次函数的交点问题.分析： 先根据题意求出 A 点的坐标，再根据 AB=BC=3，AB、BC 分别平行于 x 轴、y 轴求出 B、C 两点的坐标，再根据双曲线 y= （k0）分别经过 A、C 两点时 k 的取值范围即可解答： 解：点 A 在直
9、线 y=x 上，其中 A 点的横坐标为 1，则把 x=1 代入 y=x 解得 y=1，则 A 的坐标是（1，1） ，AB=BC=3，C 点的坐标是（4，4） ，当双曲线 y= 经过点（1，1）时，k=1；当双曲线 y= 经过点（4，4）时，k=16，因而 1k16故选：C点评： 本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键第 13 页 共 102 页是理解题意进而求出 k 的值14. （2015 浙江省台州市，第 4 题）若反比例函数 的图象经过点（2，1） ，则该kyx反比例函数的图象在（ ）A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限15
10、. （2015 四川凉山州 ,第 11 题 4 分）以正方形 ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线 经过点 D，则正方形 ABCD 的面积是（ ）A10 B11 C12 D13【答案】C第 14 页 共 102 页考点：反比例函数系数 k 的几何意义16(2015黑龙江绥化，第 7 题 分) 如图，反比例函数 y= (x0)的图象经过点 P ，则 kk的值为（ ）A 6 B 5 C 6 D 5考点：反比例函数图象上点的坐标特征 分析：根据待定系数法，可得答案解答：解：函数图象经过点 P，k=xy=32=6，故选：A点评：本题考查了反比例函数图象上点的
11、坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键17.（2015 山东临沂 ,第 14 题 3 分）在平面直角坐标系中，直线 y =x2 与反比例函数的图象有唯一公共点. 若直线 与反比例函数 的图象有 2 个公共点，则第 15 页 共 102 页b 的取值范围是（ ）(A) b2. (B) 2b2. (C) b2 或 b2. (D) b2.【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知这个一次函数 y =x2 和反比例函数 的交点为（1，1） ，直线 y =x2 与 y 轴的交点为（ 0,2） ，根据对称性可知直线 y =x2 向下平移，得到y=x+ b，会与双曲线的另一支也有一个交点（1，1） ，
12、且这时的直线 y=x+b 与 y 轴的交点为（0，2） ，即直线为 y=x2，因此这两条直线与双曲线有两个交点时，直线 y =x2 向上移，b 的取值范围为值为 b2，或直线 y=x2 向下移，b 的取值范围为b 2，即 b2 或 b2.故选 C考点：一次函数的平移，反比例函数与一次函数的交点18 （2015 甘肃兰州 ,第 12 题，4 分）若点 P1（ ， ） ，P（ ， ）在反比例函数 的图象上，且 ，则第 16 页 共 102 页A. B. C. D. 【 答 案 】D【考点解剖】本题考查反比例函数的图象和性质，以及坐标系中的相关知识点。【思路点拔】反比例函数 的图象关于原点对称，既然
13、 ，那么必有 ，所以选 D。【题目星级】19 （2015 甘肃兰州 ,第 8 题，4 分）在同一直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象大致是【 答 案 】A【考点解剖】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质【知识准备】一次函数 的图象是一条直线，当 时，这条直线从左到右是上升的；反之，它是下降的；反比例函数 的图象是双曲线，当 时，其图象分别位于第一、三两个象限，并且在每个象限（注意：仅仅是在该象限之内） ，图象上的点越来越低（从左到右） ；反之，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每个象限内图象位置越来越高。【解答过程】观察 A：从直线的方向向下（从左到右） ，说明其中的 ；再看双曲线
14、，位于二、四象限，那么其比例系数 ，这样分析并没有看出什么不妥，但是我们也不宜急于下结论就说 A 是正确选项，因为或许还有哪个地方没有被我们注意到呢？观察 B：从直线形态来看，应该有 ，但是从双曲线的形态来说，又应该是 ，这里是矛盾的，所以 ；同样道理，C 也是错误的；第 17 页 共 102 页再看 D：无论是直线还是双曲线，都满足 ，这里并没有看出什么矛盾。那么问题来了：A 和 D，到底哪个才是正确的选项？当我们感到山重水复时，如果再静下心来重新读题，很有可能会有新的发现，从而寻找到一条通向柳暗花明之路。在一次函数 中，如果我们将表达式改写为 ，那么就会发现：无论 取什么值，当 时，其函数
15、值都为 0，换句话说：该直线一定通过（1，0） 。从这一点分析，D 当然就不符合这样的特征，所以 D 又被排除了，那么只能选 A。【题目星级】二.填空题1 （2015 四川资阳 ,第 15 题 3 分）如图 7，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 ly 轴，且直线 l 分别与反比例函数 （x0）和 （x0）的8yky图象交于 P、Q 两点，若 SPOQ=14，则 k 的值为_考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数 k 的几何意义.分析：由于 SPOQ=SOMQ+SOMP，根据反比例函数比例系数 k 的几何意义得到|k|+ |8|=14，然后结合函
16、数 y= 的图象所在的象限解方程得到满足条件的 k 的值解答：解：S POQ=SOMQ+SOMP， |k|+ |8|=14，第 18 页 共 102 页|k|=20，而 k0，k=20故答案为20点评：本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变也考查了反比例函数与一次函数的交点问题2. （2015 浙江杭州 ,第 15 题 4 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点 P(1，t)在反比例函数 y=的图象上，过点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 Q
17、P=OP，若反比例函数 y=的图象经过点 Q，则 k=_【答案】 或252【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用.【分析】点 P(1，t)在反比例函数 的图象上， .P(1，2).2yx21tOP= .5过点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 QP=OP，Q 或 Q .15,2 15,2 反比例函数 的图象经过点 Q，kyx第 19 页 共 102 页当 Q 时， ；Q 时，15,2 1525k1,2 k3(2015江苏南京 ,第 16 题 3 分)如图，过原点 O 的直线与反比例函数 ， 的图象在第一象限内分别交于点 A，B
18、，且 A 为 OB 的中点，若函数 ，则 与 x 的函数表达式是_【答案】 【解析】试题分析：过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDx 轴于 D， 点 A 在反比例函数 上，设 A（a， ） ，OC= a，AC= ，AC x 轴，BD x 轴，ACBD ，OACOBD，A 为 OB 的中点， ， BD=2AC= ，OD=2OC=2a，B（2a， ） ，设 ， k=第 20 页 共 102 页， 与 x 的函数表达式是： 故答案为： 考点：反比例函数与一次函数的交点问题5.（2015 湖北荆州第 18 题 3 分）如图，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，OA=8，AB=10，点C
19、在边 OA 上，AC=2， P 的圆心 P 在线段 BC 上，且P 与边 AB，AO 都相切若反比例函数 y= （k 0）的图象经过圆心 P，则 k= 考点： 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征专题： 计算题分析： 作 PDOA 于 D，PEAB 于 E，作 CHAB 于 H，如图，设 P 的半径为 r，根据切线的性质和切线长定理得到 PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出 OB=6，则可判断OBC 为等腰直角三角形，从而得到 PCD 为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+ r，通过证明ACH ABO，利用相似比计算出 CH= ，接着利
20、用勾第 21 页 共 102 页股定理计算出 AH= ，所以 BH=10 = ，然后证明BEHBHC，利用相似比得到即= ，解得 r= ，从而易得 P 点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 k 的值解答： 解：作 PDOA 于 D，PEAB 于 E，作 CHAB 于 H，如图，设 P 的半径为 r，P 与边 AB，AO 都相切，PD=PE=r，AD =AE，在 RtOAB 中， OA=8，AB=10，OB= =6，AC=2，OC=6，OBC 为等腰直角三角形，PCD 为等腰直角三角形，PD=CD=r，AE=AD=2+r，CAH=BAO，ACHABO， = ，即 = ，解得 CH= ，
21、第 22 页 共 102 页AH= = = ，BH=10 = ，PECH，BEPBHC， = ，即 = ，解得 r= ，OD=OCCD=6 = ，P（ ， ） ，k= （ ）= 故答案为 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征6 （2015湖南省益阳市，第 10 题 5 分）已知 y 是 x 的反比例函数，当 x0 时，y 随 x 的第 23 页 共 102 页增大而减小请写出一个满足以上条件的函数表达式 y= （x0） ，答案不唯一 考
22、点： 反比例函数的性质专题： 开放型分析： 反比例函数的图象在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则反比例函数的反比例系数 k0；反之，只要 k0，则反比例函数在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大解答： 解：只要使反比例系数大于 0 即可如 y= （x0） ，答案不唯一故答案为：y= （x 0） ，答案不唯一点评： 本题主要考查了反比例函数 y= （k0）的性质：k0 时，函数图象在第一，三象限在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；k0 时，函数图象在第二，四象限在每个象限内 y 随 x 的增大而增大下列命题中正确的个数有 个如果单项式 3a4byc 与 2a
23、xb3cz 是同类项，那么 x= 4， y=3， z=；在反比例函数 中，y 随 x 的增大而减小；要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式；从 3，2 ，2，3 四个数中任意取两个数分别作为 k，b 的值，则直线 经过第一、二、三象限的概率是 【答案】2.第 24 页 共 102 页考点：1.同类项；2.反比例函数的性质；3.普查与抽样调查；4.概率.7. （2015 浙江宁波，第 18 题 4 分）如图，已知点 A，C 在反比例函数)0(axy的图象上，点 B，D 在反比例函数)0(bxy的图象上，ABCD 轴，AB，CD 在 轴的两侧，AB=3，CD=2 ，AB 与 CD 的距离为 5，
24、则 a的值是 【答案】6.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；特殊元素法和方程思想的的应用【分析】不妨取点 C 的横坐标为 1，点 C 在反比例函数(0)ayx的图象上，点 C 的坐标为 1,a.第 25 页 共 102 页CDx轴，CD 在 x轴的两侧，CD=2 ，点 D 的横坐标为 1.点 D 在反比例函数(0)byx的图象上， 点 D 的坐标为 1,b .ABCD x轴，AB 与 CD 的距离为 5，点 A 的纵坐标为 5.点 A 在反比例函数(0)ayx的图象上，点 A 的坐标为,5ab .ABx轴，AB 在 x轴的两侧， AB=3，点 B 的横坐标为315aba.点
25、 B 在反比例函数(0)byx的图象上，点 B 的坐标为23155,bab .22 554131abba. 50b， 453b. a. 6a.8.（2015 江苏泰州 ,第 15 题 3 分）点 、 在反比例函数 的图像上，若 ，则 的范围是 第 26 页 共 102 页【答案】1a1.【解析】试题分析：根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论：（1）当点（a1,y 1） 、(a+1，y 2)在图象的同一支时， （2）当点（a1，y 1） 、(a+1，y 2)在图象的两支上时.试题解析：k0在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.（1）当点（a1,y 1） 、( a+1， y2)在图象的同一
26、支时，y1y 2，a 1 a+1解得：无解；（2）当点（a1，y 1） 、( a+1，y 2)在图象的两支上时y1y 2，a 1 0，a+10解得：1a1.考点：反比例函数图象上点的坐标特征.9.（2015 山东临沂 ,第 19 题 3 分）定义：给定关于 x 的函数 y，对于该函数图象上任意两点（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，当 x1x2 时，都有 y1y2，称该函数为增函数. 根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，第 27 页 共 102 页是增函数的有_（填上所有正确答案的序号）. y = 2x； y = x1； y = x2 (x0) ； .【答案】考点：函数的图像与性
27、质10. （2015 浙江省绍兴市，第 15 题，5 分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（ ， ） 。如图，若曲线a与此正方形的边有交点，则 的取值范围是 )0(3xy第 28 页 共 102 页考点：反比例函数图象上点的坐标特征.分析：根据题意得出 C 点的坐标（ a1，a1） ，然后分别把 A、C 的坐标代入求得 a 的值，即可求得 a 的取值范围解答：解：A 点的坐标为（a，a） 根据题意 C（a 1，a1） ，当 A 在双曲线 时，则 a1= ，解得 a= +1，当 C 在双曲线 时，则 a= ，解得 a= ，a 的取值
28、范围是 a 故答案为 a 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标适合解析式是解题的关键11. （2015 山东菏泽，11，3 分）已知 A（1，m）与 B（2，m3）是反比例函数 图象上的两个点则 m 的值 【答案】2第 29 页 共 102 页考点：反比例函数图象上点的坐标特征12 （2015 甘肃兰州 ,第 19 题，4 分）如图，点 P，Q 是反比例函数 图象上的两点，PA 轴于点 A，QN 轴于点 N，作 PM 轴于点 M，QB 轴于点 B，连结 PB，QM，记ABP的面积为 S1，QMN 的面积为 S2，则 S1_S2（填“”或“”或“=”）【 答 案 】S1=S2【
29、考点解剖】本题考查的是反比例函数的图象，图形的面积变换，平面直角坐标系【知识准备】坐标平面内点 P（ ， ）到 轴和 轴的距离分别是 和 ；，等底等高的两个三角形面积相等【思路点拔】如果点 B 和点 M 在原点处，那么我们很容易知道这两个三角形面积是相等的，但现在这两个三角形都在半途，我们自然想到如何将之与APO 和QNO 联系？画出图形后，我们发现：只要能说明 SPBO=SQMO，那么问题便可解决。【解答过程】分别连结 PO， QO，设 P（ ， ）则有 ，因为点 P 在 图象上，所以 ，则 ，同样： ，所以 ；连结 BM，因为 BQ 轴，PM 轴，则有 ， ，第 30 页 共 102 页所以 ；因为 ， ，所以 ，即 S1=S2 【题目星级】【思维模式】碰到新情况，我们要想办法如何将问题向我们熟知的场景转化13(2015深圳，第 16 题 分) 如图，已知点 A 在反比例函数 上，作)0(xkyRTABC，点 D 为斜边 AC 的中点，连 DB 并延长交 y 轴于点 E，若 BCE 的面积为 8，则k= 。【答案】16【解析】由题意， 812BCESOA
