1、1回归课本讲义整合一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如： 函数的定义域； 函数的xylg|xylg|值域； 函数图象上的点集，xyxlg|),(如：（1）设集合 ，集合 N ，则|3M2|1,yxM_ （答：N1,)（2）集合 ，集合 42xyx 3,6,cos3inxy（答： ）2、条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况BAA如：（1）若非空集合 ， ，则5312/ax 0)2(3/xB使得 成立的 a 的集合是_ （答： ）96a（2）集合 M= N = 若 NM，则实数 a,04/2x,02/x的取值范围为_（条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况）BAA（答： ）3a（3）
2、，如果 ，求 的取值。 （答：a0）012|xARa3、 ; |BxB且|BxA或CUA=x|xU 但 x A; ;真子集怎定义？如：含 n 个元素的集合则的子集个数为 2n,真子集个数为 2n1;如：满足 集合 M 有_个。 （答：7）1,3454、C U(AB)=C UAC UB; CU(AB)=C UAC UB;5、AB=A AB=B A B CUB CUA AC UB= CUAB=U6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：（1）若关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围是xax|1|2| a_（答： ）3a2（2）已知函数 在区间 上至少存在一个12)(4)(2 p
3、xpxf ,实数 ，使 ，求实数 的取值范围。 （答： ）c0 3(,)27、原命题: ;逆命题: ;否命题: ；逆否命题: ；互pqqqp为逆否的两个命题是等价的. 如：（1）“ ”是“ ”的 条件。（答：充分非必要条件）sini（2）设命题 “已知函数 ，使得 ，:p 0,1)(02 yRxmxf 0)(yxf命题 ：“不等式 有实数解”，若 且 为真命题，则实数 的取值q29xpqm范围为_ （答： ）)3,2,(8、若 且 ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）; p如：写出“ 成立”的一个必要而不充分条件_ （答：比 范围大即21x )3,1(可）9、
4、注意命题 的否定与它的否命题的区别: pq命题 的否定是 ；否命题是qpq命题“p 或 q”的否定是“ P 且 Q”，“p 且 q”的否定是“ P 或 Q” 注意：如：命题：“若 和 都是偶数，则 是偶数”abba否命题：“若 和 不都是偶数，则 是奇数”命题的否定：“若 和 都是偶数，则 是奇数”二、函数与导数1、指数式、对数式：， ，mna1mna当 为奇数时， ；当 为偶数时， . n,0|na15lg23， ， ，01()alog(0,1)baaNbaNbalog, , ; logaN()logmn(logaaMN; lllogaaaM1llab如： 的值为_（答： ） = （答：1）
5、2log81()64133)5(lg2)(lg2、一次函数:y=ax+b(a0) b=0 时奇函数;3、二次函数三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(对称轴 ,a0,顶点 );顶点abx2)4,2(2abc式 f(x)=a(x-h)2+k;零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(对称轴 );b=0 偶函数;1x区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：(1) 已知函数 在区间 上有最小值 3，求 的422axxf 2,0a值 (答: )05,1a（2）若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 （答：2y ,b2）实根分布:先画图再研究开口、0、对称轴与区
6、间关系、区间端点函数值符号;4、反比例函数: 平移 (中心为(b,a) ，对勾函数 是奇)0x(cybxcay xay函数, ， 上 为 增 函 数，在 区 间时 ),0a 递 减，在时 )0,(,0a递 增，在 ),(5、幂、指数、对数函数的图象和性质：（1）若 ， ， ,0.52alog3b2lsin5c则 的大小关系为 （答： ）cba, c（2）设 ，则使函数 的定义域为 且为奇函数的所有 值为 1 或 3132， ， ， ayxRa4（3）不等式 的解集是 方程 的解是 1)lg(x)1,( 07369xx）7lo（4）函数 的图象和函数 的图象的交点个数是 24()31xf， ，
7、2()logx（答：3 个）（5）、幂函数 y= ，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图像是一族美丽的x曲线（如图）设点 A（1，0），B（0，1），连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y= ，y= 的图像三等分，即有xBM=MN=NA那么，=_ （答：1）（6）、设二元一次不等式组29084yx所 表 示 的 平 面 区 域的图象没有经过域 的取值范围 (0xMya为 ， 若 函 数 ,1),Ma则（答： ）921,06、单调性定义法;导数法. （1）设 那么21bx上是增函数；12()()0ffxbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.12x,在(2)设函数 在某个区
8、间内可导，如果 ，则 为增函数；如果)(fy)(f)(xf，则 为减函数.0)(fx如：（1）已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是_ 3ax1,a(答： )；,3(2) 函数 在 上为增函数，则 的取值范围为_（答：|)(xf),0）0a注意： 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在)(f)(f 3)(xfO NMyBAx5上单调递增，但 ， 是 为增函数的充分不必要条件。),(0)(xf0)(xf)(f注意：函数单调性与奇偶性的逆用吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如：已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实)(xf)2(0)12()(mff数 的取值范围。（答： ）
9、m13m复合函数由同增异减判定 图像判定. 作用:比大小,解证不等式. 如：（1）函数 的单调递增区间是_(答：（1,2）)。21logyx（2）若函数 在区间 内单调递增，则 的取10)()(3afa )0,2(a值范围是_(答： ),47、奇偶性：f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 如：（1）若函数 （ a 为常数）在定义域上为奇函数，则 k= （答：2()1xkf）k（2）定义在 R 上的偶函数 在 上是减函数，若 ，则 的)(
10、f0,)2()1(afaf取值范围是_ （答： ）23（3）已知函数 y=f(x),x1，1的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）, 则不等式的 )(2ffx的解集为 （答： ）2,0(),（4）已知函数 是定义在 R 上的奇函数， ，xf 0)1(f，则不等式 的解集是 （答：)(2xf ）（ 2x）,10,(8、周期性。（1）类比“三角函数图像”得：如：已知定义在 上的函数 是以 2 为周期的奇函数，则方程 在R()fx()0fx上至少有_个实数根（答：5）2,6（2）由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为()fxxaf(0)()fx的周期函数”得：a函数 满足 ，则
11、 是周期为 2 的周期函数；()fxaf()若 恒成立，则 ；1(0)T若 恒成立，则 .()()fxafxa如：(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时，,)()2(xfxf10，则 等于_(答： )；xf)()5.47(f 5.0（2）若 是 R 上的偶函数， 是 R 上的奇函数，则 与 的大)1(xf )4(xf(f小关系为_ （答： ）)(f（3）定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，()fx(2)fx3,2若 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系为_ ,sin,(cos)f(答： )sin)(cosff9、常见的图象变换函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左 或向右axfyx
12、fy)0(a平移 个单位得到的。)0(a如：（1）要得到 的图像，只需作 关于_轴对称的图像，)3lg(xlg再向_平移 3 个单位而得到(答： ；右)；（2）函数 的图象与 轴的交点个数有_个(答：2)21f x函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上 或向下xyafyy)0(a平移 个单位得到的；)0(a函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得f)0(xf a1到的。如：（1）将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再()yfx13将此图像沿 轴方向向左平移 2 个单位，所得图像对应的函数为_(答： )；x (36fx（2）如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴
13、方程是_(答：(1)f(2)yfx)1x7函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得xafy)0(xfyya到的.10、函数的对称性满足条件 的函数的图象关于直线 对称。ffbx2ab如：已知二次函数 满足条件 且方程)0()(2a)3()5(xff有等根，则 _ (答： )； xf)(f 1点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为,y(,)xyfy；f点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为(,)x,x； 点 关于原点的对称点为；函数 关于原点的对称曲线方程为,yfy； f点 关于直线 的对称点为 ；曲线(,)xxa(,)(),yax关于直线 的对称
14、曲线的方程为 。0 )0f特别地，点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线,y,)x,的对称曲线的方程为 ；点 关于直线 的对称点为 ；y(,)0f(,)yx曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。(,)fxx(,)fy如：己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线3),2f1xy1C对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是y,C3,C则_（答： ）；1xy若 f(ax)f(b+x),则 f(x)图像关于直线 x= 对称;两函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)图2ba像关于直线 x= 对称。2ab提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像
15、上；如：已知函数 。求证：函数 的图像关于点)(1)(Raxf)(xf成中心对称图形。(,1)Ma曲线 关于点 的对称曲线的方程为 。,0fxy,b2,)0faby如：若函数 与 的图象关于点（-2，3）对称，则2)(gy_（答： ）)(g76x形如 的图像是双曲线，对称中心是点 。(,aycdcx(,)dac如：已知函数图象 与 关于直线 对称，且图象C 2:(1)1yaxyx8关于点（2，3）对称，则 a 的值为_ （答：2）C（1） 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象)(xfy()fxx关于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到；（2） 的图象先保留 在 轴右方的
16、图象，擦去 轴左方的图象，然yy后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。如：（1）作出函数 及 的图象；2|log(1)|yx2log|1|x（2）若函数 是定义在 R 上的奇函数，则函数 的图象)(f )()(xffF关于_对称 （答： 轴）11、求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： - ；()0)fxk()()fxyfy幂函数型： - ， ；2()fxyx指数函数型： - ， ； ()xfa()fy()ffy对数函数型： - ， ；log()fxyxf三角函数型： - 。()tanfx()1fyf如：已知 是定义在 R 上的
17、奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T，则f_（答：0）)2(Tf12、反函数:互为反函数的两函数图像关于 y=x 对称.互为反函数的两函数具相同单调性原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。如：已知函数 的图象过点(1,1),那么 的反函数的图象一定经过点()yfx4fx_（答：（1,3）；13、题型方法总结（）判定相同函数:定义域相同且对应法则相同（）求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式： ；零点式：2()fxabc2()fxamn）12)(x如：已知 为二次函数，且 ，且 f(0)=1,图象在 x 轴
18、上截f )(xf得的线段长为 2 ,求 的解析式 。 （答：)f）()fxx（2）代换（配凑）法已知形如 的表达式，求 的表达式。()fgx()fx9如：（1）已知 求 的解析式 （答：,sin)co1(2xf2f）；242(),fxx（2）若 ，则函数 =_ （答：2)(f)1(f）；3（3）若函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 时，xf ),0(x，那么当 时， =_ )1()3xf)0,()f（答： ）. （3）方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程()fx组。如：（1）已知 ，求的解析式 （答：()2)32fxfx）；()3fx（2）已知 是偶函数， 是奇函
19、数，且 + = ,则()f)(g()fx)(xg1= （答： ）。()fx12x（）求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若 f(x)定义域为a,b,复合函数 fg(x)定义域由ag(x)b 解出；若 fg(x)定义域为a,b,则 f(x)定义域相当于 xa,b时 g(x)的值域；如：（1）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为_（答：)(xfy2,1)(log2xf）；42|x（2）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ （答：2(1)f,)()f1,5）（）求值域: 配方法：如：求函数 的值域 （答：4,8）
20、；25,1,2yx 逆求法（反求法）：如： 通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得31xy3xx出 的取值范围（答：（0,1）；y 换元法：10如：（1） 的值域为_（答： ）；2sin3cos1yx174,8（2） 的值域为_（答： ）（令 ，13,xt。0t运用换元法时，要特别要注意新元 的范围；t三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如： 的值域 （答： ）；2sin1coy3(,2不等式法利用基本不等式 求函数的最值。)abaR如：设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是12,xay12,xy21)(ba_.（答： ）。(,04,
21、)单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如：求 ， ， 的值1(9)yx229sin1siyx23log5xyx域为_（答： 、 、 ）；80,0,数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如：（1）已知点 在圆 上，求 及 的取值范围（答：(,)Pxy21y2yxx、 ）；3,5,（2）求函数 的值域（答： ）；22()(8)yx0,)判别式法：如：（1）求 的值域 （答： ）；21x1,（2）求 的值域（答： ）y(,3,)导数法;分离参数法;如：求函数 ， 的最小值。（答：48）32()40fxx,用 2 种方法求下列函数的值域： 2(1,)3yx11；)0
22、,(,32xy )0,(,132xy（V）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.(VI)恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.af(x)恒成立 af(x) max,; af(x)恒成立 af(x) min; 如：（1）若不等式 对 恒成立，则 a 的取值范围是04)2()(2xaxR_（答： ）2,(2)对于任意 ，函数 的值恒大于零，那么1,a2()()2fxx的取值范围是 （答： ）x ,3,（3）已知：不等式 0log2xm.在 21x上恒成立，则实数 m的取值范围是_（答： ）)1,6(4)设函数 ，若 时， 恒成立，则实数的取xf3(cos)(1
23、0ff值范围是 _（答;m0)成等比； 若b n(bn0)等比,则log cbnnac(c0 且 c 1)等差。如：（1）若 是等比数列，且 ，则 （答：1）na3nSr（2）已知 是等比数列， ， ，则 =_ 2a84 14321 naaa（答： ）3)4(n（3）数列 满足na .27),(1231 anNann（1）求 的值； （答： ）21, 9,1（2）是否存在一个实数 t，使得 且数列 为等差数列？(tbnn nb若存在，求出实数 t；若不存在，请说明理由。 （答: ）1t3、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前 n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式,或用二次函数处理;(
24、等比前 n 项积?)，)011nna或由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 如:（1）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前125a917S13 项和最大，最大值为 169）；（2）若 是等差数列，首项 ， ，则使前 n 项和n 0,2304a2034a成立的最大正整数 n 是 （答：4006）0nS（3）设 为等差数列 的前 n 项和，若 ,则 中最小的是,9S,321S_(答 )5（4）已知 为等差数列，若 ，且它的前 n 项和 Sn有最大值，那么当 Sn取得最小正值时，na10a15n=_（答：19）（5）等差数列 满足 ，且 ， 为 的前 n 项和，则
25、Sn中的最大项是 na1385a0nSa（答： ）20S4、基本量方法：等差数列中 an=a1+(n-1)d; Sn= =da2)1(1)(1na等比数列中 an= a1 qn-1; 当 q=1,Sn=na1 当 q1,S n= =qn1如：数列 是公差不为零的等差数列，并且 ， ， 是等比数列 的相邻三项，若 ，na583b25b则 等于 （答： ）b2)3(nnb5、利用等差（比）数列的性质：等差数列中, （1）a n=am+ (nm)d, ;nadm（2）当 m+n=p+q,am+an=ap+aq；若 ， 则2p2npa（3）任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S 2m-Sm、S 3m
26、-S2m、S 4m - S3m、仍为等差数列.（4）等差数列a n,项数 2n 时,S 偶 -S 奇 nd;项数 2n-1 时,S 奇 -S 偶 a n ; 项数为 时，则 ;项2qS奇偶数为奇数 时，211Saq奇 偶等比数列中，（1） ; nmmn（2）若 ，则 ;若 ， 则 ；2p2pmna（3）等比数列 的任意连续 项的和且不为零时构成的数列na仍为等比数列. 如：公比为-1 时， 、 - 、 -23243mmmSSS、 、 、 4S8412S、不成等比数列。8如：（1）在等比数列 中， ，公比 q 是整数，则 =_（答：na384712,512a10a512）；（2）各项均为正数的等
27、比数列 中，若 ，则 n56931323loglloga（答：10）。（3） 一个等差数列共 n 项，其和为 90，这个数列的前 10 项的和为 25，后 10 项的和为 75，则项数为_ （答：18）n16（4）等比数列 中，前四项之和为 240，第二、第四项之和为 180，则首项为 na（答：6）（5） 等差数列 的前 12 项的和是 98，前 98 项的和是 12，则 的前 110 项的和为n na_ （答： ）10（6）设等比数列 的公比为 ，前 n 项和为 ，若 成等差数列，则 的值为naqnS21,nSq_（注意在运用等比求和公式时对公比 进行讨论） （答：q）2q（7）设等差数列
28、 的前 项和为 ，已知nanS,1)(209)1(32aa，则下列结论正确的是_)1(09)1(283208a（1） （2）9,S 20809,（3） （4）20820aaS6、 等差三数为 a-d,a,a+d;四数 a-3d,a-d,a+d,a+3d;等比三数可设 a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 如：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）7、求数列a n的最大、最小项的方法（函数思想）：a n+
29、1-an= 如 an= -2n2+29n-3 (an0) 如 an= 答： 01na10)(9109a a n=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= （答： ）1562132a8、求通项常法: （1）已知数列的前 n 项和 ,求通项 ，可利用公式:sn2)(n S1 1n如：数列 满足 ，求 （答： ）na122na a4,2（2）先猜后证（3）递推式为 f(n) (采用累加法)； f(n) (采用累积法)； n 1 n如：已知数列 满足 ， ，则 =_（答：a1n1n）2n17（4）构造法形如 、 （ 为常数）的递推数列1nakb1nnakb,如：已知 ，求 （答： ）；1,32
30、132na（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 3 个公式的合理运用an（a na n-1）+(a n-1a n-2)+（a 2a 1）a 1 ； an 12n1a 如：数列 an中,已知 , ,则 =_ （答：1)(1nn）23n（6）倒数法形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。1nkb如：（1）已知 ，求 （答： ）；1,3nan132na（2）已知数列满足 =1， ，求 （答： ）11n2na9、数列的求和数列求和的常用方法： 关键找通项公式，确定项数。公式法： 等差数列的求和公式， 等比数列的求和公式分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同
31、类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含 因式，周期数列等等）n(-1)如：已知数列 ,满足 an= ，求 n32S倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）如：（1）设 ， ，则1log)(2xxf Nnfnffn ),1()2(=_ 203a（2）已知 ，则 _ _2()1fx()2(3)4()()234ffff72错位相减法：（“差比数列”的求和）如：已知数列 ,满足 an=(2n-1)2n ，求nS裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选
32、用裂项相消法求和，常用裂项形式有：（1） 11()()kk（2） 2k211()()kk（3） （4）(1)(1)(2)nnn()nn18如：求和： （答： ）112323n 21n四、三角函数1、三角函数的基本概念角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度1801)80(157弧长公式： ；扇形面积公式： 。RlRlS2如：已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。 （答：2 ） cm2、函数 y= b（ ） 五点法作图;)sin(xA0,A振幅?相位?初相?周期 T= ,频率?=k 时奇函数;=k+ 时偶函数.单调增（减）区间，如增区22间可有（
33、）来求出 的范围kk x对称轴处 y 取最值,对称中心处值为 0;余弦正切可类比. 如：（1）函数 的奇偶性是_ （答：偶函数）；52sinx（2）已知函数 为常数），且 ，则 _5_ 31f(x)abi(a,b57f()5f()（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是_、_ )cosncs2xy、 ；18k(,)(Z28k(Z)（4）已知 为偶函数，求 的值。3fxsi)csx6k(Z)（5）函数 为增函数的区间是_ _（错因不注意内层函数的),0(6n2xy单调性。）（答： ）5,3(6) 已知函数 ,设 为常数，若 在区间2()4sin()cos2xfx0()yfx上是增函数，求 的取
34、值范围 (答： )2,3w4319变换: 正左移负右移；b 正上移负下移; )sin()sin(sin1| xyxyxy 倍横 坐 标 伸 缩 到 原 来 的左 或 右 平 移 iii |1 左 或 右 平 移倍横 坐 标 伸 缩 到 原 来 的 bxAyxAybA )sn()sin(|上 或 下 平 移倍纵 坐 标 伸 缩 到 原 来 的（1）要得到函数 的图像，只需将 的图像向左平移 个单位 )42co(x2si（答： ）8（2）将函数 的图像沿 轴向右平移 个单位（ ）所得的图像关于xxycs3sina0轴对称，求 的最小值是 （答： ）a 123、同角基本关系： ， = ， .22si
35、co1tancositancot如：已知 ，则 _； _（ ；1tansi3sii235）；514、正弦、余弦的诱导公式，诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限(注意：公式中始终视 为锐角)21()sin,sin2co21()s,s(innco如：若 ， ，则 角的终边在第_象限。54)2sin(53)2si(5、（1）和（差）角公式 ;sincosi)si( coco(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)20 .tan1t)tan(tant()1tan)如：已知 tan tan是方程 x2+3 x+4=0 的两根，若 ，(- )，则+=_ （答：32,）32错因：没有准确限制
36、角的范围。（2）二倍角公式 ；cosinsi 2222 sin1cossinco； 2ta1ta变形公式： cosin22sin1cosi 2sinco)i(i2如：（1）函数 的单调递增区间为2553f(x)sncoxsx3(R_（答： ）1k,(kZ)（2） （答：2）40cos27tan0si31cos0t（3）已知 ，那么 的最大值和最小值分别是_ i6y（答：7 或 ）5（4）已知 ,则 的取值范围是_ cos4sco2222cos（答： ）16,0巧变角：如 ， ，()()()()， ， 等），222如：（1）已知 ， ，那么 的值是 _ （答：tan()51ta()4tan()4
37、21）；32（2）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关,sin,cosxy3cs()5yx系为_（答： ）23431(1)55y6、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 ) 2sincossinaxbabxtanb如：如果 是奇函数，则 = (答：2)；sin2()fxt7、正弦定理:2R= = = ; （ 是 外接圆直径）AaiBbiCsinRAB ； cb:s: 11sinisin22SabCcAaB ； 内切圆半径 r=cRasi2,si,in2 bSC余弦定理：a =b +c -2bc ; ； ABC 中，2Aobca2sib三角形内角和定理 ：在ABC 中，有 ()BCAB. 2C2
38、术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角 的取值范围是：0360如：（1）已知锐角三角形 中，边长 满足 ，且 ，AB,ab23,ab2sin()30AB则另一边长 = 答：c6（2）在 中， 分别是 的对边长，已知 .Ccba,C, cossi()若 ,求实数 的值; （答： ）m22 1m()若 ,求 面积的最大值. （答： ）3aAB43axS22五、平面向量1、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相a反向量是 。)、共线向量、相等向量a如：与向量
39、平行的单位向量_，垂直的单位向量_。5,12（答：（ ）；（ ）3， 5123，2、向量加法与减法运算代数运算：(1) ; ；BCAAnnAA1321 (2)若 =（ ）, =（ ）则 =（ ）a1yxb2,yxab2121,yx几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量 = + ,ABDACab= , = .且有 + bababa如：已知在平面直角坐标系中， O (0,0), M (1, 21), N (0,1), Q (2,3), 动点 P (x,y)满足： 0OPM1,0 P1,则 P的最大值为 （答：4）3、实数与向量的积
40、：实数 与向量 的积是一个向量。a = ；a23(1) 当 0 时， 与 的方向相同；当 0 时， 与 的方向相反；当 =0 时，aa= a(2)若 =（ ），则 =（ ）1,yx1,yx两个向量共线的充要条件：(1) 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且仅有一个实数 ，使得 = baba(2) 若 =（ ）, =（ ）则 a1yx2,yxab0121yx4、向量的数量积向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （OABb）叫做向量 与 的夹角（两个向量必须有相同的起点）。0018ab两个向量的数量积：两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cos ab其中向量
41、 在 方向上的投影为 cos 且 cos bbab向量的数量积的性质：若 =（ ）, =（ ）a1yx2,yx（1） = = cos ( 为单位向量)；ee（2） =0 ；ab021yx（3） = ； （4）cos = = 21ab221yx向量的数量积的运算律： = ； ( ) = ( )= ( )； ( ) = + abababacbc注意：与向量 垂直且模相等的向量为 或 ；),nm,mn),24在 平分线上的向量可以记为AOB)|(OBAC0(向量 与向量 夹角为锐角 且 、 不共线；abab0向量 与向量 夹角为钝角 且 、 不共线。如：已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是 )2,()2,3(（答： 或 且 ）；4015、平面向量基本定理（1）若 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有1e2 a一对实数 ， ，使得 = + a1e2（2）有用的结论：若 、 是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数 ， ，使得 1e2 121+ = ，则 = =0.1e20特别： 则 是三点 P、A、B 共线的充要条件如平面直角坐标系中，OP2AB12为坐标原点如：已知两点 , ,若点 满足 ,其中 且)3()C O 21R21,
