1、高等量子力学讲义（研究生用） 5.2 SU （2）群及其表示 河北师范大学 刘建军 5.2 SU（ 2）群及其表示 1. 群 (2)SU为研究三维转动群，我们首先研究二维么模么正群，即由全部行列式为 1 的 22 复幺正矩阵构成的群，即 群。群乘法就是矩阵乘法。设 (2)SU 22 矩阵为 ， abcdu=其中 为复数，因此有 8 个参数。但 群的群元有约束条件 和,abcd (2)SU det 1u = 1uu+= ，可以得出约束方程。由 det 得 1u = ad bc 1 = ， （1） 由 得 （2） +uu 1=*aa+cc 1=*b bdd1+ = （3） （4） *ab cd 0
2、+=*b adc0+ = （5） 方程（4）和（ 5）等价，因此方程（1） （4）给出矩阵元的限制，这四个方程中（1） 和（ 4）是复数方程， （ 2）和（3 ）是实数方程，因此是六个方程。但这六个方程并不是线性无关的，由（4）可得*abcd= ，*(cdab= )，由（3）可得*1ddbb= ，*1bbdd= ( )*dd 1abcd= ，代入（1）可得 *ad= （6），同样可得出*cb= （7）， 由（ 6）、（7）和（ 3）就可得出（1）。因此实际约束方程是五个，所以 的矩阵由三个独立参数来确定，则一般形式可写成 (2)SU， *(,)abuabba=+uu 1= 或 det 1u =
3、 为*aa bb 1+ = 是约束方程。 将 a、b 两个复数用模和幅角表示，令 iame= ，ib ne= ( )0 , 2 , m,n 0 则由约束条件有：22mn1+ = ，可取 cosm = ， sinn = 02这样可得出由 、 、 三个实参量表示的 矩阵的一般形式是 (2)SU()iicos sin,sin coseeu =，它是一个三参量连续群。 1高等量子力学讲义（研究生用） 5.2 SU （2）群及其表示 河北师范大学 刘建军 2. 群的表示 ()2SU我们将 作为算符，取一个二维空间，在这个空间中将(,uab) ( ),uab看做某种转动算符，它作用在这个二维空间的矢量 v
4、，则设urvur=uvr令 v=r, ,v = ur则有 =* * *ab abba b a +=。 取一组线性无关的 、 的函数( ),nf 为基构成 n维表示空间。则有在 = 时， vuruvr() (),nnufPf = 或写成 () ()() () ()1nnn nnuf vPfvfuv fvDu = =rr r r， 则 维表示空间中变换算符 的矩阵形式就是nuP( )2SU 群的一个 维表示，显然 n()nnuDu fPf =n。 ( ),nf我们选 、 的齐次多项式 作为基函数 ： 一维： 1 00() ； 二维： ， 11 11 11 1122 22 22 22(, + +)；
5、 三维：2 ， ，2 ； .； 11 11 10 10 11 11(, , + + +)1n+ 维：n ，n-1 ，n-2 2 ， ，n ， ，1,nn，其中 n为整数， 0,1, 2, ,n = L 。为方便起见我们令 =n 2 j，用 代替 m ，将 取值换为 m ,1,1,j jjjL 21,则 j + + 维 表示的基函数的通项可写成(1) (1) () ()(, , )j jjj jj jj j j j j + + + L j mjm +（ ,1,1,mjj jj=+ L ）， 此时若 为偶数，则 n2nj = 是整数， 为奇数时则 为半奇数 n j ,213,22nL 。 为方便起
6、见，我们将基函数乘上个常数，这并不影响所讨论的问题，令 ()()(),!jm jmjmfj mjm+=+， 而 1*ab abuv uvba b a += =+rr ，则 2高等量子力学讲义（研究生用） 5.2 SU （2）群及其表示 河北师范大学 刘建军 () ( )()()()()1*,!jm jmjj jum um mab baPf v Pf f u vjm jm +=+rr， 根据定义 () () (,jjjum m mmmjPf f D u =)j，【此式与上式两边比较求 】 ()jmmDu其中 即为 群的() ( ),jjmm mmDuDab=()2SU 21j+ 维表示的矩阵元，
7、为了求出( ),jmmDab，利用二项式展开定理： ()()0!nnrnnx yxny=+=， 将()和(展开有 *jmab )*jmba+()()( )()()(0!*1 *!njmjm jmn nnjmba a bnjmn) =+ = ， ()()()()()j+m0!*!jm p jmppjmba b apjmp + +=+=+， 将它们代入得 ()()( )( )()()001!,*! !njmjmj jmn n p jmp jmnp jmpnumnpjm jmPf a bb anjmnpjmp + +=+= +为了将它写成基函数的标准形式，令 pmmn= +，则当 p 由 0 到 j
8、+m 时， 取值由 mnm +到 ，则求和为 。写成标准形式，这个求和需对调次序，对调次序后 取值由 j 到 j，而 n 的取值较复杂，我们随后讨论，则 nj0jm mnnmnj +=m()*1 ( )!( )!( )!( )!(,) *!( )!( )!( )!()!(njm jmjj jmn n mnm jmnummjnjmjmjm jmPf a bb anjmnmnm jmn)!j mjm+ + +=+= + +。 由于在原求和中分母的四个阶乘都是从 0！开始，所以现在 n取值也应保证从 0！开始，这就限制了 n的取值范围，所以对 n的求和，我们 要求n 取所有分母上的四个阶乘不为负的所
9、有可能的整数阶乘 ，上式与标准式比较得出： ()()( )( )( ) ( )()()( )1!,*! ! !nj jm n jmn n nmmmmnjm jm jm jmDab aa bbjmn jmnnnmm+ +=+ +其中 j=131223， ， ，.，m=-j,-j+1,.,j-1,j 。 可以看出，当 ( ) ( ),aabb uab uab 时，即 时，有 3高等量子力学讲义（研究生用） 5.2 SU （2）群及其表示 河北师范大学 刘建军 ()() ()2j1jjmm mmDu D= u， 所以当 j 为整数时， () ( )jjmm mmDuD= +u，即 ( )2SU 两个
10、群元 uu和 有相同的表示矩阵。而 j 为半奇数时， ，则无此问题。 () (uDuDjmmjmm = )可以验证当 j=21时，表示矩阵为： () =*ba,21abbaD ， 2/12/112,2/111( = mmmm ， 2/122,2/12/121 = mmmm ） 基函数为 () () = , ,21212121ff ，由于 ( )2SU 群的群元也是 22 矩阵，因此21D 与 u之间可以通过相似变换联系，即设 M 为相似变换矩阵，则 21D = ， 即 1uMM u21MMD = ， 可取 ，因此可以适当选择基函数使得群元本身就是二维表示。 =iiM003. 群表示的性质 ()
11、2SU基函数 ()()()!,mjmjfmjmjjm+=+ ，我们计算 ()()()( )()()( )()+=+=+mjmjmjjmmjmjmjmjff!2*!*,2* ， 在二维空间中， 是标量，所以有 vvrr( ) ( ), ,vv vv=r rrr（标量转动 u 后是不变量） ， 即 () ， ()= *,*, * +=+ ， 因此 * + 在 u 变化下是不变量。 （ 1） 表示矩阵为幺正矩阵（ 1=+jjDD ） 证明： Q * + 为不变量， 对应函数空间在 变换下的内积也不变，即 uP()()m*jj jjum um m mmPf Pf f f= =mmjjmmmmjmmjm
12、mjmjmffDDff *， ， 若 对不同的 是线性无关的，则必有jmjmff* , mm*mmmjmmjmmDD =， 4高等量子力学讲义（研究生用） 5.2 SU （2）群及其表示 河北师范大学 刘建军 而 线性无关性要求只有在jmjmff* 0=mmC 时 0*=jmjmmmmmffC 才成立。 将 的具体形式代入 jmf0*=+mjmjmjmjmmmmC ， 应对 和 一切值都成立，其中 ()()( )( )!/mjmjmjmjCCmmmm+= ， 令 为实变量上式也成立，则有（令 2j mm = + ，把 用m 替换） ()0*2,2=mjmjjmmjmC ， 则应有对任意 值系数
13、均为零，即 32,*jm jmjmmmC+ =0， 设 0 两边除以 ，得 jj3* 0*,2=mmmjmC， 而 ie=*（ie= ） ，其中 为 幅角 的负 2 倍，即 2 ，它可以取任意实数。则 0,2=immmjmeC ， 由于 不同， 是线性无关的，因此只有 =0，对任意 mime,2mmjC,m 都成立时才有上边的右式，即 0,=mmC 对一切的 都成立。 , mm因此 是线性无关的，我们有 jmjmff* jjmm mm mmmDD +=， 即 1=+jjDD ，证毕。 （ 2） 是不可约表示 jD由舒尔引理可知：若矩阵 M 与 ( )baDj, 所有表示矩阵都对易，只有 M 为
14、一个单位矩阵的常数倍才成立，则 为不可约表示。 jD证明：设 M 与 所有表示矩阵都对易，则应对任意满足jD 1* =+ bbaa 的 值都成立。现取 b=0、ba,2iea = ，则 M 应与0,2ijeD 对易，而 5高等量子力学讲义（研究生用） 5.2 SU （2）群及其表示 河北师范大学 刘建军 () ()()()( ) ( )()()( )()() (!,1 *! ! !njm n jmn nmmj nmmnjm jm jm jmDab a a bbjmn jmnnnmm+ + +=+ +)， 将2iea = 、 b=0 代入可知，对 n 求和，由于 b=0，只有 n 0 的项不为零
15、，而又 项， n 0时，只有 才不为零，所以 *b0mm=2,0ijimm mmDe e=， 取jjMDDM= 的 的矩阵元可得：mm jjmm m m mm m mMD DM= ， 将2(,0)ijimm mmDe em= 代入得 ()im immm mm mm mmMe eM0m =， 0im immm mmMe eM = 0， 即 ()im immmMe e = ， 当 时， ，因此 M 是对角矩阵。其矩阵设为 mm0mmM =mm mm mM M= ，由 jjMDDM= 可得： jjmm m m m mm m m mM DD=M， jjmmm mm mM DDM= 0jmmD Q ，mmM M= 。 即 M 矩阵对角元都相同，所以它是单位矩阵的倍数。由舒尔引理可知 是不可约表示。 jD6
