1、第 10 课时 空间的角的计算(2)教学过程一、 问题情境1. 怎样用向量方法求解两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角?2. 两条异面直线所成的角可以转化为求两条异面直线的方向向量的夹角;斜线与平面所成的角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量(平面的 “方向”)的夹角,那么类比可知二面角的平面角是否也可以转化为两个平面的“方向”即两个平面的法向量的夹角呢?二、 数学建构问题 1 二面角的大小是如何度量的 ?问题 2 二面角的平面角 是如何定义的?你能在图示中作出二面角的平面角吗 ?问题 3 什么叫平面的法向量 ?你能在图示中作出平面 , 的法向量吗?问题 4 观察图示,请研究二面角的平面
2、角 与这两个平面的法向量的夹角的关系. 1(图 1)(图 2)解 在定义了平面的法向量之后,我们就可以用平面的法向量来求两个平面所成的角.由于平面的法向量垂直于平面, 这样, 两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.二面角的取值范围是0,180,所以二面角的平面角 与这两个平面的法向量的夹角 相等或互补.图 1 中,=;图 2 中, =180-.三、 数学运用【例 1】 (教材第 110 页例 4)已知 E,F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点.(1)求 A1D 与 EF 所成角的大小;(2)求 A1F 与平面 B1EB 所成角的大小;
3、(3)求二面角 C-D1B1-B 的大小. 2 (见学生用书 P68)处理建议 先引导学生画出正确的图形,并建立适当的空间直角坐标系;再让学生根据已学知识选择适当的方法解题;最后进行点评或修正.规范板书 解 以 , , 为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E ,F .(例 1)(1)因为 =(-1,0,-1), = -,-,0 ,所以| |= ,| |= , =.由 cos= =,可知向量 与 的夹角为 60.因此,A 1D 与 EF 所成角的大小为 6
4、0.(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 因为 AB平面 B1C1CB,所以 是平面 B1EB 的一个法向量.因为 =(0,1,0), = ,所以| |=1,| |=, =.由 cos= =,可得向量 与 的夹角约为 70.53.因此,直线 A1F 与平面 B1EB 所成的角约为 19.47.(3)因为 AC1平面 B1D1C,所以 是平面 B1D1C 的一个法向量.又因为 AC平面 B1D1DB,所以 是平面 B1D1DB 的一个法向量 .因为 =(-1,1,1), =(-1,1,0),所以| |= ,| |= , =2.由 cos= = ,可得向量 与 的夹角约为 35.26.
5、根据图形可知,二面角 C-D1B1-B 约为 35.26.题后反思 用两条异面直线的方向向量求其所成的角,应注意角的取值范围;用向量的方法求直线与平面所成的角,应注意 sin=|cos|;用向量的方法求二面角,应注意根据图形确定两个法向量的夹角与二面角的平面角相等还是互补.变式 如图(1),在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,ABC= 45,OA底面ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点.(变式(1)(1)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ;(2)求平面 OAB 与平面 OCD 所成角的余弦值.规范板书 解 作 APCD 于点 P,分别以 AB,AP,A
6、O 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D ,P ,O(0,0,2),M(0,0,1).(变式(2)(1)因为 =(1,0,0), = ,则 cos=-,故 AB 与 MD 所成的角为.(2) = , = .设平面 OCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n =0,n =0,即取 z= ,则 n=(0,4, ).易得平面 OAB 的一个法向量为 m=(0,1,0),所以 cos= ,故平面 OAB 与平面 OCD 所成角的余弦值为 .【例 2】 如图(1),在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=AA 1,D 是棱 A
7、A1 的中点,DC 1BD.(例 2(1)(1)求证:DC 1BC;(2)求二面角 A1-BD-C1 的大小. (见学生用书 P69)处理意见 先引导学生对规则图形建立直角坐标系,再引导学生分别求出平面 A1BD与平面 C1BD 的法向量,并求出这两个法向量的夹角,从而确定二面角的大小 .规范板书 解 (1)在矩形 AA1C1C 中, 由于 D 为 AA1 的中点, 故 DC=DC1.又 AC=AA1,可得 D +DC2=A1 +A1D2+AD2+AC2=4AC2=C ,所以 DC1DC.而 DC1BD,DCBD=D,所以 DC1平面 BCD.因为 BC平面 BCD,所以 DC1BC.(2)由
8、(1)知 BCDC1,且 BCCC1,DC1CC1=C1,则 BC平面 ACC1A1,所以 CA,CB,CC1 两两垂直.故以 C 为坐标原点, , , 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,| |为单位长度,(例 2(2)建立如图(2)所示的空间直角坐标系 C-xyz.因此,A 1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).则 =(0,0,-1), =(1,-1,1), =(-1,0,1).设 n=(x,y,z)是平面 A1BD 的一个法向量,则 即 可取 n=(1,1,0).设 m=(x,y,z)是平面 C1BD 的一个法向量 ,则 即 可取 m=(1,
9、2,1).从而 cos= = = .故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30.题后反思 本题也可先确定二面角的平面角,再用向量的方法求这个二面角,但比较复杂,解题时,根据具体情况选择适当的方法.*【例 3】 如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA 1=2,AB=1,N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上.设二面角 A1-DN-M 的大小为 .(1)当 =90时,求 AM 的长;(2)当 cos= 时 ,求 CM 的长. 3(例 3)处理建议 先引导学生对规则图形建立直角坐标系;再将二面角问题转化为这两个平面法向量的夹角问题;最后根据题设条件解题.规范板书 解 以 D 为
10、坐标原点 ,DA 为 x 轴的正半轴, DC 为 y 轴的正半轴,DD 1 为 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),A1(1,0,2),N ,C(0,1,0),D(0,0,0).设 M(0,1,z),所以 =(1,0,2), = , =(0,1,z).设平面 A1DN 的一个法向量为 n=(x0,y0,z0),则 n=0, n=0,所以取 x0=2,则 y0=-1,z0=-1,即 n=(2,-1,-1).设平面 MDN 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1).(1)由题意知 n1=0, n1=0,nn1=0,所以取 x1=2,则 y1=-1,z1=5,z=,
11、所以 M ,所以 AM= .(2)由题意知 n1=0, n1=0, = ,即取 x1=2,则 y1=-1,z1=2,z=,所以 CM=.题后反思 用坐标法求二面角时,要注意平面的法向量有两种指向,由图形确定两个法向量所成的角与二面角的平面角是相等还是互补.无论是直接求二面角还是应用二面角解决其他问题都要判断.四、 课堂练习1. 若平面 的法向量 a=(-1,-1,1),平面 的法向量 b=(2,0,1),则平面 与 所成角的余弦值为 . 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,二面角 A-A1B-D 的余弦值为 . 3. 如图( 1),在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3 ,
12、BC=4,AB=5,AA1=4.(1) 设 = ,异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为 ,求 的值;(2) 若 D 是 AB 的中点,求二面角 D-CB1-B 的余弦值.(第 3 题(1)解 (1) 分别以 CA,CB,CC1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立如图( 2)所示的空间直角坐标系C-xyz, (第 3 题(2)则 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),C1(0,0,4),所以 =(-3,0,4), =(-3,4,0),因为 = ,所以点 D(-3+3,4,0),所以 =(-3+3,4,0).因为异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为 ,所以|cos|= = ,解得 =.(2)由(1)得 B1(0,4,4),D ,所以 = , =(0,4,4).易知平面 CBB1C1 的一个法向量为 n1=(1,0,0).设平面 DB1C 的一个法向量为 n2=(x0,y0,z0),由 得 令 x0=4,则 y0=-3,z0=3,所以 n2=(4,-3,3).由于 cos= = = ,所以二面角 D-B1C-B 的余弦值为 .五、 课堂小结求二面角的两种方法:1.利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角.2.转化为求这两个面的法向量的夹角, 它与二面角的大小相等或互补.
