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类型二项分布和超几何分布的数学期望.doc

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:5530574
  • 上传时间:2019-03-06
  • 格式:DOC
  • 页数:3
  • 大小:230.50KB
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    二项分布和超几何分布的数学期望.doc
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    1、二项分布的数学期望Xb(n,p),其中 n1,0p1. PX=k=C(n,k)*pk*(1-p)(n-k),k=0,1,.,n. EX=np,DX=np(1-p). 证明方法(一):将 X 分解成 n 个相互独立的,都服从以 p 为参数的(0-1) 分布的随机变量之和: X=X1+X2+.+Xn,Xib(1,p),i=1,2,.,n. PXi=0=1-p,P(Xi=1)=p. EXi=0*(1-p)+1*p=p, E(Xi2)=02*(1-p)+12*p=p, DXi=E(Xi2)-(EXi)2=p-p2=p(1-p). EX=EX1+EX2+.+EXn=np, DX=DX1+DX2+.+DX

    2、n=np(1-p).证明方法(二):EX=kb(k;n,p)=k*C(k,n)pkq(n-k) =npC(k-1,n-1)p(k-1)q(n-1-k+1) =npC(k,n-1)pkq(n-1-k) =npb(k;n-1,p) =np DX=npq 可用公式 DX=EX2-(EX)2 求出 EX2=k2b(k;n,p) =k(k-1)+kb(k;n,p) =k(k-1)b(k;n,p)+kb(k;n,p) =n(n-1)p2b(k;n-2,p)+np =n(n-1)p2+np=n2p2+npq =n2p2+npq 所以 DX=EX2-(EX)2=n2p2+npq-n2p2 =npq二项分布和超

    3、几何分布的数学期望当 XB (n,p)时,E(X) = rC pkqn k np C pk 1qn k n r 1 r n n r 1r 1 n 1 np(p q)n 1 np 为求超几何分布的数学期望,我们先建立数学期望的基本性质:性质 1 若 aX b,则 aE( X)b特别地,E (c) c,这里的 a,b,c是常数;性质 2 线性性:对任意常数 ci,i 1, 2, , n,及 b,有E( ciXi b) ciE(Xi) bn i =1 n i =1下面计算超几何分布 XH(n,M,N)的数学期望设想一个相应的不放回抽样,令Xi 1, 第 i次 抽 得 废 品 ;0, 第 i次 抽 得 好 品 , )则 P(Xi 1) ,因此 E(Xi) ,而 X X1 X2 Xn 表示 n 次抽样中抽出的MNMN废品数,它服从超几何分布,利用性质 2,得到E(X) = E(X1) E(Xn) nMN

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