1、2015 第 66 屆 AMC12A 試題 1. 算出 5 0 5 1 2 1 2 0 之值為何？ (A) 125 (B ) 120 (C ) 5 1(D ) 24 5(E )25。 【2015AMC12A】 答： (C) 解： 所求 5 1 5 25 1 5 0 25 1 1 1 2. 若某三角形的兩個邊長分別為 20與15，則下列哪一個數不可能是此三角形的周長？ (A)52 (B ) 57 (C )62 (D )67 (E )72。 【2015AMC12A】 答： (E) 解： 20 15 15 20 15 20 x x x 35 5 x ，故 40 周長 70 3. 巴老師教一班15位學
2、生的數學，當他改完考卷時，發現不含培頓考卷，該班平均成績是 80分；而含培頓考卷後，該班的平均成績是81分，試問培頓成績是幾分？ (A)81 (B ) 85 (C )91 (D )94 (E )95。 【2015AMC12A】 答： (E) 解： 81 1 14 14 80 x 95 x 4. 兩個正整數的和等於這兩數之差的5倍，試問大數對小數的比值為多少？ (A) 4 5(B ) 2 3(C ) 5 9(D )2 (E ) 2 5 。 【2015AMC12A】 答： (B) 解： 2 3 5 , y x y x y x N y x5. 小艾要估算 c b a 之值，其中a、b、c均為很大的正
3、整數， 她調整算式中的各整數以方便心算，下列哪一個作法會使得她所得到 c b a 之值變大？ (A)她將三數都增大 (B)她將a與b增大，且將c減小 (C)她將a與c增大，且將b減小 (D)她將a增大，且將b與c減小 (E)她將c增大，且將a與b減小。 【2015AMC12A】 答： (D) 解： 分子愈大，分母愈小，減數愈少，所得愈大 6. 兩年前小培是他表弟年齡的三倍，而再更早兩年小培是他表弟年齡的四倍， 試問多少年後他們的年齡的比是 2：1？ (A)2 (B )4 (C ) 5 (D )6 (E ) 8。 【2015AMC12A】 答： (B) 解： t y t x y x y x 2
4、4 4 4 2 3 2 4 8 20 t y x7. 兩個直圓柱的體積相同，若第二個直圓柱的半徑較第一個直圓柱的半徑多第一個直圓柱 半徑的 % 10 ，則兩個直圓柱高的關係為下列何者？ (A) 第二個直圓柱的高較第一個直圓柱的高少第一個直圓柱高的 % 10 (B) 第一個直圓柱的高較第二個直圓柱的高多第二個直圓柱高的 % 10 (C) 第二個直圓柱的高較第一個直圓柱的高少第一個直圓柱高的 % 21 (D) 第一個直圓柱的高較第二個直圓柱的高多第二個直圓柱高的 % 21 (E) 第二個直圓柱的高是第一個直圓柱高的 % 80 。 【2015AMC12A】 答： (D) 解： 2 2 1 2 1 .
5、 1 h r h r 2 1 21 . 1 h h 8. 某個長方形長與寬的比為 4： 3，若此長方形對角線的長為d ，且其面積等於 2 kd ， 則k之值為何？ (A) 7 2(B ) 7 3(C ) 25 12(D ) 25 16(E ) 4 3 。 【2015AMC12A】 答： (C) 解： 長 t 4 ，寬 t 3 ，對角線 t d 5 面積 t t kd 3 4 2 25 12 25 12 12 2 2 2 2 t t d t k 9. 盒子中裝有 2顆紅彈珠、 2顆綠彈珠及 2顆黃彈珠。小卡隨意地從盒子中取出 2顆彈珠； 接著小明再從盒內剩下的彈珠中隨意地取出 2顆彈珠；然後小華
6、再從盒子中取出最後的 2 顆彈珠。試問：小華取出 2顆彈珠顏色相同的機率為多少？ (A) 10 1(B ) 6 1(C ) 5 1(D ) 3 1(E ) 2 1 。 【2015AMC12A】 答： (C) 解： 5 1 5 1 1 1 6 1 6 1 必與第一球同色 小華第二球 第一球任取 小華之 C C C C 10. 整數x與y滿足 0 y x ，若 80 xy y x ，則 x ？ (A)8 (B ) 10 (C ) 15 (D ) 18 (E )26。 【2015AMC12A】 答： (E) 解： 原式 81 1 1 y x ，又 1 1 1 y x ， N y x , 故 27 1
7、 x 且 3 1 y 26 x ， 2 y 11. 小許在一張紙上畫了一個半徑為 2的圓及一個半徑為 3的圓，並且畫出兩圓所有可能的 公切線，小許發現他恰畫了k條直線， 0 k 。試問k 總共有多少種可能不同的值？ (A)2 (B )3 (C )4 (D ) 5 (E )6。 【2015AMC12A】 答： (D) 解： 外離（ 4 k ），外切（ 3 k ），相交（ 2 k ），內切（ 1 k ），內離 0 k 共五種可能值 12. 兩拋物線 2 2 ax y 及 2 4 bx y 與坐標軸恰交於四點， 若這四點為一個面積為12的鳶形的頂點，則 b a 之值為何？ (A)1 (B ) 5 .
8、 1 (C )2 (D ) 5 . 2 (E) 3。 【2015AMC12A】 答： (B) 解： 4 2 2 2 bx y ax y b a x 6鳶形面積 12 2 1 6 6 2 b a 2 3 a 13. 某聯盟中有12支球隊舉行循環賽，每一隊都恰與其他各隊比賽一場， 每一場比賽的結局可能是一隊獲勝或兩隊平手，獲勝者得積分 2分， 平手者各得積分1分，關於12隊的積分紀錄，下列哪一個敘述是不對的？ (A)一定有偶數隊其積分為奇數 (B)一定有偶數隊其積分為偶數 (C)不可能有兩隊 0分 (D)所有積分的總和至少100分 (E)最高的積分至少有12分。 【2015AMC12A】 答： (
9、E) 解： 當各隊均以平手收場，則各隊均為 11 分 14. 若 1 log 1 log 1 log 1 4 3 2 a a a ，則a的值為多少？ (A) 9 (B )12 (C ) 18 (D )24 (E )36。 【2015AMC12A】 答： (D) 解： 原式 1 24 log 4 log 3 log 2 log a a a a 24 a 15. 若將 4 26 5 2 123456789 用小數表示，則此數在小數點後最少有幾位數？ (A)4 (B )22 (C )26 (D )30 (E ) 104。 【2015AMC12A】 答： (C) 解： 原式 26 22 26 26 2
10、2 10 5 123456789 5 2 5 123456789 表小數點後有 26 位 16. 四面體ABCD中， 5 AB 、 3 AC 、 4 BC 、 4 BD 、 3 AD ，且 2 5 12 CD ， 試問此四面體的體積為多少？ (A) 2 3 (B ) 5 2 (C ) 5 24(D ) 3 3 (E ) 2 5 24 。 【2015AMC12A】 答： (C) x y 4 , 0 2 2 ax y 4 2 bx y 2 , 0 0 , 6 b a 0 , 6 b a解： 取AB上點H ，使 90 AHD AHC 5 12 DH CH 又 2 5 12 CD ，故 CDH 面積
11、25 72 2 1 5 12 2 故四面體體積 5 24 3 1 5 25 72 17. 八個人圍一圓桌而坐，每人都握有一枚公正的硬幣，八個人都投擲硬幣後，若出現正面 則站起來，若出現反面則仍坐著，試問沒有相鄰的兩人都是站立的機率為多少？ (A) 256 47(B) 16 3(C) 256 49(D ) 128 25(E ) 256 51 。 【2015AMC12A】 答： (A) 解： 樣本空間 256 2 8 事件 47 2 4 8 8 8 8 1 4 3 1 2 3 8 3 2 2 8 2 1 站立 人 人站立 人 另 人相連 人相連 人站立 人相連 站立 人 站立 無人 C C 機率
12、256 47 18. 求滿足方程式 0 2 2 a ax x 的解均為整數的所有可能a之和為多少？ (A) 7 (B)8 (C)16 (D ) 17 (E)18。 【2015AMC12A】 答： (C) 解： a 且 a 2 0 2 4 2 2 1 2 4 1 2 4 2 4 2 1 4 2 1 2 5 4 或 4或 5 或 4 5 4 a 或 4或 5 或 4 9 a 或8或 1 或 0 總和為16 19. 對於某些正整數p，存在四邊形ABCD滿足各邊的邊長均為正整數，周長為p， B 與 C 均為直角， 2 AB ，且 AD CD ，試問有多少個不同的 2015 p ？ (A) 30 (B)
13、 31 (C) 61 (D )62 (E )63。 【2015AMC12A】 答： (B) 解： x CD AD ， y BC ， 2 AB ， N y x , 故 2 2 2 2 x y x 1 4 2 x y 為完全平方，令 1 2 t x ， t y 2 ， N t 則 2015 3 2 2 2 2 2 t t y x P 1006 1 t t 31 1 t 20. 設T 與 T 是兩個不全等的等腰三角形，它們有相同的面積與相同的周長。 若三角形T 的三邊長分別為5、5與8；而三角形 T 的三邊長分別為a、a與b， 則下列哪一個數最接近b？ (A) 3 (B) 4 (C)5 (D) 6
14、(E ) 8。 【2015AMC12A】 答： (A) 解： T 之面積 12 2 1 3 8 ，周長 18 8 5 5 故T 之面積 12 2 1 2 2 2 b a b 故T 之周長 18 2 b a 2 18 b a 則 12 2 1 2 2 18 2 2 b b b 0 64 9 2 3 b b 0 8 8 2 b b b 2 33 1 b 或 8 其中 T 8 ， 2 33 1 不合，故 37 . 3 2 33 1 b 21. 一個半徑為r的圓通過橢圓 16 16 2 2 y x 的兩個焦點，且與橢圓交於四點， 若所有可能r的範圍為一個區間 b a , ，則 b a 之值為何？ (A
15、) 4 2 5 (B) 7 17 (C) 3 2 6 (D) 8 15 (E)12。 【2015AMC12A】 答： (D) 解： 橢圓 1 1 16 2 2 y x 之中心 0 , 0 ， 4 a ， 1 b ， 15 c 故焦點 0 , 15 、 0 , 15 ，短軸頂點 1 , 0 、 1 , 0 (i) 當圓以 0 , 15 、 0 , 15 為直徑端點時， 15 r (ii) 當圓過 0 , 15 、 0 , 15 、 1 , 0 時， 8 r 故 8 , 15 , b a 22. 對每一個正整數n，設 n S 表所有由文字A或B所形成的長度為n（即n個文字排列） 的序列，每一個序列
16、不能有超過 3個A連在一起，也不能有超過 3個B連在一起，試問 2015 S 除以12餘數為何？ (A) 0 (B )4 (C )6 (D ) 8 (E ) 10。 【2015AMC12A】 答： (D) 解： 令 n A 表長度n，而末位為A之序列個數 令 n B 表長度n，而末位為B之序列個數 基於將條件對等，故 n B n A 且 n B n A n S ，故 n B n A n S 2 2 又不能有超過 3個A，或 3個B連續 故 3 2 1 n B n B n B n A 而 3 2 1 n A n A n A n B 則 3 2 1 n A n A n A n A （遞迴） 即 n
17、 A 1， 2， 4， 7，13， 24， 44，81，149， 274，504， 即 n A 除以 6的餘數 3 2 1 n A n A n A 除以 6的餘數（遞迴） 1，2，4，1，1，0，2，3，5，4，0，3，1， 4，2，1，1，4，0，5，3，2，4，3，3，4， 4 ，5，1，4，4，3，5，0，2，1，3，0，4， 1，5，4，4，1，3，2，0，5，1，0，0，1， 1 ，2，4，1，1，0，2，3，5，4，0，3，1， 4，2，1，1，4，0，5，3，2，4，3，3，4， 每 52項 出現循環 4 ，5，1，4，4，3，5，0，2，1，3，0，4， 1，5，4，4，1，3
18、，2，0，5，1，0，0，1， 則 2015 S 除以12餘數，等同 2015 A 除以 6餘數的兩倍 亦等同 39 A 除以 6餘數的兩倍 8 2 4 23. 設S是一個邊長為1的正方形，在S 的邊界上任選兩點， 若這兩點連線段長至少是 2 1 的機率為 c b a ，其中a、b、c均為正整數， 且 a、b、c的最大公因數為1，則 c b a ？ (A)59 (B )60 (C )61 (D )62 (E )63。 【2015AMC12A】 答： (A) 解： 將正方形邊長（已知為 1） 分成八段，並以A段為主 考量第 2點可能所在區段 (i) 當第 2點 G F E D C , , , ,
19、 兩點距離必 2 1 ，機率 8 5(ii) 當第 2點 B ，兩點距離 2 1 之機率為 16 1 2 1 1 0 8 1 (iii)當第 2點 H ，兩點距離 2 1 之機率為 32 8 1 4 1 8 1 24. 考慮所有在區間 2 , 0 中可以表示成 d n 形式的有理數所組成的集合， 其中n與d 為整數且 5 1 d 。在此集合中任取兩個有理數a、b， 則 4 sin cos b i a 為實數的機率為何？ (A) 50 3(B ) 25 4(C ) 200 41(D ) 25 6(E ) 50 13 。 【2015AMC12A】 答： (D) 解： Q d n ， 5 1 d 3
20、 5 , 3 4 , 3 2 , 3 1 , 2 3 , 2 1 , 1 , 0 d n故 5 9 , 5 8 , 5 7 , 5 6 , 5 4 , 5 3 , 5 2 , 5 1 , 4 7 , 4 5 , 4 3 , 4 1 , 3 5 , 3 4 , 3 2 , 3 1 , 2 3 , 2 1 , 1 , 0 , d n d n b a 則樣本空間 400 20 20 而事件（ 4 sin cos b i a 之虛數 0 即 0 sin cos 4 sin cos 4 3 3 b a b a 即 0 sin cos sin cos 4 2 2 b a b a ） (i) 0 cos a
21、 ，有 2 3 , 2 1 a 兩種，此時b有 20 種 0 sin b ，有 1 , 0 b 兩種，此時a有 20 種 0 cos a 且 0 sin b ，有 4 2 2 種 A B F E D C G H 合計 32 8 1 16 1 8 5 32 26 (ii) 1 sin cos 2 2 b a ，有 4 2 2 種 2 2 sin cos 2 2 b a ，有 16 4 4 種 合計 96 16 4 4 40 40 種 機率 25 6 400 96 25. 如圖所示，一些圓在上半平面，它們都與x軸相切。 第 0層 0 L 是由兩個大圓所組成的集合，它們彼此外切，且半徑分別為 2 7
22、0 與 2 73 。 對於 1 k ，第k層 k L 是由 1 2 k 個圓組成的集合，而這些圓是依照以下方法產生： 將 0 L 、 1 L 、 1 k L 中的圓（以 j k j L U 1 0 表之）依照它們與x軸相切的順序排列時， 每兩個接續的圓中間，都新增一個圓與此兩圓外切。令 j j L U S 6 0 ，對每一個圓C， 以 C r 表示其半徑。試問 S C C r 1 之值為何？ (A) 35 286(B) 70 583(C) 73 715(D) 14 143(E) 146 1573 。 【2015AMC12A】 答： (D) 析： 預備知識 CQ CP BR 2 2 1 2 2
23、1 r r r r 2 3 1 2 3 1 r r r r 2 3 2 2 3 2 r r r r 3 2 3 1 2 1 4 4 4 r r r r r r 1 2 3 1 1 1 r r r 解： 0 L ：有兩個圓： 73 1 70 1 1 1 1 0 0 b a C r C r C r1 L ：有1個圓： 73 1 70 1 1 1 1 1 0 0 1 b a C r C r C r C r2 L ：有 2個圓： b a C r C r C r 2 2 1 1 1 b a C r C r C r C r 0 1 1 0 1 1 1 1 73 1 70 1 3 3 L ：有 4個圓： d c b a C r C r C r C r C r 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 1 C r C r C r C r a a a b b b C r C r C r C r 0 2 2 1 1 1 1 1 73 1 70 1 9 4 L ： 73 1 70 1 27 1 C r5 L ： 73 1 70 1 81 1 C r6 L ： 73 1 70 1 243 1 C r所求 73 1 70 1 243 81 27 9 3 1 1 14 143 73 70 143 365
