1、课 题： 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教学目的：1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4 掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1 课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的
2、 5 个重要性质；平面向量数量积的运算律教学过程：一、复习引入： 1平面向量的坐标运算若 ， ，则 ，1(,)axy2(,)bxyab),(2121yx，1,)y若 ， ，则),(1yxA),(2yB21Ax2 ( )的充要条件是 x1y2-x2y1=0ab0二、讲解新课：1力做的功：W = | | |cos，是 与 的夹角FsFs2两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 ， ，则 （ ）叫abOAaBb与 的夹角ab说明：（1）当 时， 与 同向；（2）当 时， 与 反向；ab（3）当 时， 与 垂直，记 ；ab（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围 01802平面向量
3、数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则数ab量| | |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | | |cos，ababab（ ）并规定 与任何向量的数量积为 00探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1 ）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定（2 ）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 ，而 abab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能b省略，也不能用“”代替（3 ）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 ，且 =0，不能ab推出 = 因
4、为其中 cos有可能为 0b（4 ）已知实数 a、b、c(b 0)，则 ab=bc a=c但是 = = 如右图： = | | |cos = | |OA|， = | | |cos = | |OA|bbb = 但 aba(5)在实数中，有 (aa)c = a(ac)，但是( ) ( )ca显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共ac线3 “投影”的概念：作图定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影bba投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |bC4
5、数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积abbabc5探究：设 、 为两个非零向量 ab1 = 02当 与 同向时， = | | |；当 与 反向时， = | | |abab特别的 = | |2 或a|3 | | | | |b6.平面向量数量积的运算律1交换律： = a证：设 ， 夹角为，则 = | | |cos， = | | |cos bbaba = 2数乘结合律：( ) = ( ) = ( )a证：若 0，( ) = | | |cos， ( ) = | | |cos， ( ) = | |babab|cos，b若 0，( ) =| | |cos() = |
6、| |(cos) = | | |cos，a( ) = | | |cos，b( ) =| | |cos() = | | |(cos) ab= | | |cosab3分配律：( + ) = + cabc在平面内取一点 O，作 = , = ， = ，ABOCc + （即 ）在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和，abcab即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2 a| | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2ccc ( + ) = + 即：( + ) = + abbbabc说明：（1）一般地，( ) （ ）abcc（2） ， c
7、0ab（3）有如下常用性质： ，（ ） （ ） abdcdcbd( ) ab三、讲解范例：例 1 已知|a |=5，|b|=4，a 与 b 的夹角 =120 ，求 ab.解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= -10例 2 已知 ， ，当 ， ， 与 的夹角是 60时，分别求 解：当 时，若 与 同向，则它们的夹角 ，ab cos036118；若 与 反向，则它们的夹角 180， cos18036（-1）18；ab当 时，它们的夹角 90， ；ab当 与 的夹角是 60时，有 cos6036 9ab21例 3 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图： ABCD 中， ， ， =ABDCABCAD| |2=C2|而 = BD| |2=2|ABAD| |2 + | |2 = 2 = C2222|BCDA四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记
