1、北京大学 2014-2015 学年第一学期研究生期末考试试题 A (闭卷考试)课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位一、填空题(每空 3分，共 24分) (1) 设 ，则 A 的奇异值为 。12A(2) 设 为真值 的近似值，则 有 位有效数字。0.375x0.13759Txx(3) 设数据 的绝对误差为 0.002，那么 的绝对误差约为 _ 123, 123_。(4) 是以 为节点的拉格朗日插值基函数，)x(l,)(l,xn10 01,()nx则 。20()(nkl(5) 插值型求积公式 的求积系数之和 。200()()nkxfdAfx0nkA其中 为权函数， 。21（6）已知 ，求
2、Householder 阵 H 使 ，其中 。(3,4)(,)TTy xyRH= 。(7) 数值求积公式 的代数精度为 。1211()()(0)32fxdff _(8) 下面 Matlab程序所求解的数学问题是 。（输入向量 x , 输出 S）x=input(输入 x：x=);n=length(x);S=x (1); for i=2:nif x (i)S，S=x (i);else,continue;end endS二、(12 分) （1）证明对任何初值 ，由迭代公式0xR124cos,01,2.3kkxx所产生的序列 都收敛于方程 的根。0k123cos0x（2）证明它具有线性收敛性。三、 （
3、12 分） （1）用辛浦生公式计算积分 的近似值；40xed（2）若用复化辛浦生公式计算积分 ，问至少应将区间 0，4多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？四、 （12 分） 已知数据表 2103.5.iixyw（1）构造关于点集和权的正交函数组 ；01(),x（2）利用 拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差 。01(),x 2五、(12 分) 利用 Gauss 变换阵，求矩阵 的 LU 分解。 （要求写出分213A解过程）六、(10 分) 已知求解线性方程组 Ax=b 的分量迭代格式1(1)() ()(),1,2i nkkkkii jijixbaxin （ ）（1）试导出其矩阵迭代格式及迭
4、代矩阵；（2）证明当 A 是严格对角占优阵， 时此迭代格式收敛。1七、(10 分) 用插值极小化方法求 在1，2上的二次插值多项式 ，xef)( )x(2P并在1，2 上估计误差。(已知 Chebyshev 多项式 的三个零点 )(tT3 860t860t210 .,.八、(8 分)已知求解常微分方程初值问题 的数值格式为0()yxfy210()()1()()nnnnhyfxyfxyfxy问此数值格式是几阶格式？北京大学 2014-2015 学年第 一 学期研究生期末考试试题标准答案 A (闭卷考试)课程名称: 数值分析 一、 填空题(每空 3分，共 24分)（1） 3 （2）3 （3）0.0
5、06 （4） 2x（5） （6） （7）3 84-553H或（8）求向量 x 的最小值二、(12 分) 记 ，则 。2()4cos32()sin3x（1）先考虑区间3，5，当 时， ，,5()4cos3,5x。故对任意初值 ，由迭代公式2()sin13x03,x产生的序列 都收敛于方程 14co,0,2.kk 0k的根。 (6分)23sx（2）对任意初值 ，有 ，将此 看成新的迭代初值，0xR1024cos3,5x1x则由（1）可知，由迭代公式 产生的序列 都收敛1,2.3kk0k于方程 的根。(2 分)23cos0x（3） (4分)*1 1* *22(cos)sin()332in,lmlsi
6、13kk kkxkxx 此格式线性收敛性 三、 （12 分） （1） (5分) 40240() 56.10296xede（2） (4)(),xff由 54() (4)534|()| | |8028012nbaRShfne(5分)1.37至少将区间0，4 15 等分才能保证计算结果有五位有效数字 . (2分)四、 （12 分） （1）首先构造关于点集和权的首一正交多项式 (),01,ix显然 ，设 ， 0()x10()()xax由 正交得10与 0,21()(故有 。 (4分) 1()x（2）设 ，则201()pax0 10 1(), (),9/2/21,4yxyaa(4分)1()()42px2
7、 20011|,(),(Yaxax(4分)2296()()0.548五、(12 分) (3分)(2)1 102051,2300LLAA(3分)(2) (3)21105,003/15021LLAA(3分)(2)31 00051,03/512/33LLAU(3分)1201,200513LALU六、(10 分) (1) 1(1)() ()(),1,2i nkkkkii jijaxbaxin （ ）()()(1)()1()(1) 1)() )ik kkDLUDLbxxL （(6分)1()()kkxBgBgDLb迭 代迭 矩 阵右 端 向 式量代 法 的 矩 阵 形(4分)21 A（ ） 时 ， 迭 代
8、 格 式 为 Gaus-eidl迭 代 格 式 ， 当 严 格 对 角占 优 时 ， -il迭 代 格 式 收 敛 。七、(10 分) 已知 Chebyshev 多项式 的三个零点 ,)(tT3 860t860t210 .,.作变量代换 ,得三个插值节点)(xt21 k321k,),(x.930.5.06721, .147xf.xf.34f(x20 )(,)(,)构造差商表 一阶差商 二阶差商 ()iif1.067.340521.792.9.80.13牛顿插值多项式( 6 分)22P(x)0.34.7(x.6).5(x.670)(1.515018234 019216ettmax216efR 32101t-332 .)()()()()()( ( 4 分)八、(8 分) 21112 233()()1()() 4()()()()()()4nnnnnnnnnnhyfxyfxyfxyhE hyxyxOhyxyxOh 分此 格 式 二 阶 精 度 。 分
