1、 近世代数试题第 1 页 共 7 页近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题 5 分，共 25 分)1、在整数加群（Z，）中，下列那个是单位元（ ）.A. 0 B. 1 C. 1 D. 1/n，n 是整数2、下列说法不正确的是（ ）.A . G 只包含一个元 g，乘法是 ggg。G 对这个乘法来说作成一个群;B . G 是全体整数的集合，G 对普通加法来说作成一个群;C . G 是全体有理数的集合，G 对普通加法来说作成一个群;D. G 是全体自然数的集合，G 对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合 M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性
2、D. 封闭性4. 对整数加群 Z 来说，下列不正确的是（ ）.A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. 1 是其生成元. D. Z 是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（ ） 。A. 群 G 是指一个集合.B. 环 R 是指一个集合.C. 群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，近世代数试题第 2 页 共 7 页逆元存在.二. 计算题(每题 10 分，共 30 分)1. 设 G 是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中 G 中下列各个元素 ，113,00c
3、dcd的阶.2. 试求出三次对称群3(1),3),(1),(32S的所有子群.近世代数试题第 3 页 共 7 页3. 若 是环 的惟一左单位元，那么 是 的单位元吗？若是，eReR请给予证明.三. 证明题(第 1 小题 10 分，第 2 小题 15 分，第 3 小题 20 分，共 45 分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程近世代数试题第 4 页 共 7 页2.x2 设 是正有理数乘群， 是整数加群. 证明：GG:2nbaA是群 到 的一个满同态，其中 是整数，而 .,(,2)1ab近世代数试题第 5 页 共 7 页3 设 是环 的一个子环 .证明: 如果 与 都有单位元，SRRS但不相
4、等，则 的单位元必为 的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008 年 11 月一、单项选择题(每题 5 分，共 25 分)1. A 2. D 3. D 4 . A 5 . C近世代数试题第 6 页 共 7 页二. 计算题(每题 10 分，共 30 分)1. 解：易知 c 的阶无限， (3 分)d 的阶为 2. （3 分）但是 （2 分）1,0cd的阶有限，是 2. （2 分）2. 解： 的以下六个子集3S123(),(1),(1),HH（7 分）45 63,3,2,S对置换乘法都是封闭的，因此都是 的子集. （3 分）3S3. 解： 是 的单位元。eR事实上，任取 则因 是 的左单位元，故,a
5、beR()() ,ab即 也是 的左单位元。故有题设得e,.ae即 是 的单位元.R三、证明题(每小题 15 分共 45 分)1 证明： 设 是 的单位元，则 显然满足所说的方程 （3 分）eGe另外， 设 且 ，则有a2近世代数试题第 7 页 共 7 页即 （5 分）121,a,ae即只有 满足方程 （2 分）e2.x2. 证明： 显然是 到 的一个满射 （3 分）G又由于 当 时有(,)1,()abcd（4 分）2且 （6 分）()().nmnmbacbda故 是群 到 的一个同态满射。 （ 2 分）G3 证明： 分别用 和 表示 与 的单位元，且 ，eRSe于是 不是 的单位元。 （3 分）因此，存在 ，使0a或 （5 分）ea如果 ，则 ，且ae（4 分） ()0,即 是 的（右）零因子。 （3 分）R同理，如果 则 是 的（左）零因子. （5 分）,eR
