1、 1 / 10 第二十二 届华罗 庚 金杯少年 数学邀 请 赛决赛 试题A(小学高年级 组) 详细解答 一、 填空题 （每小题 10 分， 共 80 分） 1. 用x 表示不超过 的最大整数，例如：3.14=3，则 2017 3 11 + 2017 4 11 + 2017 5 11 + 2017 6 11 + 2017 7 11 + 2017 8 11 的值为 。 2. 从 4 个整数中任意选 出 3 个，求出它们的 平均值，然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样 可以得 到 4 个数：8,12, 10 2 3 和9 1 3 ， 则原来给定的 4 个整 数的和 为 。 3. 在 33 的
2、网格中（每 个格子是 11 的正方 形）放两枚相同的棋子， 每个格子 最多放一 枚棋 子，共有 种不 同 的摆放方 法。 （如 果两 种 方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法） 。 4. 甲从 A 地出发去找乙， 走了 80 千米后达到 B 地，此时，乙已于半小时前离开 B 地 去了C 地， 甲已离开A 地2 小时， 于是， 甲以 原来速度的2 倍去C 地， 又经过了2 个小时后，甲乙两人同时到达C 地，则乙的速度是 千米/小时。 5. 某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组， 已知两个小组都参加的人数是只参加书法小 组人数的 2 7 ， 是只参加朗诵小组人数的 1 5 ， 那么书法小组
3、与朗诵小组的人数比是 。 6. 右图中， ABC 的面积为100 平方厘米， ABD 的面积为72 平方厘米。 M 为CD 边的中点， MHB=90。 已知 AB=20 厘米， 则MH 的长度为 厘米。 7. 一列数 a 1 , a 2 , ,a n ,记S(a i )为 a i 的所有数 字之和，如S(22)=2+2=4. 若 a 1 =2017, a 2 =22, a n =S(a n-1 )+S(a n-2 ),那么 a 2017 等于 。 2 / 10 8. 如右图， 六边形的六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的 时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于 A,B,C,D,E,F
4、 顶点 处。将 六个 汉字 在顶 点 处任意 摆放 ，最 终结 果 是每个 顶点处 仍各有 一个 汉字 ，每 个 字在开 始位 置的 相邻 顶 点处， 则不同 的摆放方法共有 种。 二、 解答下 列各题（ 每小 题 10 分，共 40 分，要求 写出简 要 过程 ） 9. 平面上有5 条不同的直 线，这 5 条直线共形 成n 个交点，则n 有多 少个不同的数 值？ 10. 某校给学生提供苹果、 香蕉和梨三种水果，用 作课间加餐。每名学生 至少选择一 种， 也可以多选。 统计 结果显示：70%的学生选择了苹果，40%的学生选择了香蕉， 30%的学生选择了梨。那么三种水果都选的学生数占学生总数至多
5、是百分之几？ 11. 箱子里面有两种珠子， 一种每个19 克， 另一种每个17 克， 所有珠子的重量为 2017 克，求两种珠子的数量和所有可能的值。 12. 使 3n+2 5n+1不为最简分数的三位数n 之和等于多少？ 三、 解答下 列各题 （ 每小 题 15 分，共 30 分，要求 写出详细过程 ） 13. 班上共有60 名同学， 生日记为某月某号。 问每个同学两个同样的问题： 班上有几 个人与你生日的月份相 同？班上有几个人与你 的生日的号数相同（比 如生日为 1 月12 日与12 月12 日 的号数是相同的） 。结果发现，在所得到的回答中包含了由 0 到14 的所有整数，那么，该班至少
6、有多少个同学生日相同？ 14. 将1 到9 填入右图的网格中， 要求每个格子填一个整数， 不 同格子填的数字不同， 且每个格子周围的格子 （即与该格子 有公共边的格子） 所填数字之和是该格子中所填数字的整数 倍。 已知左右格子已经 填有数字 4 和5， 问： 标有字母x 的 格子所填的数字最大是多少？ 3 / 10 第二十二 届华罗 庚 金杯少年 数学邀 请 赛决赛 试题A( 小学高年级 组) 详细解答 一、 填空题 （每小题 10 分， 共 80 分） 1. 用x 表示不超过 的最大整数，例如：3.14=3，则 2017 3 11 + 2017 4 11 + 2017 5 11 + 2017
7、 6 11 + 2017 7 11 + 2017 8 11 的值为 。 【解】 ： 2017 11 = 183 + 4 11 2017 11 3 = 183 3 + 4 11 3= 183 3 + 1 类似地 ，可知 ： 2017 11 4= 183 4 + 1 ； 2017 11 5= 183 5 + 1 2017 11 6= 183 6 + 2 ； 2017 11 7= 183 7 + 2 ； 2017 11 8= 183 8 + 2 原式= 183 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2=6048 【答】 ：所 求值 为 6048。 2
8、. 从 4 个整数中任意选 出 3 个，求出它们的平 均值，然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样可以得到 4 个数：8,12, 10 2 3 和9 1 3 ，则原来给定的 4 个整数的和 为 。 【解】 ：假设 原来 四个 整数分 别为 a,b,c,d,则按 照题意 所 求的 四个 数的 表达 式分 别 为： a + b + c 3 + d, a + b + d 3 + c a + c + d 3 + b, b + c + d 3 + a a+b+c 3 + d + a+b+d 3 + c + a+c+d 3 + b + b+c+d 3 + a = 3 （a+b+c+d ） 3 + (
9、a + b + c + d) = 2(a + b + c + d) a + b + c + d = 1 2 8 + 12 + 10 2 3 + 9 1 3 = 1 2 (20 + 20) =20 【答】 ：原 来给 定的 4 个整 数的和 为 20 。 4 / 10 3. 在33 的网格中 （每个格子是11 的正方形） 放两枚相同的棋子， 每个格子最多放一枚棋 子，共有 种不同 的摆放方法。 （如果两 种方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法） 。 【解】 ：分 三种 情形 ，共 有 10 种不 同摆 法，如 下图 ： （1 ） 两个点 都在 第一 行； （2 ）两 个点 不在 同一
10、 行但 相邻； （3 ）两 个点 不在 同一 行且 不相邻 ； 【答】 ：共 有 10 种不 同的 摆放方 法。 4. 甲从 A 地出发去找乙，走了 80 千米后达到 B 地，此时，乙已于半小时前离开 B 地去了C 地，甲已离开A 地2 小时，于是， 甲以原来速度的2 倍去C 地，又经过 了2 个小时后，甲乙两人同时到达C 地，则乙的速度是 千米/小时。 【解】 ：设甲 的速 度为 V 甲 ，乙 的速 度为 V 乙 ，AB 两地 距 离为 SAB ，BC 两地 距离 为 SBC 根据题 意可 知：V 甲=802= 40 ( 千米/ 小时) ，甲 原来 的速度 的 2 倍为 80 (千米/小时)
11、 所以，BC 两 地距 离：SBC=280=160 (千米) 又，乙 从 B 地到 C 地 花了 2.5 小时 ，所 以， 乙的 速度 为： V 乙=SBC2.5=1602.5=64 ( 千米/ 小时) 【答】 ：乙的 速度 为 64 千米/ 小时 。 5 / 10 5. 某校开设了书法和朗诵 两个兴趣小组，已知两 个小组都参加的人数是 只参加书法 小组人数的 2 7 ，是只参加朗诵小组人数的 1 5 ，那么书法小组与朗诵小组的人数比 是 。 【解】 ：设两 个小 组都 参加的 人 数为 单位 1，则 ： 只参加 书法 小组 的人 数为 7 2 ，只参 加朗 诵小 组的 人数 为 5. 参 加
12、书 法小 组的 总人 数为 7 2+1= 9 2 ，参加 朗诵 小组 的 总人数 为 5+1=6 书法 小组 与朗 诵小 组人 数比= 9 2 6=912=3:4 【答】 ：书 法小 组与 朗诵 小 组人数 比 是3:4。 6. 右图中， ABC 的面积为100 平方厘米， ABD 的面积为 72 平方厘米。M 为CD 边的中点， MHB=90。 已知AB=20 厘米，则MH 的长度为 厘米。 【解】 ：作 DE 垂直于 AB 交于 E ，作 CF 垂直 于 AB 交于 F 则：S ABD= 1 2 AB DE, S ABC= 1 2 AB CF S ABD+S ABC= 1 2 AB (DE
13、 + CF) DE、MH 和CF 都是AB 的 垂线， DE MH CF M 是CD 的中 点， MH 是梯 形 EFCD 的 中位 线， 从而有 ： MH= 1 2 (DE + CF)=（S ABD+S ABC ）/AB=(100+72)/20=8.6( 厘米) 【答】 ：MH 的长 度为 8.6 厘 米。 6 / 10 7. 一列数a1, a2, ,an,记S(ai)为ai 的所有数字之和，如S(22)=2+2=4. 若 a 1 =2017, a 2 =22, a n =S(a n-1 )+S(a n-2 ),那么 a 2017 等于 。 【解】 ：根据 题意 ，a 3 =S(a 2 )+
14、 S(a 1 )= S(22)+ S(2017)=4+10=14 a 4 =S(a 3 )+ S(a 2 )= S(14)+ S(22)=5+4=9 ，类似 地 ，我 们可以 算 出： a 5 =14 ，a 6 =14 ，a 7 =10 ，a 8 =6 ，a 9 =7 ，a 10 =13 ，a 11 =11 ，a 12 =6 ，a 13 =8，a 14 =14 ，a 15 =13 ， a 16 =9 ，a 17 =13 ，a 18 =13 ，a 19 =8 ，a 20 =12 ，a 21 =11 ，a 22 =5 ，a 23 =7 ，a 24 =12 ，a 25 =10 ，a 26 =4 ，
15、a 27 =5 ，a 28 =9 ，a 29 =14 ，a 30 =14 ，a 31 =10 ，a 32 =6 从中可 以找 出规 律：从 a 4 项 开 始，每 24 （注 ：28-4=24 ）个 项一次 循环 ，如 下： a 4 = 9 ，a 5 =14 ，a 6 =14 ，a 7 =10 ，a 8 =6 ， a 28 = 9 ，a 29 =14 ，a 30 =14 ，a 31 =10 ，a 32 =6 ， (2017-4) (28-4)=201324=83 余 21 a 2017 = a (4+21) = a 25 =10 【答】 ：a 2017 等于 10 。 8. 如右图， 六边形的
16、六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的 时候 “华罗庚金杯赛” 六个汉子分别位于A,B,C,D,E,F 顶点 处。 将六个汉字在顶点处任意摆放， 最终结果是每个顶点处 仍各有一个汉字， 每个字在开始位置的相邻顶点处， 则不同 的摆放方法共有 种。 【解】 ：若 “华 ”字 确定 了 摆放位 置， 则“ 庚” 和“ 杯”字 的位 置就 确定 了。 若“罗 ”字 确定 了摆 放位 置，则 “金 ”和 “赛 ”字 的位置 就确 定了 。 “华 ”字 和“ 罗” 字各 有两种 摆法 ，且 可以 任意 组合， 不同 的摆 放方 法总 共有： 2 2=4 （种） 。 【答】 ：不同 的摆 放方
17、法总共 有 4 种 。 7 / 10 二、 解答下 列各题 （ 每小 题 10 分，共 40 分，要求 写出简 要 过程 ） 9.平面上有5 条不同的 直线， 这5 条直线共形 成n 个交点， 则n 有多 少个不同的数值？ 【解】 ：在 5 条直 线之 中， 最多的 相互 平行 的直 线数 量可能 有：5 、4 、3 、2 、0 五种 情况 。 若五条 直线 都相 互平 行， 则 n=0; 若四条 直线 相互 平行 ，则 另外一 条直 线与 这 4 条直线 各有 1 个 交点 ，即 n=4 ， 若最多 三条 直线 相互 平行 ，则交 点的 个数 可能 是：6 、7 或 5 ， 依次 如下图 ：
18、 若最多 两条 直线 相互 平行 ，则交 点的 个数 可能 是：4 、6 、8 、7 或 9，依 次如 下图 ： 若没有 直线 相互 平行 ，则 交点的 个数 可能 是：1 、5 、6 、8 或 10 ， 依次 如下 图： 综上所 述， 交点 个数 可能 有：0 、1、4、5 、6 、7、8 、9、10 。 共有9 个不 同的数 值 。 【答】 ：n 有9 种 不同 的数值 。 10. 某校给学生提供苹果、 香蕉和梨三种水果，用 作课间加餐。每名学生 至少选择一 种， 也可以多选。 统计 结果显示：70%的学生选择了苹果，40%的学生选择了香蕉， 30%的学生选择了梨。那么三种水果都选的学生数
19、占学生总数至多是百分之几？ 【解】 ：要想 使吃 三种 水果的 人 数最 多， 则吃 两种 水果 的 人数 均为 0，如 右图 所示 ： 根据题 意， 我们 有： 70% X 40% X 30% X X=100% 解方程 得：X=20% 【答】 ：三种 水果 都选 的学生 数 占学 生总 数至 多为 百分 之 20 。 8 / 10 11. 箱子里面有两种珠子， 一种每个19 克， 另一种每个17 克， 所有珠子的重量为 2017 克，求两种珠子的数量和所有可能的值。 【解】 ：设 19 克的 珠子 有 X 个，17 克 的珠 子有 y 个 ，则：19X17y=2017 根据题 意， 可知 ：
20、x0 且 y0 ，所 以，x 106 ，y 118 19X17y=17(x+y)+2x 而 2017=17118+11=17117+28=17115+62=17113+96=17111+130=17109+164 =17107+198=17105+232= 根据题 意可 知，2x 为 偶数， 且 x 106 ，所 以，2x 小于 212 。 从上式 可以 看出 ，2X 的可 能取值 为：28 、62 、96 、130、164 、198，相 应地 X+Y 的 可能 取值 为：117 、115、113 、111、109、107 。 【答】 ：两 种珠 子的 数量 和 所有可 能的 值为 ：117
21、、115 、113、111 、109 、107。 12. 使 3n+2 5n+1不为最简分数的三位数n 之和等于多少？ 【解】 ：n 是 三位 数， 100 n999 ,(5n+1) (3n+2)=2n 10 即：5n+13n+2 (5n+1) (6n+1)(6n+4)2(3n+2) ，(5n+1)(3n+2)2 用转辗 相除 法求 最大 公约 数，步 骤如 下：(5n+1)(3n+2)=1 余 2n-1; (3n+2)(2n-1)=1 余 n+3; (2n-1)(n+3)=1 余 n-4;(n+3)(n-4)=1 余 7; 因此， 要想(5n+1) 和(3n+2) 的最大 公约 数大 于 1
22、，则(n-4) 必 须是 7 的倍 数。 满足上 述条 件的 三位 数 n 有：102,109,116 ，,991,998 它们的 和为 ：102+109+116+998=(102+998)2(998-102)7+1=70950 【答】 ：所 有满 足条 件的 三 位数 n 之和 等于 70950 。 9 / 10 三、 解答下 列各题 （ 每小 题 15 分，共 30 分，要求 写出详细过程 ） 13. 班上共有60 名同学， 生日记为某月某号。 问每个同学两个同样的问题： 班上有几 个人与你生日的月份相 同？班上有几个人与你 的生日的号数相同（比 如生日为 1 月12 日与12 月12 日
23、 的号数是相同的） 。结果发现，在所得到的回答中包含了由 0 到14 的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 【解】 ： 该班 至少 有 2 个同学 生 日相 同， 分析 如下 ： 如 果 得到 的答 案包含 014， 则 说明 生日 属于 某个月 份或 某个 号数 的人 数应该 为 115 1+2+3+4+15=120=2X60, 根据 抽屉 原理 ， 所有 同学的 生日 的月 份都 必须 属于这 些月 份之 中的某 一个 ，同 时也 必须 属于这 些号 数的 某一 个。 以下是 某一 种可 能的 情形 ： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 日小计 1 号 1 1 0 0 0 0
24、 2 2 号 0 1 2 0 0 0 3 3 号 2 0 0 2 0 0 4 4 号 2 2 2 0 0 0 6 5 号 2 2 1 2 0 0 7 6 号 2 2 2 2 0 0 8 7 号 2 2 2 2 1 0 9 8 号 2 2 2 2 2 0 10 9 号 2 2 2 2 2 1 11 月小计 15 14 13 12 5 1 60 【答】 ：该班 至少 有两 位同学 生 日相 同。( 下 一题 转下一 页) 10 / 10 14. 将1 到9 填入右图的网格中，要求每个格子填一个整数，不 同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子 有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填
25、数字的整数 倍。已知左右格子已经填有数字4 和5，问：标有字母x 的 格子所填的数字最大是多少？ 【解】 ：根 据题 意可 知， 所 有格子 里面 的数 字之 和 为 45 ， 因此 ，存 在一 个正 整数 K ，使 得： K*x=45-4-5-x 即(K+1)x=36， 注 意： 此处 K+1 为 正整 数。 X 可 能的 取值 从大 到小依 次 为：9 、6、4、3 、2 、1。 假定X 周边 6 个格 子里 面的 数 字依 次为 a 到 f, 如右图 所 示。 下面分 情况 讨论 ： （1） 若x=9, 则a+b=4 或8（因为 a 和b 不能 等于 4 、9 ，所 以 a+b 不可 能等于 12 ） 若a=1,b=3,则可 以推 导出：c=7,d=2,e=8,f=6, 但这 样的话 ，f+9+d+5=22,不是 e 的整 数 倍，所 以， 这种 情况 不能 成立； 若a=1,b=7,则c 无法 取满足 题 设条 件的 数值 。 综上分 析，x 不 能等于 9。 （2） 若x=6, 可能 的组 合如 右图 所示： 综合上 述分 析，x 的 最大值 为 6 。 【答】 ：标有 字母x 的格 子所 填 的数 字最 大是 6 。
