1、单元质量评估(四)第四讲（120 分钟 150 分）一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(n+3)= (nN +)时,第一步验证 n=1 时,左边应取的项是 ( )A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+42.(2013佛山高二检测)设 S(n)= + + + ,则 ( )A.S(n)共有 n 项,当 n=2 时,S(2)= +B.S(n)共有 n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + +C.S(n)共有 n2-n 项,当 n=2 时,S(2)= + +D.S(n)
2、共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + +3.设凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1)为 ( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-24.设 0 (nN +)成立时,起始值至少应取( )A.7 B.8 C.9 D.1011.若 k 棱柱有 f(k)个对角面,则 k+1 棱柱的对角面的个数为 ( )A.2f(k) B.f(k)+k-1C.f(k)+k D.f(k)+212.用数学归纳法证明 +cos+cos3+cos(2n-1)= (k,kZ,nN +),在验证 n=1 时,左边计算所得的项是 (
3、 )A.B. +cosC. +cos+cos3D. +cos+cos2+cos3二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上)13.观察下式:1=1 2;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;,则可得出第n 个式子为 .14.(2013丹东高二检测)设 f(n)= ,用数学归纳法证明 f(n)3.在“假设 n=k 时成立”后,f(k+1)与 f(k)的关系是 f(k+1)=f(k) .15.已知 1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c 对一切 nN +都成立,那么 a= ,b= ,c=
4、.16.有以下四个命题:(1)2n2n+1(n3).(2)2+4+6+2n=n2+n+2(n1).(3)凸 n 边形内角和为 f(n) =(n-1)(n3).(4)凸 n 边形对角线条数 f(n)= (n4).其中满足“假设 n=k(kN +,kn 0)时命题成立,则当 n=k+1 时命题也成立.”但不满足“当 n=n0(n0是题中给定的 n 的初始值)时命题成立”的命题序号是 .三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)求证:两个连续正整数的积能被 2 整除.18.(12 分)证明:tantan2+tan2tan3+tan(
5、n-1)tann=-n(n2,nN +).19.(12 分)(2013盐城高二检测)数列a n满足 Sn=2n-an(nN +).(1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.20.(12 分)设函数 fn(x)= + x+ x2+ xn-2(nN,n2),当 x-1,且 x0时,证明:f n(x)0 恒成立.21.(12 分)(能力挑战题)在平面内有 n 条直线,每两条直线都相交,任何三条直线不共点,求证:这 n 条直线分平面为 个部分.22.(12 分)(能力挑战题)已知 y=f(x)满足 f(n-1)=f(n)-lgan-1(n2,n
6、N),且f(1)=-lga,是否存在实数 ,使 f(n)=(n 2+n-1)lga,对任意 nN +都成立?证明你的结论.答案解析1.【解析】选 D.因为 1+3=4,所以左边应取的项是 1+2+3+4.2.【解析】选 D.S(n)共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + + .3.【解析】选 C.凸 n+1 边形的对角线的条数等于凸 n 边形的对角线的条数,加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n-2)条,再加上原来有一边成为对角线,共有 f(n)+n-1 条对角线,故选 C.4.【解析】选 B.a1=2cos,a 2= =2cos ,a3= =2cos ,猜想an=2cos
7、 .5.【解析】选 D.由假设 a4k能被 4 整除,则当 n=k+1 时,应该证明 a4(k+1)=a4k+4能被 4 整除.6.【解析】选 D.由已知得 k=2,4,6,2000 时命题成立.故排除 A,B,C,应选 D.7.【解析】选 B.偶数 k 的后继偶数为 k+2,故应再证 n=k+2 时等式成立.【误区警示】解答本题易忽视 k 的限制条件:k2 且为偶数,而错选 A.8.【解析】选 A.由 34(k+1)+1+52(k+1)+1=8134k+1+2552k+1+2534k+1-2534k+1=5634k+1+25(34k+1+52k+1),故选 A.9.【解析】选 D.第 k 个
8、偶数应是 2k,所以应假设 n=2k 时,命题成立,再证n=2(k+1)时也成立.10.【解析】选 B.原不等式可化为 ,即 2 ,即 2- ,所以 ,即 ,所以 n-16,故 n7,n 的最小值为 8.【拓展提升】应用数学归纳法时第一步应注意的问题(1)用数学归纳法证明某命题对于全体正整数都成立时,应取 n0=1.(2)用数学归纳法证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时,要根据题目要求确定 n0的值.11.【解析】选 B.如图所示是 k+1 棱柱的一个横截面,显然从 k 棱柱到 k+1 棱柱,增加了从 Ak+1发出的对角线 k-2 条,即相应对角面 k-2 个,以及
9、A1Ak棱变为对角线(变为相应的对角面).故 f(k+1)=f(k)+(k-2)+1=f(k)+k-1.12.【解析】选 B.当 n=1 时,左边最后一项为 cos(21-1)=cos,即左边所得项是 +cos.13.【解析】各式的左边是第 n 个自然数到第 3n-2 个连续自然数的和,右边是2n-1 的平方,故可得出第 n 个式子是:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1) 2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1) 214.【解析】当 n=k 时,f(k)= ;当 n=k+1 时,f(k+1)= ,所以 f(k)应乘 .答案: 15.【解析】取 n=1,
10、2,3 得解得 a= ,b= ,c= .答案: 16.【解析】当 n 取第一个值时经验证(2),(3),(4)均不成立,(1)不符合题意,对于(4)假设 n=k(kN +,kn 0)时命题成立,则当 n=k+1 时命题不成立.所以(2)(3)正确.答案:(2)(3)17.【证明】设 nN +,则要证明 n(n+1)能被 2 整除.(1)当 n=1 时,1(1+1)=2,能被 2 整除,即命题成立.(2)假设 n=k(k1,kN +)时,命题成立,即 k(k+1)能被 2 整除.那么当 n=k+1 时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),由归纳假设 k(k
11、+1)及 2(k+1)都能被 2 整除.所以(k+1)(k+2)能被 2 整除.故 n=k+1 时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对一切 nN +都成立.18.【证明】(1)当 n=2 时,左边=tantan2,右边= -2= -2= -2= = =tantan2=左边,等式成立.(2)假设当 n=k(k2,kN +)时等式成立,即tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank= -k.当 n=k+1 时,tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank+tanktan(k+1)= -k+tanktan(k+1)= -k= 1+tan(k+1)tan-k= tan(k
12、+1)-tan-k= -(k+1),所以当 n=k+1 时,等式也成立.由(1)和(2)知,当 n2,nN +时等式恒成立.19.【解析】(1)当 n=1 时,a 1=S1=2-a1,所以 a1=1.当 n=2 时,a 1+a2=S2=22-a2,所以 a2= .当 n=3 时,a 1+a2+a3=S3=23-a3,所以 a3= .当 n=4 时,a 1+a2+a3+a4=S4=24-a4,所以 a4= .由此猜想 an= (nN +).(2)当 n=1 时,a 1=1,结论成立.假设 n=k(k1 且 kN +)时,结论成立,即 ak= ,那么 n=k+1(k1 且 kN +)时,ak+1=
13、Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以 2ak+1=2+ak,所以 ak+1= = = ,这表明 n=k+1 时,结论成立,综上可得 an= (nN +).20.【证明】要证 fn(x)0 恒成立,因为 x-1,且 x0,所以只需证+ x+ x2+ xn1+nx,即证(1+x) n1+nx,当 n=2 时,显然成立.假设当 n=k(k2)时成立,即(1+x) k1+kx,则当 n=k+1 时,有(1+x) k+1=(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,即当 n=k+1 时,不等式也成立.所以对任意 nN,n
14、2,(1+x) n1+nx 成立,即 fn(x)0 恒成立.21.【证明】(1)当 n=1 时,一条直线把平面分成两部分,而 f(1)= =2,所以命题成立.(2)假设当 n=k(k1)时命题成立,即 k 条直线把平面分成 f(k)= 个部分.则当 n=k+1 时,即增加一条直线 l,因为任何两条直线都相交,所以 l 与 k 条直线都相交,有 k 个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这 k 个交点不同于 k 条直线的交点,且 k 个交点也互不相同,如此 k 个交点把直线 l 分成 k+1 段,每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加了 k+1 个平面部分.所以 f(k+1)=f(k)+k+1= +k+1= = .所以当 n=k+1 时命题也成立.由(1)(2)可知当 nN +时,命题成立,即平面上通过同一点的 n 条直线分平面为 个部分.22.【解析】f(n)=f(n-1)+lga n-1.令 n=2,f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.又 f(1)=(-1)lga,
