1、第 6 课时 含有一个量词的命题的否定教学过程一、 问题情境对于下列命题:(1)所有的人都喝水;(2)存在有理数 x,使 x2-2=0;(3)对所有实数 a,都有|a| 0.问题 1 上述命题属于什么命题 ?1解 都是含有量词的命题,(1)(3 )是全称命题,(2 )是存在性命题.问题 2 试对上述命题进行否定 ,你发现有何规律? 2解 命题(1)的否定为“并非所有的人都喝水 ”,换言之为“有的人不喝水 ”.命题否定后, 全称量词变为存在量词,“肯定” 变为“否定”.命题(2)的否定为“并非存在有理数 x,使 x2-2=0”,即“对所有的有理数 x,x2-20”.命题否定后,存在量词变为全称量
2、词,“肯定”变为“ 否定”.命题(3)的否定为“并非对所有的实数 a,都有|a|0”, 即“ 存在实数 a,使|a|0;(3)平行四边形的对边相等;(4)xR,x2-x+1=0.(见学生用书 P11)处理建议 允许学生写出不同的否定形式,但最后要求学生统一到常见的格式.规范板书 解 (1)“所有人都晨练 ”的否定是“有的人不晨练”;(2)“xR,x2+x+10”的否定是“ xR,x2+x+10”;(3)“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等,它的否定是“存在平行四边形,它的对边不相等”;(4)“xR,x2-x+1=0”的否定是“x R,x2-x+10”.题后反思 含有量词的命
3、题的否定应该有统一的形式.【例 2】 写出下列命题的否定:(1)实数的绝对值是正数;(2)矩形的对角线互相垂直. (见学生用书 P12)处理建议 引导学生首先将命题写成含有量词的形式.规范板书 解 (1) 命题“实数的绝对值是正数” 可改写成“ 所有实数的绝对值都是正数”, 此命题是全称命题 ,所以此命题的否定为“存在一个实数的绝对值不是正数” .(2)命题“ 矩形的对角线互相垂直 ”可改写成“所有矩形的对角线都互相垂直”,此命题是全称命题,所以此命题的否定为 “存在一个矩形, 它的对角线不互相垂直”.题后反思 对表面上不含有量词的命题的否定,首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词
4、,确定它是全称命题还是存在性命题.【例 3】 写出下列命题的否定:(1)若 xy=0,则 x=0 或 y=0;(2)若 x2+y2=0,则 x=0,y=0. (见学生用书 P12)处理建议 由学生列出所有可能情况,理解命题的否定的写法.规范板书 解 (1) 命题“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的否定为“若 xy=0,则 x0 且 y0”;(2)命题“ 若 x2+y2=0,则 x=0,y=0” 的否定为“若 x2+y2=0,则 x0 或 y0”.题后反思 “或” 的否定是“且”,“且”的否定是“或”.*【例 4】 (1) 写出命题 p“偶数能被 4 整除”的否定形式“ p”,并判断“ p
5、”的真假;(2)将命题“ 偶数能被 4 整除” 改写成“ 如果那么”的形式,然后再写出它的否命题,并判断否命题的真假.处理建议 注意“命题的否定”和“ 否命题”是两个不同的概念.规范板书 解 (1) 命题 p“偶数能被 4 整除”可写成“ 所有的偶数都能被 4 整除” ,此命题是全称命题,所以此命题的否定 “p”为“ 存在一个偶数不能被 4 整除”,它是真命题.(2)命题“ 偶数能被 4 整除” 可写成“如果一个数是偶数,那么它能被 4 整除” ,所以此命题的否命题为“如果一个数不是偶数,那么它不能被 4 整除”,它是真命题.题后反思 “命题的否定” 是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真
6、一假;而否命题和原命题可能同真同假,也可能一真一假.四、 课堂练习1.写出下列命题的否定:(1) xR,使得 2x2-10;(2) 有的三角形的外心在三角形外部;(3) 有一个素数是偶数;(4) 在实数范围内,有些一元二次方程无解.解 (1) xR,都有 2x2-10;(2) 任意一个三角形的外心都在三角形内部;(3) 每一个素数都不是偶数;(4) 在实数范围内,所有的一元二次方程都有解.2.写出下列命题的否定:(1) xZ,x2 的个位数字不等于 3;(2) 三角形的两边之和大于第三边;(3) 存在实数 x,使 lgx1;(4) 和为 0 的两个实数互为相反数.解 (1) xZ,x2 的个位数字等于 3;(2) 存在这样的三角形,它的两边之和不大于第三边;(3) 对任意的实数 x,都有 lgx1;(4) 存在和为 0 的两个实数不互为相反数.五、 课堂小结1.全称命题的否定:全称量词变存在量词,肯定变否定.2.存在性命题否定:存在量词变全称量词,肯定变否定.
