1、 第三章 三角形专项训练【例题精选】：例 1、填空题：已知等腰 ，若ABCcmBCcA， ， ， 则2513，则 。BCcm2分析：解此题要先明确等腰三角形的腰长和底边长各是多少。再运用三角形三边关系性质确定第三边 CA 的长。解：（1）若 是等腰 的腰长，则 就是底边长，c25ABCcm13故 。（2）若 为等腰 的底边长，则 就是Ac5B腰长，故 。所以 CA 等于 25 或 13 。C3cm若 ，则 不可能为等腰 的腰，因为 12+12 小于 25，所以Bm只能是底边长。所以 。1C25例 2：已知：如图一个任意五角星ABCDE，求： A+B+C+D+E 的度数。分析：连结 AE，构造
2、，则有C+CAD+CEB+EAD+AEB=180又因为EAD+AEB=B+D，所以A+B+C+D+E 的度数可求。解：连结 AEAFB=EAD +AEB，AFB= B+D（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）EAD+AEB=B+D又CAD+EAD+AEB+ BEC+C=180（三角形内角和定理）CAD +B+D+BEC+C=180即A+ B+C+D+E=180例 3：已知：如图，D、E 是 内两点。AB求证：AB+ACBD+DE+EC分析：联想“点 P 为 内一点，求证：AB+ACBP+PC”一题中加辅助线的方法，运用“三角形两边之和大于第三边”证明即可。证明：延长 BD、DE 分别交
3、 AC 于 F、G在 中ABF（三角形两边之和大于第三边）ABFD在 中G（三角形两边之和大于第三边）E在 中C+ ：ABFDGCBDFEGC|整理得： AE例 4：已知：如图， ，以 AC、AB 为腰向外作等腰直角三角形 AEC 和 ABD，连结DC 和 BE 相交于 O求证 BEDC分析：设 BE，AC 交于 F。因为AFE=OFC，若 AEB=ACD，即可证出BEDC 就可证。证角等方法之一是利用全等三角形的性质证。分析已知条件 可证，思路畅通。ADCBE证明： 为等腰三角形ABAD=AB ， DAB=90AEC 为等腰三角形AE=AC ， CAE=90DAC=BAE（等量加等量和相等）
4、在ADC 和ABE 中ADBCEADC ABE （SAS）DCA=BEA （全等三角形对应角相等）又OFC=AFE （对顶角相等）FOC=FAE=90 （三角形内角和定理）注意：对于比较复杂的证明题，要用综合、分析的方法思考。由已知得可知，由欲证看需知，不断缩短已知与未知的差距，从而使问题得到解决。例 5：已知：如图，ABC，ABAC、AD 为角平分线，P 为 AD 上任一点求证：ABACPBPC分析：在 AB 上取一点 E，使 AE=AC，连结PE，所以 ABAC=ABAE= BE， 在 PEB 中，ABACPBPE，而 PE=PC 可证，思路畅通。证明：在ABC 中，ABAC可在 AB 上
5、取一点 E，使 AE=ACABAE =ABAC=BEAD 平分 BACEAP=CAP在AEP 和ACP 中AECPAEPACP （SAS）PE=PC在BPE 中BEBPPEABACPBPC注意：对于角平分线这一条件在添加辅助线时，常常采用翻折法的思想截长或补短。例 6：已知：如图，ABC 的两外角平分线 BP 与 CP 交于 P 点，连结 AP求证：AP 平分 BAC证明：过 P 点作 PH AB 于 H，作 PMBC 于 M作 PNAC 于 N又BP 平分CBHPH=PM（角平分线性质定理）CP 平分BCNPM=PN （角平分线性质定理）PH=PNAP 平分 BAC（到角两边距离相等的点在这
6、个角的平分线上）注意：关于角的平分线问题，要直接运用角平分线的判定和性质定理，不要再去证全等三角形。例 7：已知：如图，ABC 中，AB=AC ，在 AB 上取一点 D，又在 AC 的延长线上取一点 E，使CE=BD，连结 DE 交 BC 于 Q，DFAE。求证：DQ=EQ分析：要证 DQ=EQ，需证 DQF EQC，已知DQF= EQC，但条件不够。因为 AB=AC B=ACB，又因为DFAE，所以ACB=DFB，所以B= DFB，所以DB=DF。DF=CE ，FDQ= CEQ 也可证，即DQFEQC 可证。证明：DFAEFDQ =CEQACB=DFBAB=ACB =ACB （等边对等角）B
7、 =DFBDB=DF （等角对等边）CE=BDCE=DF在DFQ 和ECQ 中DQFECDFQECQ （AAS）DQ=EQ （全等三角形的性质）例 8：已知等边ABC 的 B 和 C 的平分线相交于O，OB 和 OC 的垂直平分线与 BC 相交于 E、F。求证：BE=EF=FC分析：因为 GE、FH 分别为 OB、OC 的垂直平分线，可知 BE=OE，FC=OF，欲证 BE=EF=FC，需证OE=OF=EF，只需证 OEF 是等边三角形。证明：连结 OE、OFABC 是等边三角形ABC= ACB=60BO、CO 分别平分ABC 和 ACB，OBE=OCF=30EG，FH 分别为 OB、OC 的
8、垂直平分线EB=EO，FC=FOEOB=EBO=30FCO=FOC=30OEF=OFE =60OEF 是等边三角形。OE=OF=EFBE=EF=FC例 9：已知：如图BCD 和 BCE 都是直角三角形，M ，N 分别分 BC，DE 的中点求证：MNDE分析：，由已知 M 是BCD 和BCE 斜边中点，连结 DM=EM，可得 DM=EM，即 DME 是等腰三角形。 又因为 N 是底边 DE 的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可证出 MNDE。证明：连结 DM，EMBCD ， BCE 是直角三角形，M 是 BC 中点DM=EM= （直角三角形斜边中线等于斜边一半）12BC又N 是 DE 中
9、点MNDE （等腰三角形底边中线，底边上高线互相重合）例 10：已知：如图，ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点 D 在 BC 上，DA CA于 A。求：BD 的长。分析：因为ABC 中，AB=AC ，可作AEBC 于 E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。根据勾股定理可列方程式求解。解：作 AEBC 于 EAB=AC ，BC=16BE=CE= （等腰三角形的性质）128BC在 中RtA（勾股定理）E206设 DE=x在 中tDx2223在 中RtAC810 3622x9 BDE8927例 11：已知：ABC 中，ACB=90，AB=2BC，CEBA ，A、E、D 在一条直
10、线上且 AC=CD， C22求证：AD= 3B证明：在DCE 中D22CED=90CEBABAD=CED=90在ABC 中， ACB=90AB=2BCBAC =30CAD=60又AC=CDACD 是等边三角形AD=AC在 中，设 ，则RtACBxABx2 243 3 D【专项训练】：一、填空题：1、已知三角形的两条边长分别为 9cm，17cm，则第三边长为。2、ABC 中，ABC=234，则A= 度，B=度，C= 度。3、直角三角形两锐角平分线所夹的钝角的度数是 。4、已知等腰三角形一边等于 5，一边等于 6，则它的周长为_。5、如果等腰三角形的周长是 25cm，一腰上的中线把三角形分成两个三
11、角形周长的差是 4cm，那么这个等腰三角形的腰长等于 ，底边长等于。6、在ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC 交 AC 于 D，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，则 C= 。7、如图，A +B+C+D+E+F= 。8、ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，BC= ，BC=2cm，则 AB=12ABcm，AC= cm。9、ABC 中，C=90 ，AC=4 ，AB=8，CD 是 AB 边上中线，则ACD 是三角形。10、等边三角形是 对称图形；对称轴有 条。二、选择题：1、以两条边长为 10 和 3 及另一条边组成边长都是整数的三角形一共有。A3 个 B4 个 C5 个 D无数多个2、
12、若一个三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形一定是A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D以上都有可能3、具备下列条件的两个三角形，全等的是A两个角分别相等，且有一边相等B一边相等，且这边上的高也相等C两边分别相等，且第三边上的中线也相等D两边且其中一条对应边的对角对应相等4、等腰三角形中有一个角是 50，它的一条腰上的高与底边的夹角是A25 B40 C25或 40 D大小无法确定5、一个三角形的一边为 2，这边的中线为 1，另两边之和为 ，那么这31个三角形的面积为A1 B C D不能确定323三、已知：如图，ABC 中，AB=AC，AD=BD ，AC=DC求：B 的度数四、已知：
13、 中，BAC=90，AD 是RtACBC 边上的高，BF 平分ABC，交 AD 于 E。求证：AEF 是等腰三角形五、已知：如图 AB=CD，AC 和 BD 的垂直平分线相交于 O 点。求证：ABO=CDO六、已知：如图ABC 中，BC 边中垂线 DE交BAC 的平分线于 D，DMAB 于M，DNAC 于 N。求证 BM=CN七、已知：如图，ABC 中，ACB=90，M 为 AB 的中点，DMAB 于M，CD 平分ACB ，交 AB 于 E求证：MD=AM八、已知：如图，ABC 中， ACB=90，AD ，BE 分别是 BC，AC 边上中线，AD =5，BE = ，210求：AB 的长。【答案
14、】：一、填空题：1、大于 8cm 且小于 26cm 2、40；60；80。3、135 4、16 或 175、腰为 7cm，底为 11cm 或腰为 ，底为 cm。293cm1736、72 7、3608、4； 。 9、等边。2310、轴；3。二、选择题：1、C 2、B 3、C 4、C 5、B三、B 为 36。四、提示：根据等角的余角相等，可证AFE=BED，又因为 BED=AEF，所以AFE=AEF。五、提示：连结 OA，OC，证AOBCOD六、提示：连结 DB、DC。根据线段中垂线的性质，可得 DB=DC，根据角平分线的性质，可得DM=DN， 因此，可得 。RtDMBtNC七、提示：连结 CM，作 CFAB 于 F。根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可知 CM=AM，所以，只需证 CM=DM，再证D= MCE。因为BCF =A=ACM，ACE=BCE所以MCE =FCE 再证FCE=D八、提示：列方程组求解：设 CE= ，CD =xy根据勾股定理得 x222105解得 xy249 ACBCy2221636，在 中，根据勾股定理RtB2
