1、Page 1 of 7 一填空题（每空 3 分，共 24 分） 1算法的时间复杂性指算法中 的执行次数。 2 设 Dn 表示大小为 n 的输入集合，t(I) 表示输入为 I 时算法的运算时间, p(I) 表示输入 I 出现的概率，则 算法的平均情况下时间复杂性 A(n)= 。 3. f(n)=n 2 +log 50 n ，g(n)= 2n logn ，则 O(f(n)+O(g(n)= 。 4 分治算法的时间复杂性常常满足如下形式的递归方程： 0 0 n n , g(n) af(n/c) f(n) n n , d ) n ( f 其中，g(n)表示 。 5 对于下面的确定性快速排序算法 ， 只要
2、在步骤 3 前通过 算法， 就可得到一个随机化快速排 序算法，获得很好的平均性能。 算法 QUICKSORT 输入：n 个元素的数组 A1n 。 输出：按非降序排列的数组 A 中的元素。 1. quicksort(1, n) / 对 Alowhigh 中的元素按非降序排序。 2. if lowhigh then 3. w=SPLIT(A, low, high) / 算法 SPLIT 以 Alow 为主元将 Alowhigh 划分成两部 / 分，返回主元的新位置。 4. quicksort (A, low, w-1) 5. quicksort (A, w+1, high) 6 end if en
3、d quicksort 6. 下面算法的基 本运算 是 运算，该算法的时间复杂性阶为 ( ) 。 算法 SPLIT 输入：正整数 n ，数组 A1n 。 SPLIT ： i=1 x=A1 for j=2 to n if Aj=x then i=i+1 if i jth enA i Aj end if end for Ai A1 w=i return w, A 厦门大学算法分析课程试卷 软件学院 软件工程系 08 级 软件工程专业 主考教师：刘昆宏 试卷类型： （A 卷）Page 2 of 7 / end SPLIT 7. 假设某算法的 T(n)=52 n ，在某台机上实现并完成该算法的时间为
4、t 秒。如果使用 64 倍的运算时间在 同一台机子上进行计算，则能解的问题规模 为 。 1. 元运算 2. n D I I t I p ) ( ) ( 3. n 2 4. 将规模为 n 的问题分解为子问题以及组合相应的子问题的解所需的时间 5. 舍伍德 6. 比较 n7 . n 1 = n + 6 二选择题（每小题 2 分，共 12 分） 1 动态规划算法包括所有具有如下特征的算法 ： 首先将原问题分成更小的子问题 ， 保存这些子问题的解 ， 并由 它们来计算原问题的一个解。下列的问题求解中哪一个不能使用动态规划算法？（ ） A 最长公共子序列问题 B 图像无损压缩问题 C 0-1背包问题 D
5、 二分搜索问题 2. 分派问题一般陈述如下 ： 给n 个人分派n 件工作 ， 把工作j 分派给第i 个人的成本为cost （i ，j），1 i ，j n ， 要求在给每个人分派一件工作的情况下使得总成本最小 。 此问题的解可表示成n 元组 （X1， ，Xn），其 中Xi 是 给第i 个人分配的工作号，且Xi Xj （i j ）。此解空间的状态空间有（ ）个n 元组，此解空间的状态空间树 被称为（ ）。 A n n B n ！ C 2 n D n E 排列树 F 子集树 3 算法与程序的区别在于算法具有（ ）。 A 能行性 B 确定性 C 有穷性 D 输入和输出 4 在如下四实例上分别运行快速排
6、序算法，其中在（ ）上算法所作元素比较次数最少。 A （5 ，5 ，5 ，5 ，5 ） B （3 ，1 ，5 ，2 ，4 ） C （1 ，2 ，3 ，4 ，5 ） D （5 ，4 ，3 ，2 ，1 ） 5以下说法正确的是（ ） A 贪心法通过分阶段地挑选最优解， 对所有问题都能很快获得问题的最优解。 B. 一个问题是否适合用动态规划算法要看它是否具有重叠子问题。 C 分治法通过把问题化为较小的问题来解决原问题，从而简化或减少了原问题的复杂度 。 D 分支限界法是一种深度优先搜索算法。 6以下说法错误的是（ ） A 数值概率算法总能求解得到问题的一个解，而且所求得的解总是正确的。 B. 舍伍德算
7、法不是避免算法的最坏情况，而是设法消除这种最坏情形行为与特定实例之间的关联性。 C 蒙特卡罗算法可以求得问题的一个解，但该解未必正确。 D 拉斯维加斯算法通常以正的概率给出正确答案。 1. D. 2. B.E. 3. C. 4. B. 5. C. 6. A. 三算法设计分析题（ 64 分） 1 （10 分）用 O 、 、 表示函数 f 与 g 之间的关系： (1) f (n)=100 g(n)= 100 n (2) f(n)=6n+n n log g(n)=3nPage 3 of 7 (3) f(n)= n/logn-1 g(n)= n 2 (4) f(n)= 2 2 n n g(n)= n
8、3 (5) f(n)= n 3 log g(n)= n 2 log (1) f(n)= O(g(n) (2) f(n)= (g(n) (3) f(n)= (g(n) (4) f(n)= O(g(n) (5) f(n)= (g(n) 2 （10 分）设 n 个不同的整数按升序存于数组 A1n 中，求使得 Ai=i 的下标 i 。下面是求解该问题的 分治算法。 算法 SEARCH 输入：正整数 n ，存储 n 个按升序排列的不同整数的数组 A1n 。 输出：A1n 中使得 Ai=i 的一个下标 i ，若不存在，则输出 no solution 。 i=find ( (1) ) if i0 then
9、output i else output “no solution” end if / end SEARCH 过程 - find (low, high) / 求 Alowhigh 中使得 Ai=i 的一个下标并返回，若不存在，则返回 0 。 if (2) then return 0 else mid= 2 / ) high low ( if (3) then return mid else if Amidhigh (3) Amid=mid (4) mid+1, high (5) find(low, mid-1) 3 （12 分） 图中的共有 n 项工作，第 i 项工作在 si 时间开始，在 f
10、i 时间结束 。如果两项工作没有交叠， 则称它们相容。Page 4 of 7 (1) 如果希望找出最大的相容工作子集，你准备 采用 哪种类型 算法（分治，动态规划等 ） ？（ 1 分） (2) 设计相应的算法解决这个问题 ， 请写出解决问题算法对应的 伪代码 ， 说明算法初始条件 ， 并作出适 当的标注 。 （5 分） (3) 请分析或证明 这种方法能否获得 最优解 。 （6 分） 3. 解答：(1) 贪 心算法 (2) Sort jobs by earliest finish time. Try to add each job in order. Sort jobs by finish ti
11、mes so that f1 = f2 = . = fn Solution set A is empty at start for j = 1 to n if (job j compatible with A) / Compare j to all jobs in A. If incompatible, break loop Add j to A return A (3) 从最优子结构和贪心选择性质两个角度分析 。 （1）假 设E 为给定工作的集合， 按结束时间的非 减序排序。 如果该问题有一个最优解A 不包含工作1，且A 中的工作也按活动的非减序排序， 则可以将 A 中的第一个活动替换为工作
12、1 而不违背相容约束，从而构成最优解B 。由于A 是最优解，则其包含的 工作数量最多。而B 也是最优解，因其包含的工作数量和A 一样多。可见存在以贪心选择开始的最优 活动方案。 （2）如 果A 是原问题的最优解 ， 则A=A 1 为E= i E, si fi 的最优解。 因为如果存在E 的一个最优解B 比A 包含的工作个数更多，则将工作1 加入B 后，会生成比A 更多获得的E 的最优解。 因此，满足最优子结构性质。 4. （ 10 分 ） 设计一个算法 ， 描述算法的思路， 找出由 n 个数组成的序列的最长单调递增子序列 ， 分析相应 的时间复杂度。 （时 间复杂度越低的算法分数越高 ） 5.
13、 （10 分 ） 请设计 两种算法 找到下图中的最短路径 ， 用图表的方式 给出解决问题的过程 。 如果是用搜索算 法，请画出搜索树。说明相关算法的类型。Page 5 of 7 5. 解答： 方法 1 ： Dijkstra 算法： 方法 2 ： 优先队列式搜索：相关搜索图例如下： 方法 3 ： 回溯法搜索：相关搜索图例如下：Page 6 of 7 6. （12 分）设有如下结构的移动将牌游戏： BBWWE 其中，B 表示黑色将牌，W 表是白色将牌，E 表示空格。游戏的规定走法是： (1) 任意一个将牌可移入相邻的空格，规定其代价为 1 ； (2) 任何一个将牌可相隔 1 个其它的将牌跳入空格，
14、其代价为 2 。 游戏要达到的目标是把所有 W 都移到 B 的左边。 对 这个问题 ， 请设计一个优先队列式分支限界算法 （只需给出相关的优先函数，并 画出用这个算法产 生 的搜索树 ） 。 解：设 f(x)=当前移动的代价+3*当前节点中每个 W 左边的 B 的个数，其搜索树如下： BBWWE BBEWW BBWEW BBEWW BEWBW EBWBW WBEBW4 9 17 8 13 28 16 1 8 9 17 8 13 28 16 18 14 32 29 9 20 19 32 f(x)=0+12=12 f(x)=2+12=14 f(x)=1+12=13 f(x)=2+12=14 f(x)=3+9=12 f(x)=4+9=13 f(x)=6+6=12Page 7 of 7 WBWBE WBWEB WEWBB f(x)=8+3=11 f(x)=9+3=12 f(x)=11+0=11
