1、 第 1 页 共 6 页 南 昌 大 学 考 试 试 卷 答 案 【适用 时间：2011 2012 学年第二学 期 试卷类型：A 卷 】 教 师 填 写 栏 课程编 号 ： 试卷编 号： 课程名 称 ： 概率论 与数理统计 开课学 院： 理学院 考试形 式： 闭卷 适用班 级： 理工 类48 学时 考试时 间： 120 分钟 试卷说 明： 1、本 试卷 共 6 页 。 2、 考 试结 束后 ，考 生不 得 将试卷 、答 题纸 和草 稿纸 带出考 场 。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 累 分人 签 名 题分 24 24 20 16 16 100 得分 考 生 填 写 栏 考
2、生姓 名： 考生学 号： 所属学 院： 所属班 级： 所属专 业： 考试日 期： 考 生 须 知 1、请 考生 务必 查看 试卷 中 是否有 缺页 或破 损。 如有 立即举 手报 告以 便更 换。 2、严 禁代 考， 违者 双方 均 开除学 籍； 严禁 舞弊 ，违 者取消 学位 授予 资格 ； 严禁带 手机 等有 储存 或传 递信息 功能 的电 子设 备 等 入场 （ 包括 开卷 考试 ） ， 违者按 舞弊 处理 ；不 得自 备草稿 纸。 考 生 承 诺 本人知 道考 试违 纪 、 作 弊 的严重 性 ， 将 严格 遵守 考 场纪律 ， 如若 违反 则愿 意 接受学 校按 有关 规定 处分 ！
3、 考生签 名： 第 2 页 共 6 页 一 、填 空题： （每 空 4 分 ，共 24 分） 得 分 评 阅人 1、 一射手对同一目标独立地进行四次射击， 若至少命中一次的概率为 80 81 ， 则该射手的命 中 率为 2 3 . 2、三 人独立 地去 破译 一份密 码，已 知各 人能 译出的 概率分 别为 1 5 ， 1 3 ， 1 4 ，则三 人中至少 有一人能将此密码译出的概率为 0.6 . 3、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽后不放回，则第 二次抽取的是次品的概率为 1 6 . 4、设随机变量X 服从泊松分布，且 12 P X P X , 则X 的
4、数学期望 为 2. 5、设 随机变量Y 在 1, 6 上服从均匀分布，则方程 2 10 x Yx 有实根的概率为 0.8. 6、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 1,0 1, () 0, X x fx 其 它., 0, () 0, 0. y Y ey fy y 则XY 的方差为 13 12 . 第 3 页 共 6 页 二 、单项 选择 题： （每 题 4 分 ，共 24 分） 得 分 评 阅人 1、 设事件A 与事件B 互不相容，则 （ D ）. (A) 0 P AB (B) P AB P A P B (C) 1 P A P B (D) 1 P A B 2、 设离散型随机
5、变量X 的分布律为： k P X k b ， 1,2, k ， 0 b ，则 ( C ). (A)1 b (B) 1 b (C) 1 1 b (D) 1 1 b 3 、 设 随 机 变 量 X 服从正态分布 2 11 , N , Y 服从正态分布 2 22 , N , 且 12 11 P X P X ,则（A ）. (A) 12 (B) 12 (C) 12 (D) 12 4、设随机变量X 的分布函数为 Fx ，则随机变量 21 YX 的分布函数 Gy 为（ D ）. (A) 1 1 2 Fy (B) 21 Fy (C) 11 22 Fy (D) 11 22 Fy 5、设随机变量X 的概率密度为
6、 ,0 0, 0 x X ex fx x ， 则随机变量 X Ye 的概率密度 Y fy 为（ A ）. (A) 2 1 ,1 0, 1 y y y (B) 2 1 ,0 0, 0 y y y (C) ,0 0, 0 y ey y (D) 1 ,1 0, 1 y y y 6 、 设 二 维 随 机 变 量 , XY 的 联 合 概 率 密 度 为 6 , 0 1 , 0, x x y f x y 其 它 ，则 1 P X Y ( A ). (A) 1 4(B) 1 2(C) 1 3(D) 1 6 第 4 页 共 6 页 三、求下列概率密度 （每 题10 分 ，共20 分） 得 分 评 阅人 1
7、、设 随机变量X 的概率密度为 2 2 ,0 0, x x fx 其 它 ，试求 sin YX 的概率密度. （1）当 0 y 时， 0 Y Fy ，于是 0 Y fy 1 分 （2）当 1 y 时， 1 Y Fy ，于是 0 Y fy 2 分 （3）当01 y 时， arcsin 22 0 arcsin 22 sin y Y y xx F y P X y dx dx 6 分 2 2 1 YY f y F y y 于是 2 2 , 0 1 1 0, Y y fy y 其 他10 分 2、 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量， 均服从正态分布 1 0, 2 N ,求 22 Z X Y 的概率
8、密度. 解：X 和Y 的概率密度分别为 2 2 ,0 , 0, x X ex fx 其 它 ； 2 2 ,0 , 0, y X ey fx 其 它. , XY f x y f x f y 22 4 0 ,0 , 0, xy e x y ， 其 它3 分 当 0 z 时，显然 0 Z Fz . 当 0 z 时， 22 22 0, 0 4 xy z x x z xy F z e dxdy -+ = 22 2 00 4 1 z z d e d e - = = - . 8 分 故所求Z 的概率密度为 2 2 0 z zZ ze f z F z - = ,0 ,0 z z 10 分 第 5 页 共 6
9、页 四、 求下列概率（每 题 8 分 ，共 16 分） 得 分 评 阅人 1、 有三个形状相同的罐， 在第一个罐中有 2 个白球和 1 个黑球， 在第二个罐中有 3 个白球和 1 个黑球，在第三个罐中有 2 个白球和 2 个 黑球. 现任取一罐，从中任取一球，试求取得 白球 的概率. 解：设A 表示 事件 “取 到的 是一个 白球 ”， i B 表示 事件 i “ 球 取 自 第 罐 ” 1,2,3 i 3 3 1 i i P A P B P A B 2 分 1 2 1 3 1 1 3 3 3 4 3 2 7 分 23 36 8 分 2、在区间 0, 1 中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小
10、于 1 2 的概率. 解：用x ，y 分别表示两个数， = , / 0 1,0 1 x y x y A= 1 ,: 2 x y x y 2 分 () () () A PA A 区 域 的 面 积 区 域 的 面 积 = 3 48 分 第 6 页 共 6 页 1、单项选择题（每题 4 分）（1）D (2) C 2、设 总体X 的概率密度为 1 , 0, , 0, x ex fx 其 它.其中参数 0 未知， 12 , , , n X X X 是来自总体X 的简单随机样本， 求参数 的极 大似然 估计量.（8 分） 解：极大 似然函数为 1 / 12 1 11 , , ; n i i i x n
11、x n i L L x x x e e n , ， 2 分 则 1 ln ln / n i i L n x ，令 1 2 ln 0 n i i x dL n d ， 解之得 1 1 n i i xx n ，因 此 极大似 然估 计 量为 1 1 n i i XX n （样本 均值 ） 8 分 五、综合 题（共16 分） 得 分 评 阅人 第 1 页 共 4 页 南 昌 大 学 考 试 试 卷 答 案 【适用 时间：2012 2013 学年第一 学期 试卷类型：A 卷 】 教 师 填 写 栏 课程编 号： 试卷编 号： 教50 课程名 称 ： 概率论 与数理统计 开课学 院： 理学院 考试形 式
12、： 闭卷 适用班 级： 理工 类48 学时 考试时 间： 120 分钟 试卷说 明： 1、本 试卷 共 7 页 。 2、考 试结 束后 ，考 生不 得 将试卷 、答 题纸 和草 稿纸 带出考 场 。 一 、填 空题（ 每空 4 分， 共 24 分） 1、0.5, 2 、0.8， 3、4， 4、ABC ABC ABC 5、2 6 、 7 24二 、单 项选择 题（ 每题 4 分， 共 24 分） 1、B, 2 、C ， 3、A ， 4、A, 5 、D, 6 、A 三、求下列概率密度 （每 题 10 分 ，共 20 分） 1、 解 X 的概率密度为 2 2 1 () 2 x X f x e ， x
13、 . 当 y 0 时，显然 2 ( ) ( ) ( ) 0 Y F y PY y P X y ； 当 y 0 时有 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Y F y P Y y P X y P y X y 2 2 1 2 x y y e dx . 5 分 第 2 页 共 4 页 容易看出 () Y Fy 在（- ，+ ）上连续，且当 y 0 时 ( ) 0 Y Fy ； 当 y 0 时， 1 2 () 2 Y y F y e y .于是得到 2 YX 的概率密度为 2 1 0 () 2 0 0. y Y ey fy y y ， ， ，10 分 2、因X 和Y 相互独立，得 XY ,0 1, (
14、, ) ( ) ( ) y e x y f x y f x f y 其 它.Z = X+ Y 的分布函数为 Z ( ) ( , ) . x y z F z f x y dxdy 以下就Z 的取值分三种情况讨论： （1）当Z0 时， 0. Z Fz （2）当01 z 时 00 1. x z x yy Z F z dx e dy z e 4 分 （3）当 1 z 时，由图36 知 1 1 00 1. zx y z z Z F z dx e dy e e 故Z X Y 的概率密度为 0, 0, 1 , 0 1, 1 , 1. z ZZ z z f z F z e z e e z 10 分 四、1、
15、设A 表示事件 “任选的一名射手能通过选拔进入比赛” ， i B 表示事件 “任选的一名 射手是i 级射手”， 1,2,3,4 i .显然 1 2 3 4 , , , B B B B 是样本空间的一个划分.由题设条件知， 1 2 3 4 4 7 1 , , , , 20 20 20 P B P B P B P B 1 0.9, P AB 2 0.7, P AB 3 0.5, P AB 4 0.2 P AB . 第 3 页 共 4 页 所求概率 为 1 , P B A 由贝叶 斯公式 11 1 4 1 ii i P B P A B P B A P B P A B 4 0.9 12 20 4 8
16、7 1 43 0.9 0.7 0.5 0.2 20 20 20 20 . 8 分 2、 解 X （1 ） 可能的取值为 0,1,2 ， 且 3 = =0.6 = = =0.3 4 PP 32 （X=0 ） ， （X1 ） ， 552 1 3 = =0.1. 5 4 3 P （X=2 ） 故X 的分布律为 X 0 1 2 P 0.6 0.3 0.1 3 分 （2 ） 当 0 x ， Xx 为不可能事件，所以 ( ) ( ) 0; F x P X x 当01 x 时， 0 X x X ，故 ( ) ( ) ( 0) 0.6; F x P X x P X 当12 x 时， 01 X x X X ，而
17、 0 X 与 1 X 是互不相容的两事件， 由概 率的有限可加性得 ( ) ( ) ( 0) ( 1) F x P X x P X P X 0.6 0.3 0.9 第 4 页 共 4 页 当 2 x 时， Xx 为必然 10.61 2 () Fx 图 2-1 x事件，所以 ( ) ( ) 1 F x P X x 综合即得 0, 0, 0.6,0 1, () 0.9,1 2, 1, 2. x x Fx x x 8 分 五、1、 （1）C （2）C 2、 极大似然函数 e x x X P x x x L i x n i i n i n i ! , , , , 1 1 2 1 4 分 ! ln ln
18、 ln 1 1 i n i n i i x x n L ， 令 n i i x n d L d 1 ln =0 得 x 故 X 8 分 第 1 页 共 4 页 南 昌 大 学 考 试 试 卷 答 案 【适用 时间：20 13 20 14 学年 第 一 学期 试卷 类型： A 卷 】 教 师 填 写 栏 课程编 号： J5510N0008 试卷编 号： 教30 课程名 称 ： 概率论 与数理统计（II ） 开课学 院： 理学院 考试形 式： 闭卷 适用班 级： 48 学时 考试时 间： 120 分钟 试卷说 明： 1、本 试卷 共 6 页 。 2、考 试结 束后 ，考 生不 得 将试卷 、答 题
19、纸 和草 稿纸 带出考 场 。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 累 分人 签 名 题分 24 24 40 12 100 得分 考 生 填 写 栏 考生姓 名： 考生学 号： 所属学 院： 所属班 级： 所属专 业： 考试日 期： 考 生 须 知 1、请 考生 务必 查看 试卷 中 是否有 缺页 或破 损。 如有 立即举 手报 告以 便更 换。 2、严 禁代 考， 违者 双方 均 开除学 籍； 严禁 舞弊 ，违 者取消 学位 授予 资格 ； 严禁带 手机 等有 储存 或传 递信息 功能 的电 子设 备 等 入场 （ 包括 开卷 考试 ） ， 违者按 舞弊 处理 ；不 得自 备
20、草稿 纸。 考 生 承 诺 本人知 道考 试违 纪、 作弊 的严重 性， 将严 格遵 守考 场纪律 ， 如 若违 反则 愿意 接受学 校按 有关 规定 处分 ！ 考生签 名： 第 2 页 共 4 页 一 、填 空题： （每 空 4 分，共 24 分） 得 分 评 阅人 1. 0.375 2. 2/3 3. 18 4. n k n k n N N C ) 1 (5. ) 2 n （ 6. 0.967 二 、单 项选择 题： （每题 4 分 ，共 24 分） 得 分 评 阅人 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 三 、计 算题： （每 题 10 分， 共 40 分） 得 分
21、 评 阅人 1. 解：设事件 A= 取 到的数能被 2 整除，事件 B= 取到的数能被 3 整除， 则有 90 15 ) ( , 90 30 ) ( , 90 45 ) ( AB P B P A P所求概率为 ) ( ) ( B A P B A P ) ( 1 B A P ) ( ) ( ) ( 1 AB P B P A P 3 1 2. 解：(1) 2 2 1 1 ) , ( A A dxdy y x f(2) 16 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 0 1 0 2 2 2 dxdy y x P (3) ) 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( 1 ) ( 2 2 2 2 x dy y x x
22、f X ) 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( 1 ) ( 2 2 2 2 y dx y x x f Y 有 f(x,y)=fX(x)fY(y) ，故 X 与 Y 独立 第 3 页 共 4 页 3. 解：设 ) 400 , , 2 , 1 ( k X k 表示第 k 个学 生来参加会议的家长数，则 ) 400 , , 2 , 1 ( k X k 的 分布律为 k X0 1 2 k P0.05 0.8 0.15 易知 ) 400 , , 2 , 1 ( , 19 . 0 ) ( , 1 . 1 ) ( k X D X E k k而 400 1 k k X X ，根据同分布中心极限定理 随机变量 1
23、9 . 0 400 1 . 1 400 400 1 k k X 19 . 0 400 1 . 1 400 X 近似服从标准正态分布， 因此 19 . 0 400 1 . 1 400 450 19 . 0 400 1 . 1 400 450 X P X P 15 . 1 19 . 0 400 1 . 1 400 1 X P) 15 . 1 ( 1 1251 . 0 4. 解： 似然函数 L(x 1 , x 2 ,., x n , )= n i i i x n n i x e e 1 | | 1 | | ) 2 ( 1 2 1 lnL= nln(2 ) n i i x 1 | | = nln(2
24、) n i i x 1 | | 1 令 0 ln d L d 0 | | 1 1 2 n i i x n 的极大似 然 n i i X n 1 | | 1 第 4 页 共 4 页 四 、证 明题： （每 题 6 分 ，共 12 分） 得 分 评 阅人 1、 证明：因为 X ) ( 1 ，Y ) ( 2 所以 1 1 ! ) ( 1 1 1 e k k X P k ， ) , 2 , 1 , 0 , ( , ! ) ( 2 1 2 2 2 2 2 k k e k k Y P k 因为 X 与 Y 相互 独立 所以 ) , ( ) ( 1 1 0 1 k k Y k X P k Y X P k k
25、 ) , ( 1 1 0 1 k k Y k X P k k ) ( ) ( 1 1 0 1 k k Y P k X P k k k k k k k e k k e k 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 )! ( ! k k k k k k k k k k e 0 1 2 1 1 ) ( 1 1 1 2 1 ! ! )! ( ! , 2 , 1 , 0 , ! ) ( ) ( 2 1 2 1 k e k k 即得证 X+Y ) ( 2 1 。 2、 证明 ： 设 ) , ( Y X 的联合概率密度函数为 ) , ( y x f ， X 的概率密度函数和分布函数分别为 ) (x f 和 ) (x F ，则有 y x dxdy y x f Y X P ) , ( ) ( y x Y X dxdy y f x f ) ( ) ( dy dx x f y f y ) ( ) ( dy y F y f ) ( ) ( ) ( ) ( y dF y F ) ( ) ( 2 1 2 2 F F 2 1
