1、概率与数理统计复习资料一、单选1.设随机事件 与 互不相容，且 则（ ）AB()0,(),PABA. ） B.()1()P ()PABC. D.(12.设 ， 为随机事件， , ，则必有（ ）AB()0PA(|)BA. B. C. D.()(P()PA)3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ ）A. B. C. D.24124C24!A24!4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为 ，他连续射击直到命中3为止，则射击次数为 的概率是（ ）3A. B. C. D.3()421()42()42413()C5.已知随机变量 的概率密度为 ，令 ，则 的概率密度XXf
2、xYX为（ ）()YfyA. B. C. D. 2)xf2()xyf1()2xyf1()2xyf6.如果函数 是某连续随机变量 X 的概率密度，则区间,;(0abf或可以是（ ）,abA. B. C. D.(0,1)(,2)(0,2)(1,2)7.下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）A. B.Fxx12(),20()1xFxC. D.3(),xFeFxarctgx4312(),8.设二维随机向量（X,Y）的联合分布列为（ ）YX0 1 20 21 102 2则 (0)PXA. B. C. D. 12124125129.已知随机变量 和 相互独立，且它们分别在区间 和 上服从均Y,3,4匀分
3、布，则 （ ）()EXA. B. C. D. 36101210.设 为标准正态分布函数， ，且()x,iAX事 件 发 生 ；事 件 不 发 生 ， ,10i, 相互独立。令 ，则由中心极限定理知 Y()0.8PA1210,X 10iiY的分布函数 近似于（ ）()FyA. B. C. D.()8)4(1680)y(480)y11.设随机事件 A 与 B 互不相容，且有 P(A)0，P(B)0，则下列关系成立的是( )A. A，B 相互独立 B. A，B 不相互独立C. A，B 互为对立事件 D. A，B 不互为对立事件12. 已知 P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(AB)=0.6，则
4、P(AB)=( ).A. 0.15 B. 0.2 C. 0.8 D. 113. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则 f(x)一定满足（ ）A.0f(x)1 B. C.()XPxftd()fxdD.f(+)=114. 从 0，1，9 十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( )A.0. 1 B.0.3439 C. 0.4 D. 0.656115. 设一批产品共有 1000 个，其中有 50 个次品。从中随机地有放回地抽取500 个产品，X 表示抽到次品的个数，则 PX3 ( )A. B. C. D. 5014973C5014973A4973505.).C0
5、316. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 则区间(a,b)是( ).1cos,2.xab其 它A. (0， ) B. ( , ) C. ( ，) D. ( ， )220217. 已知随机变量 X 的分布列为X -12 5p 0.20.350.45则 P（-22） =（ ）A. 0 B. 0.2 C. 0.35 D. 0.5518. 设二维随机向量（X,Y）的概率密度为 f(x,y)，则 PX1=（ ）A. B. dy),x(f1 dy),x(f1C. D. , ,19设随机变量 XB（30， ） ，则 E（X）( )6A. B. C. D. 56152520. 设随机变量 XB(10
6、0，0.1)，则方差 D(X)=( ).A. 10 B. 100.1C. 9 D. 3二、填空1.一口袋中装有 只红球， 只黑球，今从中任意取出 只球，则这 只球恰3222为一红一黑的概率是 .2.设 ， ，则 .1()2PA(|)5B()PAB3.已知随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P 2a 0.1 0.3 a 0.3则常数 .a4.设随机变量 ， 为其分布函数，则 .(0,)N:(x()x5.已知连续型随机变量 X 的分布函数为1,;3(),021,.xeFx 设 X 的概率密度为 ，则当 .()f0,()fx6.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 ， ，则12PX1()3
7、Y= (1,)PY7.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ，则21(),xfxe.(1)E8.设随机变量 与 相互独立，且 ， ，则 .Y()1DX()2Y()DXY9.设样本的频数分布为X 0 1 2 3 4频数 1 3 2 1 2则样本方差 .2s10.设总体 服从正态分布 ，中 未知， 为其样本。若2(,)N12,nX假设检验问题为 ，则采用的检验统计量为 .201:H11. 已知 P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(A B)=0.8 ，那么 P( )=_,P( )ABAB=_.12. 进行 5 重贝努利试验，事件 A 在每次试验中发生的概率 P(A)=0.1，则在5 次试验中
8、 A 恰发生 2 次的概率为_， A 至少发生 1 次的概率为_13.若 1，2，3，4，5 号运动员随机排成一排，则 1 号运动员站在正中间的概率为_.14. 设 X 为连续随机变量，c 为一个常数，则 PXc_.15. 设 XN(5，4) ，若 d 满足 P(Xd)=(1)，则 d=_.16. 已知 X 服从两点分布，其分布列为X 0 1kP0.4 0.617. 已知随机变量 X 的分布函数为 FX(x),则随机变量 Y=3X+2 的分布函数FY(y)=_.18. 设随机变量 X 有密度f(x)= 则 K=_(1),01,.Kx其 它三、证明题1.设 、 为两个随机事件， ，且 ，证明事件
9、AB0()1PB(|)(|)ABP与 相互独立。2. 设 A，B 为随机事件，P（B ）0 ，证明：P(A|B)=1-P( ).|四、计算题（共 8 分）1.设随机变量 X 的概率密度为 且 ，求常,01;().cxf其 它 ()0.75EX数 和 .c2. 设随机向量(X，Y) 概率密度为 f(x,y)=其 他 0,xy1,08xy(1)求边缘概率密度 fX(x),fY(y) (2)求概率 PY 2X五、综合题1.设二维随机向量 的联合概率密度为 f(x,y)=(,)XY,0;(,).yexfx其 它一、 求 分别关于 和 的边缘概率密度 ；(,) ,XYf二、 判断 与 是否相互独立，并说
10、明理由；2设随机变量 与 相互独立，且 ， ，令1X2 21(,)N:21(,):2， .求：（1） ;(2) 与 的相关系数 .1YDYXY，那么当 0x1 时，X 的分布函数的取值为 F(x)=_.3. 加工某种零件，如生产情况正常，则次品率为 3%，如生产情况不正常，则次品率为 20%，按以往经验，生产情况正常的概率为 80%，任取一只零件，求它是次品的概率. 已知所制成的一个零件是次品，求此时生产情况正常的概率.4. 设由取自正态总体 ，容量为 的样本，得样本的 ，求2(,0.9)XN:95X未知参数 的 置信区间 （ ）95%.2516u六应用题1已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水
11、含碳量 X 服从正态分布，其方差为 ，在某段时间抽测了 炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.310.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差75异？(显著性水平 ( )5.7.29(,23.)975.020. 2. 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？ 设 01:7:0H答案一、单选1.D 2.A 3.A 4.C 5.D6.C 7.B 8.D 9.A 10.B11.D 12.B 13.C 14.B 15.C16
12、.D 17.D 18.B 19.D 20.C二、填空1. 0.6 2. 3. 0.1 4. 1 5. 6. 7. 1 8. 3 9. 2153ex610. (n-1)s2 或 11. , 12. 缺答案 13. 缺答案 14. 缺答案()xiin120.215. 16. 17. 18. 30.4三、证明题（共 8 分）1.证法一：由题设及条件概率定义得又 ，PAB()(),PABPAB()()()由以上二式可得 P(AB)=P(A)P(B)， 故 A 与 B 相互独立。证法二：由全概率公式得P(A)= PBAPB()|()|= P(A|B) (由题设)=P(A|B)，则 P(AB)=P(B)P
13、(A|B)=P(A)P(B),故 A 与 B 相互独立。2，证：右边= ()1(|)1PA=左()()(|)BPAB四、计算题（共 8 分）1.解：由 可得cxd107501,.解得 c12075,.,23,.c2 解： 30()84xXfxydy341f其 它同理可得 0()Yyfx其 它 1220()8xxXPdydy1204|x五、综合题（本大题共两小题，每小题 12 分，共 24 分）1解：（1）边缘概率密度为fx(x)= fydedyxx(,),;, , 00fx(y)= fdxedxyy(,),;, , 00（2）由于 f(x,y) ，故 X 与 Y 不独立。fyXY()（3）PX
14、+Y 1= xdy, 1= ex02= .1122.解：D(X)=D(X 1+X2)=D(X1)+D(X2)=2 ,D(Y)=D(X1- X2)= D(X1)+ D(X2)=2 ,Cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)= EEXE()()()()()12=D(X1)- D(X2)=0,则 XYCovD(,.03解：（1）边缘概率密度为fx(x)= fydedyxx(,),;, , 00fx(y)= fdxedxy(,),;, , 00（2）由于 f(x,y) ，故 X 与 Y 不独立。fyXY()（3）PX+Y 1= xdy, 1= ex02= .1124.解：D(X)=D(X 1+
15、X2)=D(X1)+D(X2)=2 ,D(Y)=D(X1- X2)= D(X1)+ D(X2)=2 ,Cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)= EEXE()()()()()12=D(X1)- D(X2)=0,则 XYCovD(,).0六、应用题）1.解：缺答案2.解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，n1=5,n2=6, =175.9, =172, , =9.1, .xys123.205=3.1746 选取 t0.025(9)=2.2622,ssnw()()12则 置信度为 0.95 的置信区间为：12 xytnsnxytnsnww 2122112(),()=- 0.4484,8.2484.
