1、选修 2-3 1.1 第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1一个袋子里放有 6 个球，另一个袋子里放有 8 个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( )A182 B14 C48 D91答案 C解析 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 68 48，故选 C.2从甲地到乙地一天有汽车 8 班，火车 3 班，轮船 2 班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )来源:高$考试( 题库A13 种 B16 种 C24 种 D48 种答案 A来源:st. .Com解析 应用分类加法计数原理，不同走法数为 832 13(种)故选 A.3集合 A a，b，c，B
2、d，e，f ，g ，从集合 A 到集合 B 的不同的映射个数是( )A24 B81 C6 D64答案 D解析 由分步乘法计数原理得 4364，故选 D.45 本不同的书，全部送给 6 位学生，有多少种不同的送书方法( )A720 种 B7776 种 C360 种 D3888 种答案 B解析 每本书有 6 种不同去向，5 本书全部送完，这件事情才算完成由乘法原理知不同送书方法有 657776 种5有四位老师在同一年级的 4 个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )A8 种 B9 种 C10 种 D11 种答案 B解析 设四个班级分别是 A
3、，B，C ，D ，它们的老师分别是 a，b，c，d，并设 a 监考的是 B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有 3 种不同的方法；同理当 a 监考C，D 时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有 3 种不同的方法这样，用分类加法计数原理求解，共有 3339(种) 不同的安排方法另外，本题还可让 a 先选，可从B，C，D 中选一个，即有 3 种选法若选的是 B，则 b 从剩下的 3 个班级中任选一个，也有3 种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有33119(种)不同的安排方法6某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9
4、999”共 10 000 个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡” ，则这组号码中“优惠卡”的个数为( )A2 000 B4 096 C5 904 D8 320答案 C解析 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7” 的共有 88884 096 个，所以符合题意的共有 5 904 个7如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A26 B24C20 D19答案 D解析 因信息可
5、以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从 A 向 B 传递有四种方法：1253,1264, 1267,1286，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：346619，故选 D.8某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目，如果将这 2 个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A42 B30 C20 D12答案 A解析 将新增的 2 个节目分别插入原定的 5 个节目中，插入第 1 个有 6 种插法，插入第 2 个时有 7 个空，共 7 种插法，所以不同的插法共 6742(种) 9定义集合 A 与 B 的运算 A*B 如下：A*B
6、 ( x，y)|xA，yB，若 Aa，b，c，B a， c，d，e ，则集合 A*B 的元素个数为( )来源:高$考试(题库A3 4 B4 3 C12 D24答案 C解析 显然(a，a)、(a，c )等均为 A*B 中的元素，确定 A*B 中的元素是 A 中取一个元素来确定 x，B 中取一个元素来确定 y，由分步计数原理可知 A*B 中有 3412 个元素故选 C.10某医院研究所研制了 5 种消炎药 X1、X 2、X 3、X 4、X 5 和 4 种退烧药T1、T 2、T 3、T 4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知 X1、X 2两种消炎药必须同时搭配使用，但 X3
7、和 X4 两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( )A16 种 B15 种 来源:高考试题库 !STC14 种 D13 种答案 C解析 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题试验方案有：消炎药为 X1、X 2，退烧药有 4 种选法；消炎药为 X3、X 4，退烧药有 3种选法；消炎药为 X3、X 5，退烧药有 3 种选法；消炎药为 X4、X 5，退烧药有 4 种选法，所以符合题意的选法有 433414(种) 二、填空题11用数字 0,1, 2,3,4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1,2 相邻的偶数有_个(用数字作答)答案 24解析 可以分三类情况
8、讨论：若末位数字为 0，则 1,2 为一组，且可以交换位置，3,4各为 1 个数字，共可以组成 12 个五位数；若末位数字为 2，则 1 与它相邻，其余 3 个数字排在前 3 位，且 0 不是首位数字，则共有 4 个五位数；若末位数字为 4，则 1,2 为一组，且可以交换位置，3,0 各为 1 个数字，且 0 不是首位数字，则共有 8 个五位数，所以符合要求的五位数共有 24 个12三边均为整数且最大边长为 11 的三角形有_个答案 36解析 另两边长用 x，y 表示，且不妨设 1xy11.要构成三角形，需 xy12.当y11 时，x1,2，11 ，有 11 个三角形；当 y10 时，x2,3
9、，10 ，有 9 个三角形当 y6 时，x 6，有 1 个三角形所以满足条件的三角形有119753136(个)135 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选出 3 名队员排成1、2、3 号参加团体比赛 ，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员，且 1、2 号中至少有 1名新队员的排法有_种(用数字作答)答案 48解析 本题可分为两类完成：两老一新时，有 32212(种)排法；两新一老时，有233236(种)排法，即共有 48 种排法14已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此 5 个开关共有 25 种可能在这 25 种可能中，电路从 P 到 Q 接通的情况有_种答案
10、16解析 五个开关全闭合有 1 种情况能使电路接通；四个开关闭合有 5 种情况能使电路接通；三个开关闭合有 8 种情况能使电路接通；两个开关闭合有 2 种情况能使电路接通；所以共有 158216 种情况能使电路接通三、解答题15有不同的红球 8 个，不同的白球 7 个来源:高考#试 题(库(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？解析 (1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有 8715 种；(2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有 8756 种16若 x，yN *，且 xy 6，试求有序自然数对(x，y )的个数分析 由题目可
11、获取以下主要信息：(1)由 x，yN *且 xy6，知 x，y 的取值均不超过 6；(2)(x，y )是有序数对解答本题可按 x(或 y)的取值分类解决解析 按 x 的取值时行分类：x1 时，y1,2，5，共构成 5 个有序自然数对；x2 时，y1,2，4，共构成 4 个有序自然数对；x5 时，y1，共构成 1 个有序自然数对根据分类计数原理，共有 N 5432115 个有序自然数对点评 本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑 x，y 的取值均为正整数，且其和不能超过 6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2) 与(2,1)是不同的数对，故可按 x 或 y 的取值进行分类解决计数的关键是抓
12、住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类17随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并有 3 个字母必须合成一组出现，3 个数字也必须合成一组出现那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？解析 将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右字母组合在左时，分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字：第 1 步，从 26 个字母中选 1 个，放在首位，有 26 种选法；第 2 步，从剩下的 25 个字
13、母中选 1 个，放在第 2 位，有 25 种选法；第 3 步，从剩下的 24 个字母中选 1 个，放在第 3 位，有 24 种选法；第 4 步，从 10 个数字中选 1 个，放在第 4 位，有 10 种选法；第 5 步，从剩下的 9 个数字中选 1 个，放在第 5 位，有 9 种选法；第 6 步，从剩下的 8 个数字中选 1 个，放在第 6 位，有 8 种选法根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 262524109811 232 000(个)同理，字母组合在右的牌照也有 11 232 000 个所以，共能给 11 232 00011 232 00022 464 000 辆汽车上牌照18
14、已知集合 Aa 1，a 2，a 3，a 4，集合 Bb 1，b 2，其中 ai，b j(i1,2,3,4，j 1,2) 均为实数(1)从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合 A 为定义域，集合 B 为值域的不同函数？解析 (1)因为集合 A 中的元素 ai(i1,2,3,4) 与集合 B 中元素的对应方法都有 2 种，由分步乘法计数原理，可构成 AB 的映射有 N2 416 个(2)在(1)的映射中，a 1，a 2，a 3，a 4 均对应同一元素 b1 或 b2 的情形此时构不成以集合 A为定义域，以集合 B 为值域的函数，这样的映射有 2 个所以构成以集合 A 为定义域，以集合 B 为值域的函数有 M16214 个高%考试题库
