1、1河北省石家庄市 2018 届高中毕业班模拟考试（一）数学（理科）（时间 120 分钟，满分 150 分）注意事项：l答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
2、题目要求的.1已知集合 ， ，则1,2345,67U|3,AxNUCAA B C D,1,471,472已知 为虚数单位， ，其中 ，则i()ixyi,xRxyiA B C2 D423函数 ，其值域为 ，在区间 上随机取一个数 ，则 的概率是()20)xfD(1,)xA B C D 1134234点 是以线段 为直径的圆上的一点，其中 ，则BC2ABABA1 B2 C3 D45 ， 满足约束条件： ，则 的最大值为xy1yxzxyA-3 B C3 D4326程序框图如图所示，该程序运行的结果为 ，则判25s断框中可填写的关于 的条件是iA 4?iB C 5D i27 南宋数学家秦九韶早在数书九
3、章中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即： ， ） ，并举例“问沙田一段，221()4cabSc有三斜（边） ，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为A82 平方里 B83 平方里 C84 平方里 D85 平方里8 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A B 384C D569已知 是定义在 上的偶函数，且在()fx2,1b上为增函数，则 的解集为2,0b()(2fxfA B C D13,
4、31,1,310在 中， ， ，则 的最大值为BC26ABA B C D77374711过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，点 在直线 上，若 为214yxF 1yABC正三角形，则其边长为A11 B12 C13 D1412设 ， 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点， 正方向到 正方向的角xO Oxx度为 ，那么对于任意的点 ，在 下的坐标为 ，那么它在 坐标系下的坐标MxOy(,)xyy可以表示为： ， .根据以上知识求得椭圆(,)ycosinxcosin的离心率为223510yA B C D6647374二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分. 13命题
5、： ， 的否定为 p01x203x14甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 15一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为 2 的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 16已知函数 ， ，若函数 有三个不同的零点 ，31()xfln()xg()yfgxa1x， （其中 ） ，则 的取值范围为 2x3123123()3三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）
6、必考题：共 60 分17 （本小题满分 12 分）已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 .nanS12()nmR（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .nb21(1)log()nnanbnT18 （本小题满分 12 分）四棱锥 的底面 为直角梯形，SABCD， ， ，/22CD为正三角形.（）点 为棱 上一点，若 平面 ，M/BSM，求实数 的值；（）若 ，求二面角 的余弦值.BCSDA19 （本小题满分 12 分）小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140
7、元，每日前 55 单没有奖励，超过55 单的部分每单奖励 12 元.（）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 （单位：元）与送货单数 的函数关系式；yn（）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 2(1),0时，日平均派送量为 单.(1,2345)n502n若将频率视为概率，回答下列问题： 根据以上数据，设每名派送员的日薪为 （单位：元） ，X试分别求出甲、乙两种方案的日薪 的分布列，数学期望及方差； 结合中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，
8、并说明你的理由.（参考数据： ， ， ，20.6321.4962.76， ， ， ，23.41.591543.， ）024.7.420 （本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且离心率为 ， 为C21(0)xyab1F22M椭圆上任意一点，当 时， 的面积为 1. 129FM12F（）求椭圆 的方程；（）已知点 是椭圆 上异于椭圆顶点的一点，延长直线 ， 分别与椭圆交于点 ，A1AF2B，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值.DB1kOA2k2k21 （本小题满分 12 分） 、已知函数 ， ，在 处的切线方程为()()xfxbea(0)(1,)f.(1
9、)0eye（）求 ， ；a（）若方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： .()fxm1x212x21(2)mex（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数） ，以xOyC3cos1inxry0坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，若lsin()13直线 与曲线 相切；lC（）求曲线 的极坐标方
10、程；（）在曲线 上取两点 ， 与原点 构成 ，且满足 ，求面积MNOMN6O的最大值.MON23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 的定义域为 ；()23fxxmR（）求实数 的取值范围；（）设实数 为 的最大值，若实数 ， ， 满足 ，求t abc22abct5的最小值.222113abc数学（理科）参考答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA二、填空题13. 14. 乙 15. 16. 2:1,30px232,0e三、解答题17 解：(1)法一：由 得 ，12()nSmR12()nSmR当当 时， ，即 ，nna12(na又 ，当 时符合上式，
11、所以通项公式为 .12a 12na法二：由 得 ，1()nSmR123;48()SmR从而有 ，212,aaS所以等比数列公比 ，首项 ，因此通项公式为 .32q112na（2）由（1）可得 ，12log()log()nna，()2nb.111( )35221nn nTbn 18.（1）因为 平面 SDM，/BC平面 ABCD，平面 SDM 平面 ABCD=DM，所以 ，DM/因为 ,所以四边形 BCDM 为平行四边形，A又 ,所以 M 为 AB 的中点.CB26ADCBSM因为 ，ABM.12（2）因为 ， ，CSDC所以 平面 ，B又因为 平面 ，A所 以平面 平面 ，B平面 平面 ，S在
12、平面 内过点 作 直线 于点 ，CDSECDE则 平面 ， E在 和 中，RtAt因为 ，所以 ，S22ASS又由题知 ，45所以 ED所以 ，1AS以下建系求解.以点 E 为坐标原点，EA 方向为 X 轴，EC 方向为 Y 轴， ES 方向为 Z 轴建立如图所示空间坐标系，则 ， ， ， ， ， (0,)(,0)(,0)A(1,2)B(0,)C， ， ， ，(1,)SA(,2)B(,)S(1,)设平面 的法向量 ，则 ，所以 ，令 得1,nxyz10nAB02xzy1x为平面 的一个法向量， 1(,0)nSA同理得 为平面 的一个法向量， 2(,)BC， 12120cos, 5|n因为二面角
13、 为钝角，ASBC所以二面角 余弦值为 .105719.解：（1）甲方案中派送员日薪 （单位：元）与送单数 的函数关系式为： yn，N,0ny乙方案中派送员日薪 （单位：元）与送单数 的函数关系式为：，),5(,214（2）由已知，在这 100 天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：单数 52 54 56 58 60频率 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1所以 的分布列为：X甲甲152 154 156 158 160P0.2 0.3 0.2 0.2 0.1所以 ，=1520.4.31560.28.160.5.4EX甲，22220.+4+5+8.=.S甲所以 的分布列为：X乙乙140
14、 152 176 200P0.5 0.2 0.2 0.1所以 ，=140.520.176.20.1=5.6EX乙，222.56+5+7+04S乙答案一：由以上的计算可知，虽然 ，但两者相差不大，且 远小于 ，即甲方案日工EX乙甲 2S甲 2乙资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出， ，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，乙甲所以小明应选择乙方案.20 解：8（1）设 由题 ， ,21rMF12124cear解得 ，则 ，2,1ac2b椭圆 的方程为 . C2xy（2）设 ， ，00(,)A12(,)(,)BxyC当直线 的斜率不存在时，设 ，则 ，1F,
15、A1,)直线 的方程为 代入 ，可得2A2(1)4yx2y2570x， ，则275x207(,)50D直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 来源:B12()2765kOA2kZ+xx+k.Com，121()66k当直线 的斜率不存在时，同理可得 . 2AF126k当直线 、 的斜率存在时，1 0x设直线 的方程为 ，则由 消去 可得：1AF0(1)yx02(1)yx，22220000()4()xyy9又 ，则 ，代入上述方程可得201xy2200yx，222000(3)()34，则101004,xx000134(1)232yxyx，003(,)23yBx设直线 的方程为 ，同理可得 ，2AF0
16、(1)x0034(,)23xyD直线 的斜率为 ，BD00001 220234146yxykx直线 的斜率为 ，OA02ykx.来源:Z.xx.k.Com2020012 136366xxyykx 所以，直线 与 的斜率之积为定值 ，即 . BDOA12k21解：（）由题意 ，所以 ，10f()0fbae又 ，所以 ，源:学.科.网 Z.X.X.K()xfxbea1()fae若 ，则 ，与 矛盾，故 ， .1ae20bb（）由（）可知 ， ，()1xfxe(0),(1)0ff设 在(-1，0)处的切线方程为 ，来源:Zxxk.Com)(xf )(h易得，令1hxe()Fxfhx10即 ， ，1(
17、)xFxex1()2xFe当 时，2()20xe当 时，x设 ， ，1()xGF()3xGe故 函数 在 上单调递增，又 ，2,10F所以当 时， ，当 时， ， 1x()0x,()0x所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，()F, ,故 ，0x，1()fh设 的根为 ，则 ，xm1x1me又函数 单调递减，故 ，故 ， ()h1()()hfxh1x设 在(0,0)处的切线方程为 ，易得 ，yfxytt令 ， ，()()1xTte()2xTxe当 时， ，2x20x当 时，故函数 在 上单调递增，又 ，()Tx2,(0)T所以当 时， ，当 时， ， 0()Tx,()0x所以函数
18、在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，()x, ,，T，2()fxt设 的根为 ，则 ，m2x2m又函数 单调递增，故 ，故 ， ()t 2()()tfxt2x11又 ，1x. 2121 (12)1mee选作题22（1）由题意可知直线 的直角坐标方程为 ，l 32yx曲线 是圆心为 ，半径为 的圆，直线 与曲线 相切，可得： ；可知C(3,1)rlC312r曲线 C 的方程为 ， 22()4xy所以曲线 C 的极坐标方程为 ，3cosin0即 . 4sin()3(2)由（1）不妨设 M（ ） ， ， （ ）1,)6,(2N120,6sin2OSMON. 当 时, ，1232MONS所以MON 面积的最大值为 . 23. 【解析】（1）由题意可知 恒成立，令 ，32xm3()2xg去绝对值可得： ，6,()3(0),xg画图可知 的最小值为-3，所以实数 的取值范围为 ； ()xm3（2）由（1）可知 ，所以 ， 229abc222115abc22221()()335cabc12， 22222213133 93515bacacb 当且仅当 ，即 等号成立，222c224,c所以 的最小值为 . 222113ab35
