1、 初中数学方法与技巧专题;巧妙构造，“圆”来如此 初中有许多几何问题虽然与圆无关，但是若能根据问题的条件、图形的特征巧妙的构造圆或找出实际存在的圆，就能充分运用圆的丰富性质为解题服务，使问题获得简解或巧解. 如果遇到如下情形不妨作出辅助圆： 有公共端点的等线段； 与“等腰三角形”相关的讨论； 与“直角、垂直”相关的探讨； 解与“旋转”相关的问题等. 一、巧妙构造圆，解决角的问题 【例题1】（2009武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，ABC=ADC=70，则DAO+DCO的大小为 . 【答案与解析】 常规解法：解：根据四边形的内角和定理可得：DAB+DCB=220， O
2、A=OB=OC，ABC=ADC=70，OAB=OBA，OCB=OBC， OAB+OCB=70，DAO+DCO=22070=150 巧解：由OA=OB=OC可知，OA、OB、OC是以O为公共端点的等线段，以O为圆心OA为半径构造圆，则AOC=2ABC=140，则AOC+D=210，由四边形内角和可知DAO+DCO=360210=150 【同步练习】（第21届江苏竞赛）如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若BAC=25，CAD=75，则BDC= 度，DBC= 度 【答案与解析】 常规解法：AB=AC=AD，ADB=ABD，ACB=ABC，ADC=ACD， BAC=25，CAD=75，ACB
3、=（18025）2=77.5，DAB=DAC+CAB=100， ADC=ACD=（18075）2=52.5， ADB=（180100）2=40， BDC=ADCADB=52.540=12.5，DCB=DCA+ACB=52.5+77.5=130， DBC=180DCBBDC=18013012.5=37.5 BDC=12.5，DBC=37.5 巧解：AB=AC=AD，点B，C，D在以A为圆心的圆上， BAC=25，BDC= BAC=12.5， CAD=75，DBC= CAD=37.5 故答案为：12.5，37.5 【例题2】(2011北京中考节选)在矩形ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，
4、交直线DC于点FG是EF的中点，BDG的度数为 . 【答案与解析】 常规解法1：如图甲，由角平分线及平行线的性质可推出CE=CF；连接BG、CG，由SAS可证DGFBGC，得到BGD为等腰直角三角形，所以BDG=45； 常规解法2：如图乙，间接分割构造相似，只需求出BDA+CDG的值，而CDG所在的CDG有一个角为135，故可构造一个含BDA在内的有一个角为135的钝角三角形.在AD上截取AH=AB，连接BH、CG.证明DHBGCD. 巧解：如图丙，A、B、C、D四点共圆，连接CG，易知CGA=90，则点G也在ABCD所在的圆上，直接由圆周角定理得BDG=BAG=45. 二、巧妙构造圆，解决线
5、段的问题 【例题3】（2011呼和浩特）如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC=1，AB=AC=AD=2则BD的长为（ ） 【答案与解析】 常规解法：如图所示，可求得DE=CF=415,AE=47BD= 15 巧解：连接DF DCAB， = ， DF=CB=1，BF=2+2=4， FB是A的直径， FDB=90， BD= = 【同步练习】（2010鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，BAC=3DBC，BD=6 +6 ，则AB= 【答案与解析】 常规解法：作CFBD，垂足为F，AB=AC，E是CB的中点，AE=ECAE=BE=EC，AEBC， BAE=
6、ABE=45，ACE=EAC=45，BAC=90， 又BAC=3DBC，DBC=30，ABD=ADB=15， BAD=150，CAD=60，ACD为等边三角形， 设AB=AC=CD=x，在RtABC中，BC= x， 在RtBCF中，FBC=30，BF= BC= x，同理，DF= x， 由DF+BF=BD，得 x+ x=6 +6 ，解得x=12，即AB=12 巧解：以点A为圆心，AB为半径画圆，作CFBD，垂足为F， AB=AC=AD，C、D两点都在A上， E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得，AE=EC=BE，AEBC， BAC=90，BDC= BAC=45， 又BAC=3DBC，DBC=
7、30， CAD=2DBC=60，ACD为等边三角形，设AB=AC=CD=x， 在RtABC中，BC= x， 在RtBCF中，FBC=30，BF= BC= x，同理，DF= x， 由DF+BF=BD，得 x+ x=6 +6 ，解得x=12，即AB=12 三、巧妙构造圆，解决直角的问题 【例题4】(2012广州中考节选)如图：在平面直角坐标系中,点A(-4,0)，B(2,0).若直线l经过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A,B,M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式。 【答案与解析】 以AB为直径作F，圆心为F过E点作F的切线，这样的切线有2条 连接FM，过M作MNx轴
8、于点N A（4，0），B（2，0），F（1，0），F半径FM=FB=3 又FE=5，则在RtMEF中，ME= =4，sinMFE= ，cosMFE= 在RtFMN中，MN=MFsinMFE=3 = ，FN=MFcosMFE=3 = ，则ON= ， M点坐标为（ ， ）直线l过M（ ， ），E（4，0）， 设直线l的解析式为y=kx+b，则有 ，解得 ，所以直线l的解析式为y= x+3 同理，可以求得另一条切线的解析式为y= x3 综上所述，直线l的解析式为y= x+3或y= x3 【例题5】（2012临沂节选）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动 （1
9、）如图2，当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由； （2）如图3，当b2a时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 【答案与解析】 常规解法：（1）解：存在， 理由：若BMC=90，则AMB+DMC=90， 又AMB+ABM=90，ABM=DMC， 又A=D=90，ABMDMC， = ， 设AM=x，则 = ，整理得：x2bx+a2=0，b2a，a0，b0， =b24a20，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， 当b2a时，存在BMC=90， （2）解：不成立 理由：若BMC=90，由（2）可知x2bx+a2=0， b2
10、a，a0，b0，=b24a20，方程没有实数根， 当b2a时，不存在 BMC=90 ，即（2）中的结论不成立 巧解：(1)以BC为直径做圆O，因为ABCD是矩形，则圆心O到直线AD的距离等于a. 直径b2a，圆心O到直线AD的距离a小于半径2b， 圆O与直线AD相交，设交点为E、F，则BEC=BFC=90，所以当点M运动到与E、F重合时，有BMC=90. 当b2a时，存在BMC=90， (2) 以BC为直径做圆O，因为ABCD是矩形，则圆心O到直线AD的距离等于a. 直径b2a，圆心O到直线AD的距离a大于半径2b， 圆O与直线AD相离，直线AD与圆O没有公共点. 当b2a时，不存在 BMC=
11、90 ，即（1）中的结论不成立 四、巧妙构造圆，解决旋转问题 【例题6】（2012北京中考节选）在 ABC 中，BA=BC， M是AC的中点，P是线段BM上的动点，点P不与点B，M重合，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想 CDB 的大小（用含的代数式表示），并加以证明； 【答案与解析】 常规解法：如图，连接PC，AD， AB=BC，M是AC的中点，BMAC，即BD为AC的垂直平分线， AD=CD，AP=PC，PD=PD，在APD与CPD中， ，APDCPD（SSS），ADB=CDB，PAD=PCD， 又PQ=PA，PQ=PC，ADC=21，4=P
12、CQ=PAD， PAD+PQD=4+PQD=180，APQ+ADC=360（PAD+PQD）=180， ADC=180APQ=1802，2CDB=1802， CDB=90； 巧解：以 P 为圆心，PA 为半径做圆，由APQ=2，则PCD=21APQ=，由题意，容易证得ACBD， CDB=90 五、巧妙构造圆，解决点的存在个数问题 【例题7】如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60的角，在直线l上取一点P，使得APB=30，则满足条件的点P的个数是 个。 【答案与解析】 要在直线l上找点P使APB=30，可以构造以AB为边作等边三角形ABO，则AOB=60，然后以O为圆心，AB为半径
13、，作圆O，如图，ABO为等边三角形OBl，点O到l的距离dr,所以点O与直线l有两个交点，P1、P2。 五、巧妙构造三角形的外接圆 【例题8】已知A（1，0），B（3，0），点P为y轴上一点，且 APB=135 ，则点P的坐标是 . 【答案与解析】 常规解法：设点P的坐标是（0，y），作ABP的高AC 在RtACP中，ACP=90，APC=180APB=180135=45，AC=CP= AP= 在RtACB中，ACb=90，AC2+BC2=AB2， +（ + ）2=16，解得y=2 或 2 所以点P的坐标是（0，2 ）或（0， 2） 故答案为（0，2 ）或（0， 2） 巧解：当点在y轴的正半轴
14、上时，把APB看成圆周角，作ABP的外接圆，则圆心Q在AB的垂直平分线上，APB=135，AQB=90，容易求的圆心Q（1，-2），点P在圆Q上，则P到Q的距离等于半径，PQ= 22 ，P 2-70， ，由对称性可知，另一点P的坐标为（0，2 ），故答案为（0，2 ）或（0， 2） 【例题9】如图1，在ABC中，AB=AC， B的平分线交AC于D，BC=BD+AD，求A的度数。 【答案与解析】解：作ABD的外接圆交BC于E，连结DE。因为BD是ABC的平分线， 所以AD DE得AD=DE 且所以由得所以 EDC ABC CEC DE ADDEB CBC BD AD BE ECBE BDDEB
15、BDE C22在 中BDE C C C122 2 180 所以故 C ABCA40100【例题10】CAB中AB=AC,D是BC边上一点，求证：AC2=AD2+BDDC 【答案与解析】 六、巧妙构造圆，解决与等腰三角形有关的点的坐标问题 【例题11】如图，一次函数y=2x-2图像与x轴、y轴交于A、B两点，试在坐标轴上找一点P，使得PAB为等腰三角形 【答案与解析】 七、巧妙构造圆，解决综合问题 【例题12】(2014年山东淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点 （1）使APB=30的点P有 个； （2）若点P在y轴上，且APB=30，求满足条
16、件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时APB最大的理由；若没有，也请说明理由 【答案与解析】 分析： （1）已知点A、点B是定点，要使APB=30，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60即可，显然符合条件的点P有无数个 （2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标 （3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆
17、外角要APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题 解答： 解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作C，交y轴于点P1、P2 在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则APB= ACB= 60=30 使APB=30的点P有无数个故答案为：无数 （2）当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CGAB，垂足为G，如图1 点A（1，0），点B（5，0），OA=1，OB=5AB=4 点C为圆心，CGAB，AG=BG= AB=2OG=OA+AG=3 ABC是
18、等边三角形，AC=BC=AB=4 CG= = =2 点C的坐标为（3，2 ） 过点C作CDy轴，垂足为D，连接CP2，如图1， 点C的坐标为（3，2 ），CD=3，OD=2 P1、P2是C与y轴的交点，AP1B=AP2B=30 CP2=CA=4，CD=3，DP2= = 点C为圆心，CDP1P2，P1D=P2D= P2（0，2 ）P1（0，2 + ） 当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0，2 ）P4（0，2 + ） 综上所述：满足条件的点P的坐标有： （0，2 ）、（0，2 + ）、（0，2 ）、（0，2 + ） （3）当过点A、B的E与y轴相切于点P时，APB最大 当点P在y轴的正半轴
19、上时，连接EA，作EHx轴，垂足为H，如图2 E与y轴相切于点P，PEOP EHAB，OPOH，EPO=POH=EHO=90 四边形OPEH是矩形OP=EH，PE=OH=3EA=3 EHA=90，AH=2，EA=3，EH= = = OP= P（0， ） 当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0， ）理由： 若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合）， 连接MA，MB，交E于点N，连接NA，如图2所示 ANB是AMN的外角，ANBAMB APB=ANB，APBAMB 若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：APBAMB 综上所述：当点P在y轴上移动时，APB有最大值， 此时点P的坐标为（0， ）和（0， ）
