1、第 1 章 集 合第 1课时 集合的含义及其表示(1)教学过程一、 问题情境(1) 小于 10 的所有偶数;(2) 中国的直辖市;(3) 单词 book 中的字母;(4) 到一个角的两边距离相等的所有的点;(5) 方程 x2-5x+6=0 的所有实数根;(6) 不等式 x-30 的所有解;(7) 某高中全体高一学生 .二、 数学建构问题 1 以上实例有什么共同特征?(引导学生说出:一定范围内,确定的 ,不同对象 .然后通过学生回答,总结出集合的含义)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合 .集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合 A、集合 B.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称
2、元 .集合的元素常用小写的拉丁字母来表示,如元素 a、元素 b.问题 2 回答下列问题:(1) 已知 A=1, 3,问:3, 5 哪个是 A 的元素? (2) “所有素质好的人”能否构成一个集合 A?(3) A=2, 2, 4表示是否准确?(4) A=太平洋,大西洋, B=大西洋,太平洋 是否表示同一个集合?由上述问题可以归纳出集合中元素的特征: 确定性:设 A 是一个给定的集合, x 是某一个具体对象,则“ x 是 A 的元素”或者“ x 不是 A 的元素” 这两种情况必有一种且只有一种成立 . 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不能重复出
3、现同一元素 . 无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照由小到大的数轴顺序书写 .问题 3 元素与集合之间有怎样的关系?解 如果 a 是集合 A 中的元素,就记作 aA,读作“ a 属于 A”;如果 a 不是集合 A 中的元素,就记作 aA 或aA,读作“ a 不属于 A”.问题 4 常用的数集有哪些?它们分别用什么数学符号表示?解 自然数集(非负整数集):N,正整数集:N *或 N+,整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R .问题 5 集合的表示方法有哪些?(1) 列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“ ”中,元素之间用逗号分隔 .列举时与元素次序无关,如北
4、京,上海,天津, 重庆 .集合的相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等,如北京,上海,天津,重庆 =天津,重庆,北京,上海 .思考 “问题情境” 中的集合都能用列举法表示吗 ?如果能,请表示出来 .(2) 描述法:将集合中所有元素都具有的性质(满足的条件) 表示出来,写成 x|p(x)的形式 .x|p(x)中 x 为集合的代表元素, p(x)指元素 x 具有的性质,如 x|x 为中国的直辖市, x|x-30, xR.(3) Venn 图:有时用 Venn 图示意集合(如图 1),更显直观 .(图 1)问题 6 按照元素的个数,集合该怎样分类?(1) 有限集:含有有限个元
5、素的集合称为有限集 .(2) 无限集:含有无限个元素的集合称为无限集 .(3) 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作,如 x|x2+x+1=0, xR=.三、 数学运用【例 1】 下列各组对象能否构成集合:(1) 所有的好人;(2) 小于 2012 的数;(3) 和 2012 非常接近的数;(4) 小于 5 的自然数;(5) 不等式 2x+17 的整数解;(6) 方程 x2+1=0 的实数解 . (见学生用书课堂本 P12)处理建议 引导学生根据定义判断 .规范板书 解 (1)(3)不符合集合中元素的确定性,因此,只有(2)(4)(5)( 6)能够构成集合 .题后反思 解决这类题目要抓住集合
6、中元素的两个特征:确定性,互异性 .【例 2】 用符号“ ”或“ ”填空:- Q, -5 x|x5 的解集;(4) 用列举法表示方程组 的解的集合 . (见学生用书课堂本 P3)处理建议 关键要规范学生用描述法和列举法表示集合 .规范板书 解 (1) x|x=2n+1, 0n4 且 nN; (2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; (3) x|x4, xR; (4) (2, -1).题后反思 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来 .(2)描述法:把集合中的所有元素具有的性质表示成 x|p(x)的形式 .【例 2】 已知 M=2, a, b, N=2a, 2, b2,且 M=N,求实
7、数 a, b 的值 . (见学生用书课堂本 P4)处理建议 引导学生从集合相等及集合中元素的互异性两方面考虑 .规范板书 解 由 M=N 得 或 解得 或题后反思 两个集合所含的元素完全相同,则这两个集合才相等,此时的情况要考虑全面,不要漏解 .此外,还要注意集合中元素的互异性 .变式 若某含有三个元素的集合可表示为 ,也可表示为 a2, a+b, 0,求 a 和 b 的值 .规范板书 解 易知 a0,又 a1,故 aa2,从而 a=a+b,于是 b=0.从而由 a2=1 且 a1 得 a=-1.【例 3】 已知 M= ,求集合 M. (见学生用书课堂本 P4)处理建议 抓住代表元素的限制条件
8、进行分析 .规范板书 解 xN, Z, 1+x=1 或 1+x=2 或 1+x=3 或 1+x=6, x=0, 1, 2, 5. M=0, 1, 2, 5.变式 已知 M= ,求集合 M.规范板书 解 xN, Z, 1+x=1 或 1+x=2 或 1+x=3 或 1+x=6, =6, 3, 2, 1. M=6, 3, 2, 1.题后反思 审题时要注意与例 3的不同,主要抓住代表元素的区别 .二、 课堂练习1. 请你就有限集、无限集、空集各举一个例子 .解 略 .2. 用列举法表示下列集合:(1) x|x 是 14 的正约数;(2) (x, y)|x1, 2, y1, 2;(3) (x, y)|
9、x+y=2, x-2y=4;(4) x|x=(-1)n, nN;(5) (x, y)|3x+2y=16, xN, yN.解 (1) 1, 2, 7, 14; (2) (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2); (3) ; (4) -1, 1; (5) (0, 8), (2, 5), (4, 2).3. 用描述法表示下列集合:(1) 偶数的集合;(2) 正奇数的集合;(3) 不等式 -x20 的解集;(4) 平面直角坐标系中第四象限的点组成的集合;(5) .解 (1) x|x=2n, nZ或 x|x 为偶数; (2) x|x=2n+1, nN或 x|x 为正奇数; (3) x
10、|-x20;(4) (x, y)|x0, y0, xR;(3) S=x|x 为地球人, A=x|x 为中国人, B=x|x 为外国人 .(见学生用书课堂本 P5)处理建议 利用数形结合思想,通过 Venn图或数轴辅助,帮助学生观察得出结论 .规范板书 解 在(1)( 2)(3)中都有 AS, BS. 问题 3 观察上述 A, B, S 三个集合,它们之间还存在着怎样的关系?(A 和 B 中的所有元素共同构成了集合 S,且 S 中除去 A 中元素即为 B 中元素;反之亦然)问题 4 请同学们举出类似的例子 .(如 A=班上男同学, B=班上女同学, S=全班同学 .通过举例分析,让学生观察并概括
11、出补集、全集的概念 )补集:设 AS,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集,(图 2)记作 SA(读作“ A 在 S 中的补集” ),即 SA=x|xS,且 xA.(参见图 2)全集:如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合的全部元素,这时集合 S 就可以看做一个全集,全集通常记作 U.变式 (1) 若 S=2, 3, 4, A=4, 3,则 SA= ; (2) 若 S=三角形, B=锐角三角形,则 SB= ; (3) 若 S=1, 2, 4, 8,A=,则 SA= ; (4) 若 U=1, 3, a2+2a+1,A=1, 3,UA=4,则 a= ; (5)
12、已知 A=0, 2, 4,UA=-1, 1,UB=-1, 0, 2,则 B= ; (6) 设全集 U=2, 3, m2+2m-3, A=|m+1|, 2,UA=5,求实数 m 的值 .规范板书 解 (1) 2; (2) 直角三角形或钝角三角形; (3) 1, 2, 4, 8; (4) -3; (5) 1, 4; (6) 由题意得 m2+2m-3=5 且 |m+1|=3,解得 m=-4 或 m=2. 题后反思 第(1)题主要是比较集合 A与 S的区别;第(2)题要注意三角形的分类;第(3)题要注意空集定义的运用;第(4)题利用集合中元素的特征;第(5)题利用 Venn图;第(6)题注意补集定义的
13、运用 .【例 3】 (1) 若不等式组 的解集为 A,试求 A 和 RA,并把它们分别在数轴上表示出来 ;(2) 设全集 U=R, A=x|x1, B=x|x+a0, C=x|0a;(-, b)=x|x6 或 x6 或 x-2,B=x|x3,求 AB.解 在数轴上将 A, B 分别表示出来,阴影部分即为 AB,故 AB=x|x-2.(第 4题)五、 课堂小结1. 集合的交集、并集的运算方法及性质的应用 .2. 区间的概念 .第 5课时 本章复习教学过程一、 知识梳理1. 集合的含义、表示方法及分类(1) 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合 .(2) 集合常用的表示方法:列举法、
14、描述法、Venn 图、区间 .(3) 集合按元素的个数分为两类:有限集、无限集 .2. 集合表示方法之间的转化列举法具体化文字描述法 属性描述法 符号表示法直观化图示法说明:高中数学解题的关键也是“四化” .3. 集合的基本运算(1) 子集: AB 定义为“ 对任意 xA,都有 xB”,图示表现为“ A 在 B 中包含着” .真子集: AB 意味着 AB 且 AB.(2) 集合运算比较:运算类型 交 集 并 集 补 集定 义由所有属于集合 A且属于集合 B 的元素组成的集合 ,叫做A 与 B 的交集 ,记作AB(读作 “A 交 B”),即 AB=x|xA,且xB.由所有属于集合 A或属于集合
15、B 的元素组成的集合 ,叫做A 与 B 的并集 ,记作AB(读作 “A 并 B”),AB=x|xA,或 xB.设 S 是一个集合 ,A是 S 的一个子集 ,由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合 ,叫做 S 的子集 A 的补集 (或余集 ),记作SA(读作 “A 在 S 中的补集 ”),即SA=x|xS,且 xAVenn图性质 AA=A; A=; AB=BA; ABA; ABB. AA=A; A=A; AB=BA; ABA; ABB. (UA)(UB)=U(AB); (UA)(UB)=U(AB); A(UA)=U; A(UA)=.提醒:要特别关注集合问题中空集、元素的互异性及代表元素这三个概
16、念,以防出错 .二、 数学运用(一) 集合的有关概念【例 1】 已知 P=y|y=x2+1, Q=x|y=x2+1, M=(x, y)|y=x2+1, N=x|x1,则相等的集合有哪些? (见学生用书课堂本 P9)处理建议 注意区别代表元素是点集,还是数集 .规范板书 解 P=1, +), Q=R, N=1, +), P=N.题后反思 (1)注意区别集合中的代表元素,“代表元素” 实质上是认识和区别集合的核心 .代表元素不同,有时即使是同一个表达式,它们所表示的集合也不同,例如: A=x|y=x2=R, B=y|y=x2=0, +), C=(x, y)|y=x2.(2)关键是抓住集合是数集,还是点集 .数集是个范围,与用什么字母表示没有关系(例如,虽然E=x|x-3, F=y|y-3,但仍然有 E=F),所以用区间来写更容易理解 .变式 1 对于“例 1”,PQ=?规范板书 解 P=1, +), Q=R, PQ=1, +).变式 2 已知 M=x|x=a2+1, aR, P=y|y=b2-6b+10, bR,问:集合 M 与集合 P 之间是什么关系?
