1、,函数概念和图象 （第1课时） 江苏省宿豫中学 杨亚,y,x,0,y=kx+b,函数一章在高中数学的学习中起着承上启下的作用，函数思想更是贯穿于高中数学学习始终。它是在初中初步探讨函数的概念，函数关系的表示方法、图象的位置等基础上，对函数概念的再认识，即用集合的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并研究了单调性和奇偶性这两个重要特征，为今后的学习打下良好的基础，为进一步学习指、对数函数、幂函数、三角函数及导数提供了良好的保证。这些内容是函数及应用研究的深入及提高，也是今后进一步学习和参加工农业生产建设需要具备的基础知识。本章的学习对中学生数学学习起着决定性的作用。而且不仅是知识性方面
2、，更重要的学习方法方面，也将是终身受益的一章。,一、目的要求：,1、本课的地位和作用,（1）知识目标：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念，明确决定函数的三要素，即定义域、值域和对应法则；进一步理解对应法则的意义。（2）能力目标：通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；培养学生理论联系实际的能力；培养学生用运动变化的观点认识世界的思维习惯。（3）情感目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学态度和勇于创新的精神。,2、 教学目标,4、教学难点： 函数的概念的理解,3、教学重点： 函数概念的形成过程
3、以及在集合的基础上对函数概念的理解,5、教学用具： 直尺，三角板，投影笔，幻灯片，几何画板,二、说教学设计,现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。函数现代定义既是本课的重点，又是难点。如何突破？我认为就是应该抓住学生已有知识结构中的函数传统定义作为新知识的固着点，利用实例的引入讨论结合集合概念作为突破口，通过传统定义和现代定义的比较，化抽象为具体，从而引导学生理解并掌握概念。教学中，我首先以生活中的现象为背景，引出描述两个变量之间
4、关系的必要性，上承集合，下引函数。三个问题的描述方法各不相同，与函数的三种表示方法相对应。通过背景设置激发学生在集合的基础上研究两个变量之间关系的欲望和兴趣。然后引导学生利用集合给出函数现代定义。化抽象为具体，解决了由于陌生而产生对新概念的恐惧。,三、说教法：,教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：（1）比较法：通过初中的函数的概念和高中阶段的函数的概念进行比较，初中的概念是强调了两个变量之间的对应关系，而高中的概念强调了函数的
5、三要素构成了函数这个整体，深入地理解函数概念的本质；其次比较与之间的区别，f（x）是变量，而f（a）是常量；还要比较定义域、值域和集合A、B的关系。（2）启发导学：函数概念的学习是初中函数内容的深化和延伸首先由实例的给出启发学生发现共性，再引导学生结合集合知识进行分析，总结出两个数集间的对应关系，得出函数概念（3）分组讨论：由学生对三个实例的讨论引出函数概念，对概念的讨论，强化对概念的理解，同时调动学生的积极性和课堂学习的主动性并激发学生学习的兴趣,四、说学法：,“授人与鱼，不如授人与渔”。教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时
6、间和空间，进行以下学法指导： （1）比较法：在初步理解函数概念的同时，要求学生比较 函数的概念，特别加深理解数学知识之间的相互渗透性。 （2） 观察分析：让学生由实例的形象性和直观性去观察问题，分析问题和解决问题。 （3）分组讨论：要求学生在发现问题时进行讨论，归纳总结出解决问题的方法，即激发了学习的主动性又培养了数学学习的兴趣，既拓展了思维空间，又培养了解决问题能力,五、说教学过程,（一）、情景设置,问题1：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。从人口统计年鉴中可以查得我国从19491999年人口数据资料如下表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况吗？,问题2：一物体从静止开
7、始下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2，若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？,问题3：下图为某市一天24小时内的气温变化图。（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？（2）在什么时候气温为00C？（3）在什么时段内，气温在00C以上？,x,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,y,-,引导学生观察三个问题中变量的个数，及相互关系，找出共性 提问：问题1中年份与人口数间有何关系？问题2中下落的距离和时间有何联系？问题3中气温和时间的关系呢？他们有何共同点？（每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个
8、变量的值随之唯一确定，即每一个问题都涉及一个确定的函数）。能否用我们所学知识给出函数的模型呢？能否从集合的角度来研究它们呢？问题1中涉及了几个集合，怎么表示？集合中的元素是什么？两个集合中的元素有何关系？你能用图示法表示出这种关系吗？（学生讨论，给出总结归纳：一个输入值对应到唯一的输出值）,每一个问题中都涉及两个非空数集A、B,例如，在第一个问题中，一个集合A是由年份数组成即A=1949，1954，1959，1964，1969，1974，1979，1984，1989，1994，1999,另一个集合B是由人口数（百万人）组成，即B=542，603，672，705，807，909，975，1035
9、，1107，1177，1246,存在某种对应法则，对于A中任意元素x，B中总有一个元素y与之对应,19491954195919641969197419791984198919941999,5426036727058079099751035110711771246,A,B,学生观察集合A、B中元素的对应关系，引申到2、3两问中进行推广既从数上进行了类比，又从形上进行了直观的探讨，清楚地表示出这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征，即单值对应。,引出：函数就是建立在两个非空的数集上的单值对应,再由学生讨论出函数的概念：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中
10、的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y=f（x），xA，其中，所有的输入值x的组成集合A叫做函数y=f（x）的定义域，所有的输出值y组成集合C叫做函数y=f（x）的值域,引导学生对概念进行分析：为何数集A、B要非空？对应从B到A可以吗？A中若只有某个元素满足某种对应可以吗？某个输入值对应两个或多个输出值可以吗？（即强化了对概念的理解，又为后面的映射作了铺垫）数集A、B的非空性； 对应法则的方向性：从A到B；集合A中元素的任意性； 输入值对应输出值的唯一性,符号f（x）是一个抽象的概念，是对函数概念的深化。y=f（x），表示y是x的函数，可以
11、理解为对应法则f对自变量x的作用，而不是表示y等于f与x的乘积；对于函数定义域内一个具体的数a，f（a）表示f（x）在x=a时的函数值。,给定函数时要指明函数的定义域。若解析式中未指明定义域，这时函数的定义域通常是指能使这个式子有意义的所有实数的集合，而对于实际应用问题来说，定义域还必须是实际问题本身所允许的。,值域，它取决于定义域和对应法则,函数概念有三个要素：对应法则，定义域和值域,例1、判断下列对应是否为函数：,（1）x ，x0，xR；,（2）x y，这里y2=x，xN，yR,例1的设置，使学生进一步体会对应关系（对应法则）在刻画函数概念中的核心作用。强调了输入值与输出值的单值对应。同时
12、为映射概念的给出作铺垫。,变式：y x，这里y2=x，xN，yR,例2、求下列函数的定义域： （1） f（x）= ；（2） g（t）= 例2的设置强调了对定义域的理解：若解析式中未指明定义域，这时函数的定义域通常是指能使这个式子有意义的所有实数的集合，而对于实际应用问题来说，定义域还必须是实际问题本身所允许的。进一步体现了输入值对输出值的单值对应。同时体现函数的决定量在于对应法则、定义域、值域，而与函数用什么字母无关。,例3试比较下列两个函数的定义域和值域： （1） f（x）=（x-1）2+1 例3的选取，目的是巩固值域的概念，对于函数f：A到B 而言，如果值域是C，那么C是B的子集，不能将B
13、当成函数的值域；同时类比两个函数相同的判断依据，对应法则、定义域、值域都相同的函数，才能称为相同函数。,（2）f（x）=（x-1）2+1，x -1，0，1，2， 3 ,练习1的设置强调了对应法则的单值对应，可以多对一，进一步理解函数的特征，为映射的学习作进一步的铺垫。,练习2的处理强调了自变量在不同范围在内对应法则下的单值对应，通过具体数值的对应，加深对函数概念的理解，同时为下一节的分段函数极其图象埋下伏笔。,练习3的处理进一步强调了函数的灵魂：对应法则的作用,练习4的设置进一步强调了函数概念的理解以及判断依据,课堂小结,1、函数的定义：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y=f（x），xA，其中，所有的输入值x的组成集合A叫做函数y=f（x）的定义域，所有的输出值y组成集合C叫做函数y=f（x）的值域,2、函数的理解：数集A、B的非空性； 对应法则的方向性：从A到B； 集合A中元素的任意性； 输入值对应输出值的唯一性,3、函数概念有三个要素：对应法则，定义域和值域,4、函数的简单应用：判断对应是否为函数；求函数定义域和值域,作 业,课本P24-25：5，6，7,思考：函数概念，能否从形的角度给予解释,谢谢指导,请多提宝贵意见！,
