1、第 5 课时 等差数列的前 n 项和(1)教学过程一、 问题情境数学家高斯 10 岁时,有一次老师出了一道题目: “计算:1 +2+3+100.”正当大家在一个一个相加时,高斯给出了答案:“5050.”老师问高斯:“你是如何算出答案的?”高斯回答:“ 因为1+100=101,2+99=101,50+51=101,所以 10150=5050.”二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 高斯的老师提出计算这一串数的和本质上是什么数列求和?(结合已学知识,引导学生说出: 本质上是等差数列求和)问题 2 高斯使用的方法,其实是发现了这个数列哪些项的和具有特殊性?(引导学生看到:a 1+a100=a2+a
2、99=a3+a98=)问题 3 在一般的等差数列中 ,当满足什么条件时,这种两项和相等的关系仍然存在?(引导学生说出等差数列的性质:若 m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq)问题 4 设等差数列 的前 n 项和为 Sn,你能用高斯的方法求出等差数列的前 n 项和吗?(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)通过讨论,结合前面具体问题 ,给出等差数列前 n 项和公式的推导过程以及前 n 项和公式.因为 Sn=a1+a2+a3+an,把各项的次序反过来, Sn 又可以写成 Sn=an+an-1+an-2+a1,两式相加,得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)
3、+(an+a1).因为 1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=n+1,所以a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1,所以 2Sn=n(a1+an),即有 Sn= .(二) 理解概念1. 强化推导方法“倒序相加法”的使用,同时, 指出这一推导思想也是两项和性质的应用.2. 根据等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,又可以得到 Sn=na1+ .(围绕基本量 a1 和 d)3. 整理 Sn=na1+ ,又可以得到 Sn=n2+ n,所以等差数列的前 n 项和公式是一个无常数项的一元二次函数形式.(三) 巩固概念问题 5 请说出高斯的老师需要计算的这个数列的前 n 项和.这个
4、数列的前 n 项和 Sn= 或 Sn=n1+ =问题 6 (根据教材 P44 练习第 2 题改编)(1) 已知等差数列 中,a 1=7,a10=-43,则 S10=-180;(2) 已知等差数列 中, a1=100,d=-2,则 S50=2550.三、 数学运用【例 1】 (教材 P43 例 2)在等差数列 中,已知 d=,an=,Sn=- ,求 a1 及 n.3(见学生用书课堂本 P25)处理建议 利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式建立等量关系,让学生应用公式进行计算,其中体现了方程的思想.规范板书 解 由题意得由得 a1=-n+2,代入 后化简得 n2-7n-30=0,所以 n=10
5、 或 n=-3(舍去),从而 a1=-3.题后反思 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式; 在等差数列的通项公式与前 n 项和公式中,含有a1,d,n,an,Sn 五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.变式 在等差数列 中,已知 a2+a5=19,S5=40,求 a10,S10.处理建议 让学生先讨论,运用公式进行计算,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.规范板书 解 设这个等差数列的首项为 a1,公差为 d,由已知得解得 a1=2,d=3.所以 a10=a1+9d=29,S10
6、=10a1+ d=155.【例 2】 若等差数列 的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,求该等差数列的前 110项和. 4(见学生用书课堂本 P26)处理建议 处理等差数列的问题,找到基本量就能解决,两个条件刚好可以提供求解基本量的二元方程;讲解时,可以先由学生讨论,尝试进行计算;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的不同的计算方法及过程,纠正可能出现的错误.规范板书 解法一 设等差数列 的首项为 a1,公差为 d,由已知得10-,整理得 d=- ,代入 解得 a1= .所以 S110=110a1+ d=110 + =-110.题后反思 在与等差数列相关的计算问题中,
7、a 1,d,n,an,Sn 这五个量可知三求二,其中 a1,d 是基本量,利用它们列方程或方程组是处理问题的最基础的手段.解法二 设等差数列 的前 n 项和为 Sn=an2+bn,则由已知得 解得a=- ,b= .所以 Sn=- n2+ n,所以 S110=- 1102+ 110=-110.题后反思 等差数列前 n 项和公式 Sn 是关于 n 的无常数项的一元二次函数式 ,利用这个公式特征进行代定系数法求解,比解法一中用基本量公式计算简洁,简化了计算.解法三 设等差数列 的前 n 项和为 Sn,则显然数列 S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100 成等差数列
8、,设其公差为 D.这个新数列的前 10 项和为 S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S100-S90)=10S10+ D,即S100=10S10+45D,解得 D=-22.S110-S100 是这个新等差数列中的第 11 项,所以 S110-S100=S10+(11-1)D=-120.所以 S110=-120+S100=-110.题后反思 利用等差数列前 n 项和公式 Sn 的性质,整体考虑数列,回避了数列内部基本量的求解,直接就 Sn 本身解决问题; 思考:在等差数列 中,其前 n 项和为 Sn,那么 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列吗?(成等差数列,且公差为 n
9、2d,证明略)解法四 设等差数列 的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn,令-得(p-q )a1+ d=-(p-q).又 pq,则 a1+ d=-1,所以 Sp+q=(p+q)a1+ d=(p+q)(-1).所以 S110=-110.题后反思 在等差数列的前 n 项和 Sn 中,若 Sp=q,Sq=p(pq),则有 Sp+q=-(p+q).记住数列中一些特殊的结论,有利于我们突破题中条件的限制,使思考更深入.四、 课堂练习1. 提示 2. 已知等差数列 中,S 10=120,那么 a1+a10=24.提示 S10= =120,所以 a1+a10=24.3. 在等差数列 0,中,S 2
10、0= ;若 Sn=11,则 n=12.提示 由题意可得 a1=0,d=,则 S20=200+ = . Sn=11, =11,解得 n=12 或 n=-11(舍去).4. 在等差数列 中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20=9.提示 S4=1,S8-S4=3,而 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16 成等差数列,即 1,3,5,7,9,所以a17+a18+a19+a20=S20-S16=9.五、 课堂小结1. 等差数列的前 n 项和公式的推导方法: 倒序相加法.2. 在等差数列的通项公式与前 n 项和公式中, 含有 a1,d,n,an,Sn 五个量,可以知三求二.3. 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式.
