高中苏教版数学必修5名师导学：第2章 第6课时　等差数列的前n项和（2）.doc

1、第 6 课时 等差数列的前 n 项和(2)教学过程一、 问题情境含有 2n+1 项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为多少?二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 等差数列的奇数项与偶数项分别构成什么样的数列?(结合等差数列的定义,引导学生说出: 仍为等差数列.并进一步推广至“等差数列中抽取的下标为等差数列的项构成的数列均为等差数列”)问题 2 奇数项与偶数项构成的等差数列分别有多少项 ?它们的首项和公差又分别是什么?(引导学生研究等差数列要从 a1,d,n,an,Sn 入手)问题 3 奇数项与偶数项之间是什么关系 ?(引导学生研究等差数列也可以从整体上进行把握)通过讨论,结合投影,给出

2、问题的解答.探究 设原等差数列为 a1,a2,a3,a2n+1,公差为 d,则其中奇数项 a1,a3,a2n+1 的首项为 a1,公差为 2d,有 n+1 项;偶数项 a2,a4,a2n 的首项为 a2,公差为 2d,有 n 项.记奇数项之和为 S 奇 ,偶数项之和为 S 偶 .方法一 S 奇 =a1+a3+a5+a2n+1=(n+1)a1+ 2d=(n+1)(a1+nd),S 偶 =a2+a4+a6+a2n=na2+ 2d=n(a1+nd),所以 = = .方法二 S 奇 =a1+a3+a5+a2n+1= ,S 偶 =a2+a4+a6+a2n= ,因为 a1+a2n+1=a2+a2n,所以

3、= .(二) 理解概念1. 奇数项与偶数项实际上是两个新的等差数列的问题的处理.2. 等差数列问题的研究可以从基本量和整体两个角度思考.(三) 巩固概念问题 4 这个等差数列的奇数项与偶数项之间还有哪些特殊的性质?(S 奇 =(n+1)an+1,S 偶 =nan+1,S 奇 -S 偶 =an+1)三、 数学运用【例 1】 (教材 P48 习题 2.2(2)第 8 题)一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中,偶数项的和与奇数项的和之比为 3227,求公差 d.3(见学生用书课堂本 P27)处理建议 让学生先讨论,模仿前面问题的处理方法来解决问题,教师在学生中交流,了解学生的思考过

4、程,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.规范板书 解法一 设这个数列的首项为 a1,公差为 d,则偶数项与奇数项分别都是公差为 2d 的等差数列.由已知得 解得 d=5.解法二 设偶数项的和与奇数项的和分别为 S 偶 ,S 奇 ,则由已知得 解得 S偶 =192,S 奇 =162.而 S 偶 -S 奇 =6d,所以 d=5.题后反思 若等差数列含有 2n 项,则奇数项与偶数项各有 n 项,且 S 偶 -S 奇 =nd,= ; 等差数列的奇数项与偶数项的相关结论其实是等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用.变式 已知等差数列a n,bn,它们的前 n 项和分别为 An,Bn,且 = ,求

5、这两个数列的第9 项之比 .处理建议 学生讨论,找出数列的项与和的关系式.规范板书 解 = = = =.题后反思 思考:因为 = ,那么能不能用 来解呢? 不可以,因为比式已经有公共的 n 被约去.可设 An=tn(5n+3),Bn=tn(2n-1),则 = = =【例 2】 在等差数列 中,已知 a3=12,a11=-4,那么该数列前多少项和最大?并求出最大值. 4(见学生用书课堂本 P28)处理建议 先由学生讨论,提示学生等差数列当 d0 时前 n 项和公式是关于 n 的二次形式(不含常数项);同时要通过数列的项正负的变化让学生明白为什么等差数列前 n 项和会在某处取得最值.规范板书 解法

6、一 设等差数列 的首项为 a1,公差为 d,则 a11=a3+(11-3)d,所以 d=-2.又 a3=a1+2d=12,所以 a1=16.所以 Sn=na1+ d=-n2+17n= + ,所以当 n=8 或 n=9 时,S n 最大,最大值为S8=S9=72.题后反思 利用了等差数列前 n 项和公式 Sn 是关于 n 的二次函数形式来求最值,需要注意 n 是正整数 ,不一定在对称轴处取得. 思考一:为什么并不一定每次都是在对称轴处取得最值,此时该怎么办呢?(因为等差数列前 n 项和 Sn 是关于 n 的二次式,这里的 n 要求是正整数,而关于 n 的二次式的对称轴的值并不一定是正整数,所以此

7、时要在对称轴附近找最接近的正整数值) 思考二:为什么会出现两项同时取得最大值?此时的等差数列具有什么特征?解法二 设等差数列 的首项为 a1,公差为 d,则 a11=a3+(11-3)d,所以 d=-2.又a3=a1+2d=12,所以 a1=16.所以 an=a1+(n-1)d=-2n+18.由 得 8n9,而数列a n是单调递减数列,所以当 n=8 或 n=9 时,S n最大, 最大值为 S8=S9=72.题后反思 在等差数列 中,若首项 a10,公差 d0,那么满足什么条件时前 n 项和 Sn 最小? 答案:变式 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S120,S130

8、,所以 a6+a70,所以 a60.所以数列 an是单调递减数列,所以 S6 最大.*【例 3】 一个“V”型铅笔架(如图) 的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放 120 支, 这个 V 形架上共放着多少支铅笔 ?5(例 3)处理建议 让学生先讨论,主要是引导学生能够建立等差数列模型.规范板书 解 由题意可知,这个 V 形架上共放着 120 层铅笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记为 ,其中 a1=1,a120=120.根据等差数列前 n 项和公式,得= =7260.答:V 形架上共放着 7260 支铅笔.题后反思 通过本例让学生体会到生活中的数学无处不在

9、,也让他们体会到用数学的乐趣.四、 课堂练习1. 若等差数列 满足 a1+a2+a3+a101=0,则 (C)A. a1+a1010 B. a1+a1010C. a1+a101=0 D. a51=51提示 因为 a1+a2+a3+a101= =0,所以 a1+a101=0.2. 设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,若 =,则 =1.提示 = =1.3. 在等差数列 中,若 Sn=3n2+2n,则公差 d=6.提示 因为等差数列 的前 n 项和公式可整理成 Sn=n2+ n,所以 解得 d=6.4. 求集合 M=m|m=7n,nN*且 m100中元素的个数, 并求出这些元素的和.解 由 7n100,得 n =14,所以正整数 n 共有 14 个,即集合 M 中共有 14 个元素,即7,14,21,98,它是以 a1=7 为首项, a14=98 为末项的等差数列.所以 S14= =735.五、 课堂小结1. 关于等差数列前 n 项和公式的使用, 既可以通过基本量建立方程组处理问题,也可以利用性质整体处理问题.2. 当 d0 时, 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次形式 ,可以利用函数知识辅助处理.3. 建立等差数列模型.