1、第 7 课时 平面向量的坐标运算(1)教学过程一、 问题情境我们知道,在平面直角坐标系内 ,点 M 可以用坐标(x, y)表示.这种表示在确定点 M 的同时也确定了 的长度及 的方向.换句话说, 向量 也可以用坐标来表示.二、 数学建构问题 1 平面向量基本定理的内容是什么 ?2问题 2 如图 1,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,那么 如何用 i, j 表示呢?( =3i+4j)(图 1)(图 2)对于向量 a,如图 2,根据平面向量基本定理又如何表示?(由平面向量基本定理可知有且只有一对实数 x, y,使得 a=xi+yj)归纳 1 平面向量的坐标表示一
2、般地,对于向量 a,如图 2,当它的起点移至原点 O 时,其终点坐标(x, y)称为向量 a 的( 直角)坐标 ,记作 a=(x, y).探究 1 相等向量的坐标有关系吗?答 相等向量的坐标也相等,体现向量与其坐标的对应关系.探究 2 将表示向量的有向线段的起点移至坐标原点后有何结论呢? 3答 此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了.问题 3 当向量用坐标表示时 ,向量的加、减、数乘运算也都可以用相应的坐标来表示吗? 4设 a=(x1, y1), b=(x2, y2),那么 a+b=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+
3、y2)j=(x1+x2, y1+y2).同理得 a-b=(x1-x2, y1-y2),a=(x1,y1).归纳 2 已知向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2)和实数 ,那么 a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),a=(x1,y1).问题 4 向量的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系?如图 3,已知 A(x1, y1), B(x2, y2),则 = - =(x2, y2)-(x1, y1)=(x2-x1, y2-y1).(图 3)归纳 3 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.三、 数学运用【例 1】 (教材第 77 页
4、例 1)如图, 已知 O 是坐标原点, 点 A 在第一象限,| |=4 , xOA=60,求向量 的坐标. 5 (见学生用书 P47)(例 1)处理建议 要求 的坐标,即求点 A 的坐标,利用三角函数的定义即可求解.规范板书 解 设点 A(x, y),则 x=4 cos60=2 , y=4 sin60=6,即 A(2 , 6),所以=(2 , 6).题后反思 平面向量研究的主要是“形”的层面和“ 数”的层面.“形”的层面借助于有向线段进行表示,“ 数” 的层面通过坐标来对向量进行考察,本题将两个方面结合起来让学生体会.【例 2】 已知 a=(2, 1), b=(-3, 4),求 a+b, a-
5、b, 3a+4b 的坐标. 6 (见学生用书 P47)处理建议 让学生根据向量的加、减、数乘运算的坐标表示自主解题.规范板书 解 a=(2, 1), b=(-3, 4), a+b=(2, 1)+(-3, 4)=(-1, 5), a-b=(2, 1)-(-3, 4)=(5, -3),3a+4b=3(2, 1)+4(-3, 4)=(6, 3)+(-12, 16)=(-6, 19).变式 已知 a=(x, 2), A(1, -1), B(-2, y),且 a= ,求 x, y 的值.规范板书 解 =(-2-1, y+1)=(-3, y+1)=a, (-3, y+1)=(x, 2), 即题后反思 若
6、a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a=bx1=x2 且 y1=y2.【例 3】 (1) 已知 a=(-1, 2), b=(1, -1), c=(3, -2),且有 c=pa+qb,试求实数 p, q 的值;(2) 已知 a=(2, 1), b=(1, -3), c=(3, 5),把 a, b 作为一组基底,试用 a, b 表示 c.7(见学生用书 P48)处理建议 对于(1),先用 a, b 的坐标求出 pa+qb 的坐标,然后利用相等的向量其坐标对应相等建立方程组即可求出 p, q 的值;对于(2),可先设 c=ma+nb,用(1)的方法求出 m, n 的值即可 .规范板书
7、 解 a=(-1, 2), b=(1, -1), c=(3, -2), pa+qb=p(-1, 2)+q(1, -1)=(-p+q, 2p-q).又 c=pa+qb, 解得故所求 p, q 的值分别为 1, 4.(2) 设 c=ma+nb, m, nR. ma+nb=m(2, 1)+n(1, -3)=(2m+n, m-3n),又 c=ma+nb=(3, 5), 解得 c=2a-b.题后反思 待定系数法是将某向量用一组基底线性表示的常用方法.变式 已知 a=(2, -4), b=(-1, 3), c=(6, 5), p=a+2b-c,试以 a, b 为基底求 p.规范板书 解 令 c=a+b,则
8、(6, 5)=(2, -4)+(-1, 3),即( 6, 5)=(2-, -4+3), 解得 p=a+2b- a-17b=- a-15b.【例 4】 (教材第 78 页例 4)已知 P1(x1, y1), P2(x2, y2), P 是直线 P1P2 上一点, 且 = (-1),求点 P 的坐标. 8 (见学生用书 P48)处理建议 先设出点 P 的坐标 ,再将条件中的向量 , 用坐标表示出来,利用等量关系建立关于 x, y 的方程组进行求解.规范板书 解 设 P(x, y),则 =(x-x1, y-y1), =(x2-x, y2-y).由 = ,得(x-x 1, y-y1)=(x2-x, y
9、2-y),即因为 -1,所以因此,点 P 的坐标为 .题后反思 (1) 当 =1 时, 就得到线段 P1P2 的中点 M(x, y)的坐标公式(2) 本题与教材 2.2.3 小节的例 4 都是线段的定比分点公式,一个是坐标形式,一个是向量形式.*【例 5】 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求顶点 D 的坐标.(例 5)规范板书 解 设顶点 D 的坐标为 (x, y),则=(1, 2), =(3-x, 4-y). 四边形 ABCD 是平行四边形, = ,即( 1, 2)=(3-x, 4-y). 解得 即顶点 D 的坐标是(
10、 2, 2).变式 已知平面上三点的坐标分别为 A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.(变式)规范板书 解 当平行四边形为 ADCB 时, 由 = 得 D1=(2, 2);当平行四边形为 ACDB 时,同理得 D2=(4, 6);当平行四边形为 DACB 时,同理得 D3=(-6, 0).四、 课堂练习1. 已知向量 a=(1, 1),b=(1, -1),则向量 a-b=(-1, 2). 2. 已知 O 是坐标原点 , A(-2, 1), B(4, -3),且 -3 =0,则 = .提示 设 C(x, y),则 =(x-4, y+3).由 =(6, -4), -3 =0,得 解得 =(6, - ).3. 在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 ABDC, ADBC,已知点 A(-2, 0), B(6, 8), C(8, 6),则点 D 的坐标为(0, -2). 提示 由题意知,四边形 ABCD 为平行四边形, + = + , = + - =(-2, 0)+(8, 6)-(6, 8)=(0, -2),即点 D 的坐标为(0, -2).五、 课堂小结1. 平面向量的坐标运算法则.2. 相等向量的坐标表示.3. 向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何性质,体现了数形结合的思想方法.
