1、第 4 课时 向量的数乘教学过程一、 问题情境一艘船上午 8 点从某港口出发 ,以 vkm/h 的速度向南偏东 45的方向航行,下午 1 点半该船到达何处?若设该船每小时的位移为 a,则该船 5.5 小时的位移应如何表示?答 该船到达此港口南偏东 45的方向且距港口 5.5vkm 处; 该船 5.5 小时的位移应为5.5a.二、 数学建构问题 1 位移为 5.5a,它是向量吗,有什么特点?问题 2 向量 5.5a 可以看成什么运算的结果?问题 3 一般地,实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a,叫做向量的数乘,那它的方向、大小与向量 a 有什么关系?(1) |a|=|a|;(2) 当 0
2、时, a 的方向与 a 的方向相同; 当 0 时, a 的方向与 a 的方向相反;特别地,当 =0 或 a=0 时, a=0.问题 4 类比于实数的运算,向量的数乘有哪些运算律?根据向量数乘的定义,可以验证向量的数乘满足下列运算律:(1) (a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.三、 数学运用【例 1】 如图(1),已知向量 a, b,c,求作向量 3a-2b+c.2(见学生用书 P41)(例 1(1)处理建议 指导学生量化长度,辨析方向,动手操作,使学生在实际操作中增强对知识的理解、掌握程度.规范板书 作法一 用三角形法则,如图(2 ).(例 1(2)此时,由向量的
3、加法可知向量 =3a-2b+c 为所求作的向量.作法二 用平行四边形法则,如图(3 ).(例 1(3)作 =3a, =-2b, =c,分别以 AB, AC 为邻边作ABDC ,以ABDC 的对角线 AD, AE 为邻边作AEFD,则向量 =3a-2b+c 为所求作的向量 .题后反思 向量的加法、减法、数乘是向量的基本运算,不仅要掌握其运算法则,更应理解其几何意义.另外,在作向量的差时,一般把“差”转换成“和” 来作; a 的几何意义也要十分清晰.【例 2】 (教材第 69 页例 2)计算:(1) 3(a-b)-2(a+2b);(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).3(见学生
4、用书 P42)处理建议 本题类似于实数运算中的合并同类项,引导学生用此思想方法自主解题.规范板书 解 (1)3(a-b)-2(a+2b)=3a-3b-2a-4b=a-7b.(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)=4a+12b-6c+9a-12b+6c=13a.题后反思 通过运算,更好地掌握向量的加、减和数乘运算,熟练运用向量的运算律.(例 3)【例 3】 如图,在平行四边形 ABCD 中,M 是 AB 的中点,N 在 BD 上且 BN=BD,求证:M , N, C 三点共线. 4 (见学生用书 P42)处理建议 欲证 M, N, C 三点共线,只需证 即可.规范板书 证明 =
5、 - , = , = =( + ), = + - = - , = - = - . 由可得 =3 ,即 .又 , 有公共点 M, M, N, C 三点共线.题后反思 (1) 证明点共线问题往往转化为证明有公共端点的向量共线问题;(2) 如果两个向量共线,那么其中的一个向量可以由另一个(非零)向量的数乘来表示,即线性表示.自然得到向量共线定理.一般地,对于两个向量 a(a0)和 b,有如下的向量共线定理:如果有一个实数 ,使 b=a(a0),那么 b 与 a(a0)是共线向量 ;反之,如果 b 与 a(a0)是共线向量,那么有且只有一个实数 ,使 b=a.5规范板书 证明 根据向量数乘的定义可知,
6、对于两个向量 a(a0)和 b,如果有一个实数 ,使 b=a(a0),那么 b 与 a(a0)是共线向量.反过来,如果向量 b 与 a 是共线向量 ,当 b 与 a 同方向时,令 = ;当 b 与 a 反方向时,令 =- ;若 b=0,则令 =0.从而有一个实数 ,使 b=a.假设有两个实数 , ,使 b=a, b=a,则 b-b=(-)a=0,即|- a|=0.因为| a|0,所以 -=0,即 =.从而有且只有一个实数 ,使 b=a.题后反思 (1) 的符号决定着两个向量同向还是反向, 的绝对值决定着两个向量的长度之间的倍数关系.(2) 向量共线定理的一般形式:如果存在不全为 0 的两个实数
7、 s, t,使 ta+sb=0,则向量 a, b 共线;若 a, b 不共线,且 ta+sb=0,则必有 s=t=0.四、 课堂练习1. 计算:-3(4 a-5b)=-12a+15b,2(2a-3b)-4(3a-2b)=-8a+2b.2. 若向量 a,b, c 满足(4 a-3c)+3(5c-4b)=0, 则 c=-a+b.3. 已知点 R 在线段 PQ 上,且 = ,设 = ,则 =-.提示 由 = ,可知 5 =3( - ),故 =- ,即 =-.4. 已知向量 a=e1-e2, b=-3(e2-2e1),求证: a 与 b 是共线向量 .证明 因为 a=(2e1-e2), b=3(2e1-e2),所以 b=6a,由向量共线定理知 a 与 b 是共线向量.五、 课堂小结1. 理解并掌握向量数乘的定义及运算律.2. 理解向量共线定理,并能运用它判断两个向量是否共线.
