1、第 8 课时 简单的线性规划问题(2)教学过程一、 问题情境前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题.在现实生活中,我们还会遇到与线性规划有关的哪些类型的问题呢?其实,在生活、生产中经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题, 这些问题的解决就需要用到线性规划的知识.二、 数学运用【例 1】 (教材 P88 例 1)投资生产 A 产品时,每生产 100t 需要资金 200 万元,需场地200m2,可获利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产 100m 需要资金 300 万元,需场地100m2,可获利润 200 万元.现某单位可使用资金 1400 万元 ,场地 90
2、0m2,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大?(见学生用书课堂本 P55)处理建议 求解前,先将已知数据整理成下表:资金(百万元)场地(百平方米)利润(百万元)A 产品(百吨) 2 2 3B 产品(百米 ) 3 1 2限制 14 9然后根据此表设未知数,列出约束条件和目标函数,最后作图求解.规范板书 解 设生产 A 产品 x 百吨, 生产 B 产品 y 百米 ,利润为 S 百万元,则约束条件为目标函数为 S=3x+2y.作出可行域( 如图).将目标函数 S=3x+2y 变形为 y=-x+,这是斜率为-,随 S 变化的一族直线.是直线在 y 轴上的截距 ,当最大时,S 最大, 但直线要与可行域相
3、交.由图可知,使 3x+2y 取得最大值的( x, y)是两直线 2x+y=9 与 2x+3y=14 的交点(3.25, 2.5).此时 S=33.25+22.5=14.75.(例 1)答:生产 A 产品 325t,生产 B 产品 250m 时, 利润最大,且最大利润为 1475 万元.题后反思 (1) 线性规划的问题,题中的数据相对要多,因此首先要理清数据(经常借助于表格).(2) 用数学模型解决实际问题的基本步骤:实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解. 解题的首要条件是建立恰当的数学模型,最后一定要从数学问题回到实际问题中.(3) 对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限
4、内的一个凸多边形区域,其最优解的确定,往往只需要考虑在各个顶点的情形,通过比较,即可得最优解.【例 2】 (教材 P89 例 2)某运输公司向某地区运送物资,每天至少运送 180t,该公司有8 辆载重为 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员.每辆卡车每天往返次数为 A 型车 4 次,B 型车 3 次.每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元,B 型车为 504元.试为该公司设计调配车辆方案, 使公司花费的成本最低. (见学生用书课堂本 P56)规范板书 解 设每天调出 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆, 公司花费成本 z 元,则约束条件为
5、目标函数为 z=320x+504y.作出可行域(如图).(例 2)当直线 320x+504y=z 经过直线 4x+5y=30 与 x 轴的交点(7.5, 0)时,z 有最小值,但是( 7.5, 0)不是整点,因此调整为直线 320x+504y=z 经过点(8, 0).答:公司每天调出 A 型车 8 辆时,花费的成本最低.题后反思 本题是寻找整点最优解问题,有点难度,这要求我们要精确作图,并加以推理计算.如果区域内涉及的整点不多时,我们可以一一代入,进行比较找到最优解.*【例 3】 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3 千元、2 千元.甲、乙产品都需要在 A, B 两种设备上加工
6、,在设备 A, B 上加工一件甲产品所需工时分别为 1h, 2h,加工一件乙产品所需工时分别为 2h, 1h,A, B 两种设备每月有效使用工时数分别为 400h/台和500h/台 .如何安排生产才能使销售收入最大?规范板书 解 设生产甲产品 x 件, 乙产品 y 件,销售收入为 z 元,则约束条件为目标函数为 z=3x+2y.作出可行域(如图).(例 3)当直线 3x+2y=z 经过点 M(200,100)时,z 有最大值,且 zmax=3200+2100=800.答:生产甲产品 200 件,乙产品 100 件时, 销售收入最大.题后反思 本题也是求整点的线性规划问题,但由于交点处是整点,故
7、不需要调整.三、 课堂练习1. 若实数 x,y 满足 则 x+2y 的最大值为 14.提示 借助于例 2 的图,当直线 x+2y=z 经过点( 6, 4)时,x+2y 最大.2. 若已知实数 x, y 满足 则 2x-y 的最小值为- .提示 借助于例 1 的图,当直线 2x-y=z 经过点 时, 2x-y 最小.3. (1) 设实数 x, y 满足约束条件 则 z= 的最大值为 1;(2) 设实数 x, y 满足约束条件 则的最大值为,最小值为.4. 设实数 x, y 满足约束条件 则 的取值范围是2, .四、 课堂小结1. 有实际背景的线性规划问题, 可行域一般为凸多边形区域,最优解往往出现在凸多形区域的顶点处.2. 对于最优解是整点的线性规划问题,要注意找整点的方法.3. 通过本节课的学习 ,使我们对线性规划有了更深刻的理解,拓宽了我们的视野,让我们体会到线性规划问题在现实生活中具有非常广泛的应用.
