1、第 6 课时 二倍角的三角函数(1)教学过程一、 问题情境问题 我们已经知道函数 y=sin2x 与 y=sinx 的图象关系,也知道 + 的正弦、余弦和正切可用 , 的正弦、余弦和正切来表示 ,那么角 的三角函数和角 2 的三角函数之间有怎样的数量关系? 1在 S(+), C(+), T(+)公式中,令 =,就可以得到结果: sin2=2sincos (S2); cos2=cos2-sin2 (C2); tan2= (T2).二、 数学建构问题 1 二倍角公式中,角有限制吗?二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角,但二倍角的正切公式中, 2+k, +k,kZ.问题 2 二倍角的余弦公式中 ,同
2、时出现了 sin2, cos2,能否只保留一个?能.cos2=2cos 2-1, cos2=1-2sin2.三、 数学运用【例 1】 (教材第 119 页例 1)已知 sin= , ,求 sin2, cos2, tan2 的值. 2(见学生用书 P71)处理建议 引导学生先求出 cos 的值,然后正确运用二倍角公式计算.规范板书 解 因为 sin= , ,所以 cos=- .于是,sin2=2sin cos=2 =- , cos2=1-2sin2=1-2 =- ,tan2= = = .题后反思 (1)还有其他方法求 tan2 吗?(tan= =- , tan2= )(2)已知 sin,求 co
3、s2 时,用公式 cos2=1-2sin2 可以避免讨论.若用 sin22+cos22=1 求解,则 cos2= .哪种是错误答案,如何修正?(cos2= 是错的.因为sin= , ,所以 , 2 ,所以 cos2=- )(3)已知角的某个三角函数值及范围,可以缩小角的范围.变式 (教材第 120 页练习第 2 题) 已知 sin=0.8, ,求 sin2, cos2 的值.规范板书 解 因为 sin=0.8, ,所以 cos=0.6, 所以 sin2=2sincos=0.96, cos2=1-2sin2=-0.28.【例 2】 化简:(1) cos cos ; (2) cos4-sin4;
4、(3) .(见学生用书 P71)处理建议 引导学生从公式的结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.规范板书 解 (1)原式=cos sin = =sin=.(2) 原式= cos2-sin2 cos2+sin2 =cos2-sin2=cos.(3) 原式= =tan45=.题后反思 (1)公式变形 :sincos=sin2;(2)倍角公式中的倍角是相对的 ,如 4 是2 的倍角 , 是 的倍角等.变式 (1) 计算: - =4;(2) (教材第 122 页练习第 1(5)题)化简: - =tan2.规范板书 解 (1)原式= = = =4.(2) 原式= =tan2.【例 3】 (根据教材第
5、 120 页例 2 改编)求证: = .(见学生用书 P72)处理建议 引导学生思考:(1) 式子左右两边有什么差异?(从角的差异来看,左边角是右边角的二倍;从名称的差异来看,题中涉及正弦、余弦和正切) (2) 三角变换时,从哪个差异入手比较简单 ?(从角的差异入手 )规范板书 证明 左边= = =tan2= =右边. 原式得证.题后反思 (1)三角变换时,首先要找到角与角之间的关系,如倍角关系、 =(+)-等.( 2)当题中出现 1+cos, 1-cos 时,要想到用倍角公式消 1.变式 若 2700, cos0.原式= = = = =-cos.四、 课堂练习1. 计算:(1) (sin15+cos15)2=.(2) sin2230cos2230= .(3) - = .(4) sin2-cos2=- .2. 求证: =tan(+x).证明 = = = =tan .五、 课堂小结1. 运用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式.2. 注意二倍角正切公式中角的限制.3. 三角变换技巧:变名;变角;变结构.
