1、第 3 章 三角恒等变换第 1 课时 两角和与差的余弦教学过程一、 问题情境 1在实数运算中,有公式 a(b+c)=ab+ac;在向量运算中,有公式 a(b+c)=ab+ac;在三角运算中,有公式cos(- )=cos- cos 吗?如果没有,式子一定不成立吗?二、 数学建构问题 1 在直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边分别作角 , (0 ),其终边分别与单位圆交于 P1, P2,则向量 , 的夹角是多少? 的值是多少? 2(图 1)由图 1 可得向量 , 的夹角是 - , =(cos , sin ), =(cos , sin ).一方面,由向量数量积的定义,有 =| | |cos(-
2、)=cos(- ).另一方面,由向量数量积的坐标表示,有 =cos cos+ sin sin.从而 cos(- )=cos cos+ sin sin , 0 .问题 2 如果 , R,上述公式还成立吗? 3当 - 0, 时, - 就是 , 的夹角,所以 cos(- )=cos cos+ sin sin.对于任意的 , ,总可选适当的整数 k,使 - 2k -, ) .记 1=+ 2k,则 1 与 的终边相同,且 - 1 -, ),从而 |- 1|, |- 1|就是 , 的夹角 .因此 cos(|- 1|)=cos(- 1)=cos(- 2k) =cos(- )=cos cos+ sin sin
3、.综上,cos( - )=cos cos+ sin sin ,这就是两角差的余弦公式 ,记为 C(- ).问题 3 cos(- )的展开式是什么? 它与 cos(- )展开式相等吗 ?为什么?cos(- )=cos cos+ sin sin ,它们展开式相等 .因为余弦函数是偶函数 ,所以 cos(- )=cos(- ).问题 4 能利用两角差的余弦公式求 cos(+ )吗? 4在两角差的余弦公式中,用 - 代替 ,就可以得到 cos(+ )=cos cos- sin sin ,这就是两角和的余弦公式,记为 C(+ ).思考 “用 - 代替 ”的换元方法体现在图形上有什么几何意义?能直接利用向
4、量的数量积推出两角和的余弦公式吗?用“ - 代替 ”的几何意义就是作出角 关于 x 轴的对称图形 .(一) 公式理解1. 结构特征: 左边是两角差的余弦,右边是同名积的和; 左边是两角和的余弦,右边是同名积的差 .2. 公式中的 , 可以是任意的角(或式子) .3. 当 , 中有一个是 90的整数倍时,用诱导公式比较简便 .(二) 巩固概念问题 5 (教材第 104 页例 1(1)请利用两角和(差) 的余弦公式证明 cos =sin. 5cos =coscos+ sinsin= sin.三、 数学运用【例 1】 (教材第 105 页例 2)利用两角和(差) 的余弦公式,求 cos75, cos
5、15, sin15, tan15.6(见学生用书 P61)处理建议 引导学生将 75, 15转化为两个特殊角的和或差,正弦需转化为余弦 .规范板书 解 (1) 方法 1:cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30= .方法 2:cos75=cos(120-45)=cos120cos45+sin120sin45= .(2) 方法 1:cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30= .方法 2:cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45= .(3) sin15=cos(90-75)=cos75= .
6、(4) tan15= = =2- .题后反思 (1)两角差(和)的余弦公式也适用于形式上不是差(和)角,但可以拆分成两角差(和)的情形;(2)角的拆分可能有多种形式,要根据题目选择适当的拆分 .变式 化简 cos +cos .规范板书 解 原式 = coscos- sinsin + coscos+ sinsin =cos.【例 2】 不查表,求下列式子的值:(1) cos120cos15-sin120sin15; (2) cos58sin77+sin122sin13.(见学生用书 P62)处理建议 本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值,要引导学生构造公式中的结构 .规范板书 解 (1)原式 =
7、cos(120+15)=cos135=- .(2) 原式 =cos58cos13+sin58sin13=cos(58-13)= .变式 不查表,求 cos215-sin215的值 .规范板书 解 cos215-sin215=cos(15+15)= .题后反思 只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式,否则需对式子进行变形 .【例 3】 (教材第 105 页例 3)已知 sin= , , cos=- , ,求 cos(+ )的值 . (见学生用书 P62)处理建议 由公式 C(+ )可知,欲求 cos(+ ),应先计算 cos ,sin 的值 .cos , sin 是通过sin2x+cos2
8、x=1(x 为任意角)来求解的,要注意“ ”的选取 .规范板书 解 因为 , sin= ,所以 cos=- =- =- . 又因为 cos=- , , ,所以 sin=- =- =-,所以 cos(+ )=cos cos- sin sin= - - - = . 题后反思 思考:在例 3 中,你能求出 sin(+ )的值吗?*【例 4】 若 , 为锐角,且满足 cos= , cos(+ )=,求 cos 的值 .处理建议 先由学生自己分析解题思路,可能是“展开 cos(+ ),与 sin2+ cos2= 1 联立,解方程组” .再引导学生观察发现 , + , 三个角之间的关系为 = (+ )-
9、,用两角差的余弦公式求解 .最后由学生比较两种方法的简易度,让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性 .规范板书 解 因为 , 为锐角,所以 0 ,即 (舍去) .(2) 当 cos =时,sin = sin =sin cos-cos sin= - =- .【例 3】 (教材第 108 页例 2)已知 cos(+ )= , cos= , , 均为锐角,求 sin 的值 .(见学生用书 P64)处理建议 先由学生自己分析解题思路,可能是“展开 cos(+ ),与 sin2+ cos2= 1 联立,解方程组” .再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时,有类似的题目吗?是如何解决的?(将 看成是
10、+ 与 的差,即 = (+ )- ,再用两角差的正弦公式求解)规范板书 解 因为 , 均为锐角,所以 + (0, ) .又因为 cos(+ )= , cos= ,所以 sin(+ )= , sin= ,所以 sin= sin =sin(+ )cos- cos(+ )sin= - = .题后反思 (1)在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角 .如本题已知角为 + 和 ,所求角是 ,则 = (+ )-. (2)在解三角函数问题时,常通过条件缩小角的范围,避免讨论 .如将本题 的范围改为(0, ),则如何求解呢?(由 cos= , (0, ),得 )变式 已知 , 0 , cos =, s
11、in = ,试求 sin(+ )的值 .处理建议 引导学生思考:(1) 本题中的已知角是什么?所求角是什么?两者间有什么关系?(已知角是+ , - ,所求角是 + ,两者间的关系是 - =+(+ )(2) 已知角的和是 +(+ ),不是 + ,如何求 sin(+ )?(先求 cos )规范板书 解 因为 , 0 ,所以 - , + .又因为 cos =, sin = ,所以 sin =-, cos =- .所以 cos =cos + - - =cos + cos - +sin + sin - =- + -=- .又因为 cos =-sin(+ ),所以 sin(+ )= .*【例 4】 cos
12、33cos12-cos57cos78= . 处理建议 引导学生从公式结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式 .规范板书 解法一 (用两角和的余弦公式 )原式 =cos33cos12-sin33sin12=cos(33+12)= .解法二 (用两角差的正弦公式)原式 =sin57cos12-cos57sin12=sin(57-12)= .题后反思 逆用公式要注意公式的结构与条件结构是否相同 .变式 1 (教材第 109 页例 3)求函数 y=sinx+ cosx 的最大值 .处理建议 引导学生思考:(1) 正弦函数、余弦函数分别在何时取最大值?(正弦函数当 x=2k +,kZ 时取最大值,余弦
13、函数当 x=2k, kZ 时取最大值)(2) 题中函数的最值是在 x=2k +,kZ,或 x=2k, kZ 时取得吗?(3) 本题如何求最大值?规范板书 解 y=sinxcos+cosxsin=sin .当 x+=2k +,kZ,即 x=+2k, kZ 时,函数 y 取得最大值 1.题后反思 本题还有其他解法吗?( y=sinxsin+cosxcos=cos .当 x-=2k, kZ,即 x=+2k, kZ 时,函数 y 取得最大值 1) 变式 2 (教材第 112 页习题 3.1(2)第 5(3)题) 求函数 y=sinx+ cosx 的最大值 .处理建议 引导学生发现变式 1 与变式 2
14、之间的关系 .规范板书 解 y=2 sinx+ cosx =2 sinxsin+cosxcos =2cos x- .当 x-=2k, kZ,即 x=+2k, kZ 时,函数 y 取得最大值 2.题后反思 解题过程中提出的系数 2 与原系数 1, 有何关系?(2 = )四、 课堂练习1. 计算:sin69cos99 -cos69sin99=-.2. 在 ABC 中, A=, cosB= ,则 sinC= .提示 A=, cosA=sinA= .又 cosB= ,B(0, ), sinB= , sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.3. 函数 y=sinx- cosx
15、的最小值是 -2.提示 y=2 =2sin x- .当 x-=2k -,kZ,即 x=2k -,kZ 时,函数 y 取得最小值 -2.4. 已知 cos= , cos(+ )=,且 , 都为锐角,求 sin 的值 .解 由已知条件可得 sin= , sin(+ )=,所以 sin= sin =sin(+ )cos- cos(+ )sin= -= .五、 课堂小结1. 运用两角和与差的余弦公式及三角函数的诱导公式来推导两角和与差的正弦公式 .2. 两角和与差的正弦公式的结构特征 .3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角) .第 3 课时 两角和与差的正弦(2)教学过程一、 问题情
16、境化简:sin +cos .二、 数学建构活动 解决问题情境中的问题 .解 原式 =sin2xcos-cos2xsin+cos2xcos-sin2xsin=sin2x- cos2x+ cos2x-sin2x=0.问题 1 在“两角和与差的余弦”这一课中,我们曾发现在求解三角函数问题时,如果能注意到角与角的关系,可以减少运算量,那么这道题中涉及哪些角,它们有什么关系?从局部看,本题涉及 2x, , ,它们没有明显关系 .从整体来看,本题涉及 2x-, 2x+,它们的关系为 -=.问题 2 能否根据上述回答想到其他解决思路?原式 =sin 2x- +cos + 2x- =sin 2x- -sin
17、2x- =0.总结 在求解三角函数问题时,要注意角与角之间的关系 .三、 数学运用【例 1】 求 的值 .(见学生用书 P65)处理建议 引导学生寻找题中角的关系,将 50看成 60-10,从而减少非特殊角的个数(消元的思想) .规范板书 解 原式 = = = .题后反思 (1) 通过寻找角与角间的关系,减少非特殊角的个数,这是三角变换的重要思路之一 .(2) 思考:为什么不将 10改写成 6050?【例 2】 已知 sin(2+ )+2sin= 0, cos(+ )cos 0,求证:tan = 3tan(+ ).(见学生用书 P65)处理建议 引导学生观察条件中的角与结论中的角之间的关系 .
18、规范板书 证明 sin(2+ )+2sin=sin +2sin=sin(+ )cos+ cos(+ )sin +2sin(+ )cos- cos(+ )sin =3sin(+ )cos- cos(+ )sin= 0.又因为 cos(+ )cos 0,所以 = ,即 tan= 3tan(+ ).【例 3】 (教材第 110 页例 6)已知 sin(+ )=, sin(- )=-,求 的值 .(见学生用书 P66)处理建议 引导学生思考:(1) 条件是关于角的正弦,结论是关于角的正切,这种既含有正弦、余弦,又含有正切的问题,我们一般先做什么?(化切为弦,即求 )(2) 要求 ,就要求 sin co
19、s , cos sin ,条件中有吗?(只需将 sin(+ ), sin(- )展开即可)规范板书 解 由已知条件得 所以从而 = = = .题后反思 (1)三角变换要会“执果索因”,如本例及例 1 中将所求角表示成已知角 .(2)本例的解法体现了方程思想 .(3)思考:从本例的解题过程可以看出,只要知道 sin(+ ), sin(- )的值,就可以求出sin cos , cos sin. 据此你能用 + , - 的正弦与余弦表示 sin cos , cos sin , cos cos , sin sin 吗?【例 4】 化简:sin( + )cos- sin(2+ )-sin .(见学生用书
20、 P66)处理建议 引导学生观察 2+ , , + , 四个角之间的关系,即 2+= (+ )+ , = (+ )- ,从而可将原三角函数式化为关于角 + 和 的三角函数式,再做适当整合、化简 .规范板书 解 原式 =sin(+ )cos- =sin(+ )cos-2cos(+ )sin= sin(+ )cos- cos(+ )sin= sin =sin.题后反思 (1)正确逆用两角和与差的正、余弦公式,是化简三角函数式的基本途径 .(2)化简三角函数式要从分析角的关系入手,即找题中角与角的关系,这是化简三角函数式的一个切入点 .四、 课堂练习1. 求 的值 .解 原式 = = .2. 证明:
21、 =tan(+ ).证明 左边 = =tan(+ )=右边 .五、 课堂小结1. 三角变换时,要注意角与角的关系,会“执果索因” . 2. 灵活运用两角和(差)公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明 .第 4 课时 两角和与差的正切(1)教学过程一、 问题情境回顾“两角和与差的余弦”例 1 中求 tan15的过程,我们是先分别求出 sin15, cos15,再由同角三角函数关系求出 tan15,那么能否由 tan45和 tan30直接求出 tan15呢? 1二、 数学建构问题 1 对于一般的角 , ,当 , , + 的正切值存在时,能由 tan , tan 直接表示 tan(+ )吗?ta
22、n(+ )= = =.问题 2 上述公式对于任意角 , 都成立吗?当 , , + 均不等于 k +,kZ 时,式子才成立,这就是两角和的正切公式,记为 T(+ ).问题 3 如何由 tan , tan 直接表示 tan(- )?解法一 tan(- )= = = .解法二 用 - 代换 ,就可以得到 tan(- )= = .公式理解1. 结构特征:公式右边分子上的符号与左边的符号一致,而分母的符号与分子的符号相反;分子是两角正切值的和与差,分母含有两角正切值的积 .2. 公式中的 , , + , - 的正切值都存在时,公式才能成立 .三、 数学运用【例 1】 (1) 已知 tan= , tan=
23、 ,则 tan(+ )= ; (2) (根据教材第 115 页练习第 1(1)题改编) 已知 tan= 3,则 tan = . (见学生用书 P67) 答案 (1) 1; (2) -.处理建议 本题是公式的直接运用,可让学生自己求解 .变式 1 已知 , 均为锐角,且 tan= , tan= ,则 += . 处理建议 引导学生思考:(1) 要求角的大小,先要求什么?(角的某个三角函数值和角的范围)(2) 本题中用哪个三角函数?为什么?(本题中用正切 .一是因为题中涉及角的正切;二是因为 + (0, ),且在此范围内一个正切值对应一个角)规范板书 解 tan(+ )= = =1.又因为 , 均为
24、锐角 ,所以 + (0, ), 所以 += .题后反思 求角的大小,先求角的某一三角函数值和角的范围 .变式 2 (教材第 115 页例 3)如图,三个相同的正方形相接,求证: += .(变式 2)处理建议 引导学生选择适当的三角函数求解 .规范板书 解法一 由题可知 tan= , tan= ,所以 tan(+ )= = =1.又因为 , 均为锐角,所以 + (0, ),所以 += .解法二 由题可知 cos= , sin= , cos= , sin= ,所以 cos(+ )=cos cos- sin sin= - = .又因为 , 均为锐角,所以 + (0, ),所以 += .【例 2】 已知 =4+ ,求 tan 的值 .(见学生用书 P68)处理建议 先由学生自己分析解题思路,可能会有两种:一是由已知求出 tan 的值,然后由两角差的正切公式求出 tan ;二是由 =tan 直接得到答案 .引导学生观察条件和结论之间的关系,学会用整体思想去分析问题 .规范板书 解法一 由 =4+ ,解出 tan=- ,所以 tan = =4+ .解法二 tan = =4+ .变式 1 求值: .规范板书 解 原式 = =tan(45-15)= .
