1、六年级奥数之工程问题一 .基本公式 工程问题是应用题中的一种类型。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量（即工量）、工作时间（完成工作总量所需时间 即工时）和工作效率（单位时间内完成的工作量 即工效）： 工作效率 工作时间 =工作总量 工作总量 工作时间 =工作效率 工作总量 工作效率 =工作时间二 .基本思路 假设工作总量为 “1”（和总工作量无关）； 假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间 . 而把工量看做单位 1时，工效即用工时的倒数来表示。关键问题：不管题型如何，都要学会确定工作量、工作时间、
2、工作效率间的两两对应关系。 三 .例题讲解 例 1.一项工程，甲乙两队合作需 12天完成，乙丙两队合作需 15天完成，甲丙两队合作需 20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析： 设这项工程为 1个单位，将所有题设条件转化为数学语言 ：甲乙合作工效 1/12，乙丙合作工效 1/15，甲丙合作工效 1/20 观察设问：如何求得甲乙丙三队合作的工时 ？时间 =工作总量 工作效率如今由 知工作总量为 1，欲求工时，需知工效 . 经简单计算可知，不能由题设条件推导出甲乙丙三队合作的工效和再次读题可发现，甲乙丙在相关工效条件中均出现两次，则可得出：甲乙丙三队合作的工效和的 2倍： 1/12 1/1
3、5 1/20易得：甲乙丙三队合作的工效和： (1/12 1/15 1/20） 2接下来由基本公式求解1（ 1/12 1/15 1/20） 2 10(天 ) 答 ：如果由甲乙丙三队合作需 10天完成。 例 1.一项工程，甲乙两队合作需 12天完成，乙丙两队合作需 15天完成，甲丙两队合作需 20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？习题 1.一件工作，甲 5小时完成了 1/4，乙 6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲乙合作，还需要多少时间才能完成？思路 ： 1.假设工作总量为 “ 1”2.联系基本公式，层层剥离，找出问题关键点：甲工效 1/45 1/20 乙工效（ 1-1/4） 1
4、/26 1/16分析： 设这项工程为 1个单位，将所有题设条件转化为数学语言：工作时间 =工作总量 工作效率 观察设问：如何求得甲乙合作完成余下部分工作所需的工时 ？即有： “工作总量 ”1-1/4-（ 1-1/4） 2=3/8甲乙总工效 1/20 1/16=9/80下面分解第 问，则知需求出 “工作总量 ”和工作效率：“工作总量 ”不再是单位 1，而是题设问题中 “余下部分工作 ”总量：同时，工效也不再单纯是甲乙各自的工效，而是甲乙合作的工效和。自然地，所求工时 3/89/80=10/3（小时） 答 ：甲乙合作完成余下部分工作需 10/3小时 .习题 1.一件工作，甲 5小时完成了 1/4，
5、乙 6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲乙合作，还需要多少时间才能完成？思路：甲、乙各自的工效 求得工效差 即为 3个零件在整批零件中所占比例 利用部分与整体的比例关系求得整批零件个数例 2.加工一批零件，甲乙合作 24天可以完成。现在由甲先做 16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的 2/5没有完成。已知甲每天比乙多加工 3个。求这批零件有多少个？ 甲乙合作 12天，完成了总工程的几分之几？1/2412=1/2 （甲工效）甲一天能完成全工程的几分之几？（ 3/5-1/2） （ 16-12） =1/40 （乙工效）乙一天能完成全工程的几分之几？1/24-1/40=1/60 这批零
6、件共多少个？3（ 1/40-1/60） =360(个 ) 答 ：这批零件共 360个。例 2.加工一批零件，甲乙合作 24天可以完成。现在由甲先做 16天，然后乙再做 12天，还剩下这批零件的 2/5没有完成。已知甲每天比乙多加工 3个。求这批零件有多少个？分析：由于题设条件比较复杂，现采用 “排除法 ”对工量、工时、工效进行筛选以寻找解题突破口：1.首先，因设问即要求求出工量，且部分工量 2/5“孤立无援 ”，排除从工量下手的可能。2.其次，因题中大量出现工时数据，故尝试从工时切入：工量 =工时 工效 而正因工时数据繁杂，若从工时切入则需要找出诸多与每一工时相对应的工效，计算受阻，故排除从工
7、时下手的可能；A.甲做 16天和乙又做 12天完成工程的 3/5，可转化为甲乙合作 12天后，乙接着做 4天共完成工程的 3/5； B.又知道甲乙二人合作 24天可以完成 ,因此甲单独做所用天数可以求出，则乙单独做所用天数迎刃而解。 (即求得工时 )C.工效可用工时的倒数表示，则可由 B步骤得出甲乙各自工效。3.经排除，只能以工效为突破口进行解题。习题 2.师徒二人合作生产一批零件， 6天可以完成任务。师傅先做 5天后，由徒弟接着做 3天，共完成任务的7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？思路 ： 1.假设工作总量为 “1”2.联系基本公式，层层剥离，找出问题关键点：要求 ：参照例 2，写
8、出大概思路，不作具体标准要求。提示：解题思维和例 2有点类似 (o)哦 2.要求每人单独做各需几天，摆明了是求工时则有相关公式：工时 =工量 工效 又已知该批零件总量为单位 1 问题转化为求师徒二人各自的工效分析： 1.题设条件 :师徒工效和 1/6习题 2.师徒二人合作生产一批零件， 6天可以完成任务。师傅先做 5天后，由徒弟接着做 3天，共完成任务的 7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？3.关键：师傅先做 5天接着徒弟做 3天 转化为 师徒合作 3天接着师傅再做 2天师傅工效 (7/10-1/63)2=1/10 徒弟工效 1/6-1/10=1/15由公式得 师傅单独做需 10天 徒弟
9、单独做需 15天答： 师傅单独做需 10天； 徒弟单独做需 15天。四、课后习题 1.一项工作，甲单独做 20天可完成，乙单独做 30天可完成。现在两人合做，用 16天就完成了工作。 已知在这 16天中甲休息了 2天，乙休息了若干天问：乙休息了多少天？2. 甲乙两人共同加工一批零件， 8小时可完成任务。若甲单独加工需 12小时。现甲乙共同加工 12/5小时后，甲撤出，由乙继续生产 420个零件后才完成任务。问：乙一共加工零件多少个？五、习题答案解 :1.假设总工作量为 “1”，故由题可得甲工效： 1/20 乙工效为： 1/301.一项工作，甲单独做 20天可完成，乙单独做 30天可完成。现在两
10、人合做，用 16天就完成了工作。 已知在这 16天中甲休息了 2天，乙休息了若干天问：乙休息了多少天？2.甲所完成的工量占总工量：（ 16-2） 20=7/10 ； 3.乙工时： 3/101/30=9 故乙休息的天数为 16-9=7天 答：乙休息了 7天。乙所完成的工量占总工量： 1-7/10=3/102. 甲乙两人共同加工一批零件， 8小时可完成任务。若甲单独加工需 12小时。现甲乙共同加工 12/5小时后，甲撤出，由乙继续生产 420个零件后才完成任务。问：乙一共加工零件多少个？解：乙单独加工，每小时加工 1/8-1/12=1/24甲撤出后，剩下工作乙需做 1-（ 12/5） （ 1/8）
11、 （ 1/24） =84/5所以乙每小时加工零件 420（ 84/5） =25（个）即乙 12/5小时加工 (12/5)25=60（个）则乙一共加工 420+60=480（个）简单提问：利用什么公式？工时 工效 =工量请问：该式使用了什么公式？工量 工效 =工时答：乙一共加工零件 480个。1、王师傅加工一批零件，计划在六月份每天都能超额完成当天任务的 15% ，后来因机器维修，最后的 5天每天只完成当天任务的八成，就这样，六月份共超额加工 660个零件，王师傅原来的任务是每天加工多少个零件？首先我们知道 6月有 30天将额定每天完成的任务看作单位 1每天超额 15% ，一共工作 30-5=2
12、5（天）每天超额完成 15% ，25天共超额 2515% 375%每天完成八成，5天少完成 5(1-80%)=100%这个月共超额完成 375%-100%=275%660275%=240( 个）2、一堆饲料 ,3牛和 5羊可以吃 15天 ,5牛和 6羊可以吃 10天 ,那 8牛和 11羊可以吃几天解：将这堆饲料的总量看作单位 13牛和 5羊可以吃 15天，吃的是单位 1的量，相当于每天吃 1/155牛和 6羊可以吃 10天，吃的是单位 1的量，相当于每天吃 1/10我们此时把 3牛 5羊看作一个整体， 5牛 6羊看作 1个整体，每天吃饲料的1/15+1/10=1/6那么这堆饲料可以供 8牛 1
13、1羊吃 1/（ 1/6） =6天3、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比独做时提高了十分之一，乙的工作效率比独做时提高了五分之一，甲、乙两人合作 4小时，完成全部工作的五分之二。第二天乙又独做了 4小时，还剩下这件工作的三十分之十三没完成。这项工作甲独做需要几个小时才能完成？乙独做 4小时完成全部工程的 1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6乙的工作效率 =（ 1/6） /4=1/24乙独做需要 1/（ 1/24） =24小时乙工作效率提高 1/5后为（ 1/24） x（ 1+1/5）=1/20甲乙提高后的工作效率和 =（ 2/5） /4=1/10那么甲提高后的工作
14、效率 =1/10-1/20=1/20甲原来的工作效率 =（ 1/20） （ 1+1/10）=1/22甲单独做需要 1（ 1/22） =22小时一项工程 A、 B两人合作 6天可以完成。如果 A先做 3天， B再接着做 7天，可以完成， B单独完成这项工程需要多少天？AB合作，每天可以完成 1/6A先做 3天， B再做 7天，可以看做 AB合作 3天， B再单独做 7-3=4天AB合作 3天，可以完成： 1/63=1/2B单独做 4天，完成了 1-1/2=1/2B单独做，每天完成： 1/24=1/8B单独完成，需要： 11/8=8天甲、乙二人同时开始加工一批零件，加单独做要20小时，乙单独做 3
15、0小时。现在两人合作，工作了 15小时后完成任务。已知甲休息了 4小时，则乙休息了几小时？总的工作量为单位 1甲的工作效率 =1/20乙的工作效率 =1/30甲乙工作效率和 =1/20+1/30=1/12甲休息 4小时，那么甲工作 15-4=11小时，甲完成1/2011=11/20乙完成 1-11/20=9/20完成这些零件乙需要（ 9/20） /（ 1/30） =27/2小时那么乙休息 15-27/2=3/2小时 =1.5小时一间教室如果让甲打扫需要 10分钟，乙打扫需要 12分钟。丙打扫需要 15分钟。有同样的两间教室 A和 B。甲在 A教室，乙在 B教室同时开始打扫，丙先帮助甲打扫，中途
16、又去帮助乙打扫教室，最后两个教室同时打扫完，丙帮助甲打扫了多长时间？（中途丙去乙教室的时间不计）将工作量看作单位 1甲的工作效率 =1/10乙的工作效率 =1/12丙的工作效率 =1/15甲乙丙合干完成 1间教室需要 1/（ 1/10+1/12+1/15） =4分钟解：设丙帮甲 a分钟a分钟甲丙完成（ 1/10+1/15） a=a/6那么剩下的 1-a/6需要甲独自完成乙 a分钟完成 a/12那么剩下的 1-a/12需要乙丙完成需要的时间 =（ 1-a/12） /（ 1/12+1/15） =（ 1-a/12） /（ 3/20）根据题意（ 1-a/6） （ 1/10） =（ 1-a/12） （
17、3/20）将工作量看作单位 1甲的工作效率 =1/10乙的工作效率 =1/12丙的工作效率 =1/15甲乙丙合干完成 1间教室需要 1/（ 1/10+1/12+1/15）=4分钟两间教室都是一样的工作量，那么实际就是甲乙丙三人共同完成，上面已经解出完成 1间需要 4分钟，那么完成 2间需要 42=8 分钟，甲 8分钟完成1/108=4/5 ，那么丙需要完成 1-4/5=1/5所以丙帮甲（ 1/5） /（ 1/15） =3分钟那么丙帮乙 8-3=5分钟明明和乐乐在同一所学校学习，一天班主任老师问他俩各人的家离学校有多远。明明说： “我放学回家要走 10分钟 ”，乐乐说： “我比明明多用 4分钟到
18、家 ”。老师又问： “你俩谁走的速度快一些呢？ ”乐乐说： “我走得慢一些，明明每分钟比我多走 14米，不过，我回家的路程要比明明多 1/6 ”。班主任根据这段对话，很快算出他俩的路程。你会算吗解：设乐乐的速度为 x，则明明的速度（ x+14）。6/7*14x=10（ x+14）12x=10x+140x=70 明明：（ 70+14） *10=840（ m）乐乐：840*(1+1/6)=980（ m）明明和乐乐在同一所学校学习，一天班主任老师问他俩各人的家离学校有多远。明明说： “我放学回家要走 10分钟 ”，乐乐说： “我比明明多用 4分钟到家 ”。老师又问： “你俩谁走的速度快一些呢？ ”乐乐说： “我走得慢一些，明明每分钟比我多走 14米，不过，我回家的路程要比明明多 1/6 ”。班主任根据这段对话，很快算出他俩的路程。你会算吗解：设乐乐的速度为 x，则明明的速度（ x+14）。6/7*14x=10（ x+14）12x=10x+140x=70 明明：（ 70+14） *10=840（ m）乐乐：840*(1+1/6)=980（ m）
