1、1.3.1 函数的单调性一、教学目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性3、情态与价值，使
2、学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.二、教学重点与难点重点：函数的单调性及其几何意义难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 三、学法与教学用具1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。2、教学用具：投影仪、计算机.四、教学思路：（一）创设情景，揭示课题1 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：随 x 的增大，y 的值有什么变化？ 1能否看出函数的最大、最小值？ 2函数图象是否具有某种对称性？ 32 画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x)
3、 = x从左至右图象上升还是下降 _? 1在区间 _ 上，随着 x 的增 2大，f(x) 的值随着 _ （2）f(x) = -x+2从左至右图象上升还是下降 _? 1在区间 _ 上，随着 x 的增 2yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1大，f(x) 的值随着 _ （3）f(x) = x2在区间 _ 上， 1f(x)的值随着 x 的增大而 _ 在区间 _ 上，f(x)的值随 2着 x 的增大而 _ 3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变
4、化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质函数的单调性（引出课题） 。（二）研探新知1、y = x 2的图象在 y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数 y = x2在（0， +）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+）上的任意的 x1，x 2，当 x1x 2时，都有 x12x 22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。2增函数一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x
5、2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasing function） 3、从函数图象上可以看到，y= x2 的图象在 y 轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) 24函数的单调性定义如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间：（三）质疑
6、答辩，发展思维。根据函数图象说明函数的单调性例 1 如图是定义在区间5， 5上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：略例 2 物理学中的玻意耳定律 P= （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，V当其体积 V 减少时，压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。分析：按题意，只要证明函数 P= 在区间（0，+）上是减函数即可。证明：略3判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 任取 x1，x 2D，且 x1x2； 作差 f(x1)f(x 2)；变形（通常是因式分解和配方） ；定号（即
7、判断差 f(x1)f(x 2)的正负） ；下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 巩固练习：课本 P38 练习第 1、2、3 题； 1证明函数 在（1，+）上为增函数 2 xy例 3借助计算机作出函数 y =x 2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间解：（略）思考：画出反比例函数 的图象这个函数的定义域是什么？ 1它在定义域 I 上的单调性怎样？证明你的结论 2（四）归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论（五）设置问题，留下悬念1、教师提出下列问题让学生思考：通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？怎样用定义证明函数的单调性？师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。2、书面作业：课本 P45 习题 1、3 题（A 组）第 1-5 题。高考试题库
