1、第一章摇有理数J 1摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇第一章摇有理数1. 1摇正数和负数知识要点课标要求中考要求正数、负数的概念(1)通过生活中的实例,感受引入负数的必要性;(2)会判断一个数是正数还是负数(重点)识别正数和负数(了解)用正数和负数表示具有相反意义的量能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量(重点)用正数、负数表示生活中具有相反意义的量(运用)“0冶的意义明确“0冶的含义(难点)利用0的意义解决有关问题(了解)知识点1 摇正数和负数的概念摇 (重点)1正数:像3,1. 8%,3. 5这样大于0的数叫作正数.有时,
2、为了明确表达意义,在正数前面也加上“+冶(正号).2负数:像-3,-2. 7%,-4. 5,-1. 2这样在正数前面加上符号“-冶(负号)的数叫作负数.注意:不能简单地认为带“+冶的数就是正数,带“-冶的数就是负数.例如:以后将学到+(-3)不是正数,-(-5)也不是负数.3正负数的符号:一个数前面的“+冶“-冶叫作它的符号.4 0即不是正数,也不是负数.注意:虽然0前面没有“-冶,但0也不是正数.重点剖析摇 摇正数前面的“+冶(读作正号),通常可以省略不写,也可以写上,如+7,+0.01等;但负数前面的“-冶,不能省略不写,如-8,若不写“-冶,则为8,即为+8,意义截然不同.在表示某产品与
3、规定标准的差异时,为了强调“差异冶,在正数前面也加“+冶.知识拓展“+冶“-冶的多种含义“-冶作为性质符号,它就是负号;作为运算符号,它就是减号;在以后的学习中,我们还可以了解它的另一种功能表示一个数的相反数. “+冶作为性质符号,它就是正号;作为运算符号,它就是加号.知识点2 摇用正数和负数表示具有相反意义的量(重点)1相反意义的量包含两层含义:淤具有相反意义;于具有数量,如前进8米与前进3米,上升与下降都不是具有相反意义的量,因为前者意义不是相反的,后者没有数量.2常见的表示具有相反意义的名词:零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降等
4、.3用正、负数表示相反意义的量:为了表示具有相反意义的量,我们把其中一种意义的量规定为正,用正数表示;那么与它相反意义的量就可以用负数表示.例如:乒乓球比赛胜3局与败2局,如果规定胜为正,那么败为负,比赛结果可记为胜3局,胜-2局.注意:(1)与一个量成相反意义的量不止一个,如盈利9 000元,与它意义相反的量有很多,如亏损8 000元、亏损400元、亏损3.18元等,这就是说,具有相反意义的量,只要求意义相反,而不要求数量相等.(2)用正数、负数表示相反意义的量时,哪种意义为正,并不是固定的,如进口300箱可以记作-300箱,相应地,出口200箱可以记作+200箱.重点剖析摇 摇 (1)相反
5、意义的量是成对出现的,单独一个量不能成为相反意义的量.(2)具有相反意义的量必须是同类量,如盈利8 000元与出口200箱就不是相反意义的量.(3)用正数、负数表示具有相反意义的量时,基准的选法不同,表示的结果也不相同.比如从平地测山高为300 m,平地高出海平面50 m.若以平地为基准,则山高为+300 m,海平面的高度为-50 m;若以海平面为基准,则平地的高度为+50 m,山的高度为+350 m.知识拓展通常在生产图纸上,对每个产品的合格范围有明确的规定.例如:图纸上注明一个零件的直径是椎50+0. 03-0. 02,椎表示直径,单位是毫米(mm).这样标注表示的意义是零件直径的标准尺寸
6、是50 mm,实际产品的直径最大可以是(50 +0.03)mm,最小可以是(50-0.02)mm,在这个范围内的产品都是合格的.知识点3 摇 “0冶的意义摇 (难点)在小学,0表示“没有冶或者“空冶,引入负数以后,0表示正数与负数的分界.例如在温度计上,0 益不是表示没有温度,而是表示冰点,它是一个确定的温度.重点剖析摇 摇 (1)“0冶不再是我们以往认识中的“最小数冶,而是变成了正数和负数的分界线.(2)“0冶是自然数,是最小的自然数,“0冶也是整数.七年级数学(上)摇 RJ版J 2摇基础类题型1 摇正、负数的判断题型典例髴 摇下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?-15,-0.02, 67
7、,- 171,4,-2 13 ,1.3,0,3.14,仔.思路导引:可以根据定义来判断一个数是正数还是负数,还可以和0去比较;在正数前面加上“-冶就是负数.解:正数: 67 ,4,1.3,3.14,仔;负数:-15,-0.02,- 171,-2 13 .易错警示摇 摇判断正数、负数时不能只根据符号来判断,而应根据正数、负数的实质:正数大于0,正数前面加一个“-冶为负数;0既不是正数也不是负数.题型2 摇用正、负数表示具有相反意义的量揖出题角度1铱将正、负数用相反意义的量表示题型典例髵 摇 (1)如果把公元2013年记作+2013年,那么-240年表示摇 摇 摇 摇 ;(2)若把比海平面高规定为
8、正,则+25 m表示摇 摇 摇摇 ,0 m表示摇 摇 摇 摇 .思路导引:公元和公元前、比海平面高和低都具有相反意义,因此可以用正、负数来表示相反意义的量.答案:(1)公元前240年摇 (2)比海平面高25 m摇与海平面一样高.易错警示摇 摇用正、负数表示具有相反意义的量时,要弄清符号与实际意义之间的关系,符号不能弄错,还要注意带上单位.揖出题角度2铱将相反意义的量用正、负数表示题型典例髶 摇某水库正常水位为30 m,高出正常水位记为正数,记录表上有5次记录分别为+1. 5,0,+2.8,-5,-2. 3,这5次记录表示的实际水位分别是摇 摇 摇 摇 摇 .思路导引:正数表示高出正常水位,则负
9、数表示低于正常水位,0表示与正常水位持平.答案:31.5 m,30 m,32.8 m,25 m,27.7 m.方法总结摇 摇 (1)用正数、负数表示具有相反意义的量,通常把“向东、高出海平面、零上温度冶等规定为正,则与它们具有相反意义的“向西、低于海平面、零下温度冶等表示为负. (2)正、负数表示的基准通常为“0冶,但应注意并不是所有的基准都必须为“0冶,比如本题中某水库的水位定为30 m为基准量.题型3 摇对正数、负数和0的意义的考查题型典例髷 摇下列说法中正确的是(摇 摇 ).A.一个数不是正数就是负数B.0是最小的数C.正数都比0大D.负数前面的“-冶可以省略思路导引:A项中0既不是正数
10、也不是负数;B项中负数都比0小,因此0不是最小的数;D项中负数前面的“-冶如果省略,就会变成正数,因此不能省略.答案:C.点拨:0是正数与负数的分界,0既不是正数也不是负数.题型4 摇正数、负数在实际生活中的应用问题题型典例髸 摇加工一根轴,图纸上注明它的直径是椎30+0. 03-0. 02(单位:mm).请问:这种零件直径的标准尺寸是多少?合格产品的最大直径是多少?最小直径又是多少?思路导引:题中椎30+0. 03-0. 02表示产品直径的标准尺寸是30 mm,以标准尺寸为基准,+0.03表示合格产品直径最大不超过标准尺寸0. 03 mm;同样,-0. 02表示合格产品直径最小不小于标准尺寸
11、0.02 mm.解:30+0.03=30.03(mm),30-0.02=29.98(mm).所以这种零件直径的标准尺寸是30 mm,合格产品的最大直径是30.03 mm,最小直径是29.98 mm.点拨:误差也可以用正、负数来表示,正表示超过标准值,负表示不足标准值.题型典例髺 摇甲村旁有一条南北走向的柏油马路,如果乙村在甲村南1 km,丙村在甲村北2 km,怎样用正数、负数和0表示这三个村子的正确位置?思路导引:三个村子的位置如图1-1-1,为了用正数、负数和0表示三个村子的位置,可模仿温度计上表示气温的办法,先选一个村子作为基准点,再确定另两个村子的位置,答案不唯一.图1-1-1解:如图1
12、-1-1,如果选甲村作为基准点,向南为正,向北为负,则甲村的位置为0 km,乙村的位置为+1 km,丙村的位置为-2 km.如图1-1-1,如果选乙村作为基准点,向南为正,向北为负,则乙村的位置为0 km,甲村的位置为-1 km,丙村的位置为-3 km.如图1-1-1,如果选丙村作为基准点,向南为正,向北为负,则丙村的位置为0 km,甲村的位置为2 km,乙村的位置为3 km.点拨:此类题一定要先确定基准点和正方向,再表示各个建筑的位置.综合类题型5 摇图表信息题题型典例髼 摇长江某水文站的水位达到12 m时为警戒水位,如果超过警戒水位1 m,记作+1 m,那么低于警戒水位0.6 m,记作摇
13、摇 摇 摇 m.观察某年7月1日至7月5日该水文站水位记录表,并回答问题.日期7月1日7月2日7月3日7月4日7月5日水位/ m -0.80 0 0.38 0.50 0.96(1)哪一天的水位最高?最高水位是多少?第一章摇有理数J 3摇(2)哪一天的水位最低?最低水位是多少?(3)这五天中,有多少天的水位超过警戒水位?思路导引:负数表示低于警戒水位,正数表示超过警戒水位.解:-0.6.(1)7月5日水位最高,为12.96 m.(2)7月1日水位最低,为11.20 m.(3)这五天中有3天的水位超过警戒水位.点拨:“+冶在运算时可以看作加号,“-冶在运算时可以看作减号.本节的主要考点是正数、负数
14、的意义以及用正数、负数表示具有相反意义的量,在中考中多以选择题、填空题的形式出现,考题越来越生活化,趋向考查数学知识在实际生活中的应用,且题目一般比较简单.考法一摇正、负数的判断中考典例髴 摇 -1,0,0.2, 17 ,3中正数一共有摇 摇 摇 摇个.2012山东德州中考9题4分摇思路导引:根据正数的定义可知0. 2, 17 ,3为正数,共有3个.答案:3.点拨:根据正数和负数的概念,对每一个数一一分析,作出正确的判断.揖变式演练1铱下列各数中,为负数的是(摇 B摇 ).A.0摇 摇 摇 B. -2摇 摇 摇 C.1摇 摇 摇 D. 122012河北中考1题2分摇思路导引:0既不是正数也不是
15、负数,而1和12均是正数,只有-2是负数.考法二摇利用正、负数表示具有相反意义的量中考典例髵 摇如果规定收入为正,支出为负,收入500元记作500元,那么支出237元应记作(摇 摇 ).A. -500元摇 摇 B. -237元摇 摇 C.237元摇 摇 D.500元2012四川乐山中考1题3分摇思路导引:收入与支出具有相反意义,题中已经规定收入记作正,因此支出记为负.答案:B.揖变式演练2铱如果零上2 益记作2 益,那么零下3 益记作(摇 A摇 ).A. -3 益 B. -2 益 C. +3 益 D. +2 益2012浙江丽水中考3题2分摇思路导引:零上与零下具有相反意义,所以零下3 益记作-
16、3 益.揖变式演练3铱若向东走5米记作+5米,则向西走5米应记作摇 -5摇米.2012湖南常德中考1题3分摇思路导引:规定向东为正,则向西为负,故向西走5米,记作-5米.1. 2摇有理数1. 2. 1摇有理数知识要点课标要求中考要求有理数的概念了解有理数的相关概念(重点)能对有理数的相关概念进行判断(了解)有理数的分类能对具体的有理数进行分类(难点)对有理数进行分类(运用)知识点1 摇有理数的有关概念摇 (重点)1整数:正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等.2分数:正分数、负分数统称为分数,如+1 12 ,0. 18,-1.35,- 23等.3有理数:整数和分数统称为有
17、理数.注意:有理数只包括整数和分数,无限不循环小数不是有理数,如圆周率仔不是有理数.重点剖析摇 摇 (1)引入负数后,数的范围扩大到了有理数,整数和分数中都有负数.(2)引入负整数后,小学学过的奇数和偶数的范围也扩充了.知识拓展几种常用数学名词的含义正整数:既是正数,又是整数的数;负整数:既是负数,又是整数的数;正分数:既是正数,又是分数的数;负分数:既是负数,又是分数的数;非负数:正数和0;非正数:负数和0;非负整数:正整数和0;非正整数:负整数和0.知识点2 摇有理数的分类摇 (难点)摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇摇摇摇摇摇摇 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪
18、詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪 詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪摇 摇有理数的分类分类标准有两个:一分整数和分数,二分0、正、负有理数;不管何种标准分,正负分数最底层,加上正负整数、0.1按定义对有理数进行分类:有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数七年级数学(上)摇 RJ版J 4摇2按性质对有理数进行分类:有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数注意:(1)有理数的分类标准必须一致,要么按定义分,分成整数和分数,要么按性质分,分成正有理数、0、负有理数,二者不能混为一谈.(2)无论按哪一种标准分类,都必须做到分类结果不重不漏,即任意一个有理数都一定属于某一类,并且只属于这一类.重点剖析摇
19、摇 (1)0既不是正数也不是负数,它是整数,也是非负数、非负整数、自然数.有限小数和无限循环小数都是分数,如0.1,-3.141 592 6,3. 4.(2)如果把整数看作分母是1的分数,这时分数就包含了整数,注意本章研究的分数是指分母不等于1的分数.(3)所有正整数组成正整数集合,所有负整数组成负整数集合.基础类题型1 摇有理数的有关概念题型典例髴 摇下列说法正确的个数是(摇 摇 ).淤 0是最小的整数;于一个有理数,不是正数就是负数;盂有理数包括整数、零、分数;榆 a是正数,-a是负数;虞自然数一定是正数;愚整数包括正整数和负整数及0;舆非正数就是负数和0.A.0摇 摇 摇 摇 摇 B.1
20、摇 摇 摇 摇 摇 C.2摇 摇 摇 摇 摇 D.3思路导引:本题考查了有理数的定义及有理数的分类,0是一个非常重要的数,整数中有0,非正数中有0,有理数中也有0;由有理数的概念可知,整数和分数统称为有理数;单独的一个字母a可以表示任意的一个数,可以是正数、0、负数,故只有愚 舆正确.答案:C.题型2 摇有理数分类的考查题型典例髵 摇把下列各数填入表示它属于的集合的圈内:-22,-仔,- 13 , 14 , 12 ,-5 23 ,-7. 3, 仔2 ,3,369 ,0. 1,1,300,9,-374 .思路导引:明确各数集的意义,对每个数据逐一判断.解:方法总结摇 摇填数集有两种方法:(1)逐
21、个考察给出的数,看它是什么数,即是否属于某一或某几个集合,如果属于,就可以填入相应的集合内,例如:-22属于负数集、整数集、有理数集、负有理数集,故-22分别填入这4个集合中;(2)逐个填写相关的集合,从给出的数中找出属于这个集合的数,例如要填写分数集,只要从给出的数中找出所有的分数,将它们依次填入分数集就可以了.综合类题型3 摇多个数集中数的关系题型典例髶 摇如图1-2. 1-1,两个椭圆分别表示正数集合和整数集合.请在每个椭圆内填入6个数,要求其中有3个数既是正数又是整数,那么这三个数应填在摇 摇 摇 摇处(填A,B,C).你能说出两个椭圆重叠部分表示什么数的集合吗?图1-2.1-1 摇
22、摇 摇 摇图1-2.1-2思路导引:正数包括不是有理数的正数、正分数和正整数,整数包括正整数、0和负整数.因此这两个椭圆的重叠部分是正数和整数的公共部分,即A处应是正整数集合.解:如图1-2.1-2,这三个数应填在A处,两个椭圆的重叠部分是正整数集合. (填数不唯一,只要符合条件即可)点拨:正数和整数的区别:正数是相对于负数而言的,而整数是相对于分数而言的.第一章摇有理数J 5摇题型4 摇探究规律题图1-2.1-3题型典例髷 摇图1 -2. 1 - 3是2013年9月份的日历,像图中那样用一个十字框在图中任意圈住五个数,如果中间的数是9,则圈住的五个数字的和为摇 摇 摇 ;如果中间的数是12,
23、则圈住的五个数字的和为摇 摇 摇 ;如果中间的数是a,则圈住的五个数字的和为摇 摇 摇 .题眼直击:日历中上下两数之差、左右两数之差.思路导引:认真观察,不难发现当中间的数为9时,这五个数分别为9-1、 9、 9+1、 9-7、 9+7,它们的和为45.同理,如果中间的数是12,则圈住的五个数字的和为60.当中间的数为a时,这五个数分别为a-1、 a、 a+1、 a-7、 a+7,它们的和为5a.答案:45摇 60摇 5a.方法总结摇 摇日历中的数字规律:观察日历,很容易发现十字框在图中任意圈住的五个数,右面的数比中间的那个大1,左面的数比中间的那个小1,上面的数比中间的那个小7,下面的数比中
24、间的那个大7.本节的考点主要是有理数的概念及其分类,中考单独考查本节内容的考题不多,多数是将其融入实数和其他内容中综合考查,有时也考查数字规律探索的知识,多以选择题和填空题的形式出现.考法一摇有理数的分类中考典例髴 摇下列说法错误的是(摇 摇 ).A. -0.5是负分数B.零不是正数也不是负数C.整数与分数称为有理数D.正有理数与负有理数组成全体有理数2013河北石家庄模拟摇思路导引:-0.5是负数也是分数,所以-0. 5是负分数,故A正确;零不是正数也不是负数,所以B正确;整数与分数称为有理数是有理数的定义,所以C正确;有理数按照正负性分为正有理数、0和负有理数,所以选项D错.答案:D.揖变
25、式演练1铱下列关于“0冶的说法:淤在有理数中,0的意义仅表示没有;于 0不是正数,也不是负数,但是有理数;盂 0是最小的整数;榆 0是偶数,正确的个数是(摇 B摇 ).A.1摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 B.2C.3 D.42013江苏苏州模拟摇思路导引:0是一个不可缺少的数,在数的概念和计算中起着十分重要的作用,0的一个意义是表示“没有冶,还可以具有实际的意义,例如在温度计上,0 益不是表示没有温度,它是一个确定的温度;它不是正数,也不是负数,但它是整数、偶数,也是有理数,所以淤 盂错,于 榆正确,所以正确答案是B.1. 2. 2摇数轴知识要点课标要求中考要求数轴理解并掌握数轴的概念(重点
26、)数轴的概念及画法(掌握)有理数与数轴上点的关系掌握数轴上的点与有理数的对应关系(重点) (1)在数轴上表示有理数(掌握);(2)说出数轴上的点表示的数(理解)知识点1 摇数轴摇 (重点)1定义:在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫作数轴,它满足以下要求:(1)直线上任取一点表示数0,这个点叫作原点;(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示1,2,3, ;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3, .如图1-2.2-1.图1-2.2-1摇 摇注意:(1)数轴是
27、一条直线,可以向两端无限延伸.(2)数轴具有三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可.2画法:(1)一画:画一条直线(一般画成水平或竖直的直线);(2)二定:在直线上任取一点为原点,并用这点表示0(在原点下方或左边标上“0冶);(3)三选:确定正方向(一般规定向右或向上为正方向),用箭头表示出来;(4)四标:选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3, ;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3, .注意:(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取,确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长
28、度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,如图1 -2.2-2.图1-2.2-2(2)单位长度中代表“1冶的线段,可以以1 cm长的线段代表“1冶,也可以以1.5 cm长的线段代表“1冶,在实际问题中,甚至更长或更短的线段代表“1冶.(3)在同一条数轴上单位长度的大小必须统一,选定后就不能再随意改动了.七年级数学(上)摇 RJ版J 6摇学法指南画数轴时常见的几种错误淤没有正方向(如图1-2.2-3);图1-2.2-3于没有原点(如图1-2.2-4);图1-2.2-4盂单位长度不统一(如图1-2.2-5);图1-2.2-5榆负数排列错误(如图1-2.2
29、-6).图1-2.2-6知识点2 摇数轴上的点与有理数的关系摇 (难点)所有的有理数都可用数轴上的点来表示,但是反过来不成立,即数轴上的点并不是都表示有理数.具体如下:1正有理数可以用数轴上原点右边(或上边)的点表示.2负有理数可以用数轴上原点左边(或下边)的点表示.3 0用原点表示.4原点左边(或下边)的点表示负数,右边(或上边)的点表示正数.基础类题型1 摇数轴的概念及画法题型典例髴 摇下列图形中,所画数轴正确的是(摇 摇 ).思路导引:B选项中负数的顺序错误,C选项中没有原点,D选项中没有正方向.答案:A.点拨:画数轴的过程中,一定要抓住数轴的三要素,缺少任意一个,画出来的图形都不是数轴
30、.题型2 摇根据点在数轴上的位置确定数题型典例髵 摇如图1-2.2-7,在数轴上,点A,B,C,D依次表示什么数.说出各点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度.图1-2.2-7思路导引:数轴上原点表示0,原点左边为负数,右边为正数,结合点所对应的位置确定具体的数及与原点的距离.解:点A表示数1.5,位于原点右边,与原点的距离是1. 5个单位长度;点B表示数-2,位于原点左边,与原点的距离是2个单位长度;点C表示数2,位于原点右边,与原点的距离是2个单位长度;点D表示数-2.5,位于原点左边,与原点的距离是2. 5个单位长度.点拨:(1)表示数2,-2的点分别在原点的两侧,与原点的距
31、离都是2个单位长度;(2)距离没有负数.题型3 摇用数轴表示有理数题型典例髶 摇画出数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:4,-2,-4.5,1 13 ,0.思路导引:先按数轴的画法画出数轴,-2,-4.5为负数,在原点的左边;4,1 13为正数,在原点的右边;0为原点,再由它们到原点的距离标出相应的点.解:如图1-2.2-8.图1-2.2-8方法总结摇 摇把有理数表示在数轴上的步骤:(1)确定所找点与原点的位置关系(左负右正原点零);(2)确定具体位置,即去掉符号后的数值为这点到原点的距离.题型4 摇数轴上点的移动与数值大小的关系题型典例髷 摇点P从数轴的原点开始,分别按下列条件移动后到达终
32、点,说出点P在终点时所表示的数.(1)向右移动3个单位长度,再向右移动4个单位长度;(2)向左移动2个单位长度,再向左移动2个单位长度;(3)先向右移动2个单位长度,再向左移动3个单位长度;(4)先向左移动3个单位长度,再向右移动3个单位长度.思路导引:利用数形结合的思想,借助数轴将点P的运动情况直观地反映在数轴上,其结果一目了然.解:用图示法将点P的运动情况反映在数轴上.(1)如图1-2.2-9,终点表示7.图1-2.2-9(2)如图1-2.2-10,终点表示-4.图1-2.2-10(3)如图1-2.2-11,终点表示-1.图1-2.2-11(4)如图1-2.2-12,终点表示0.图1-2.
33、2-12点拨:画出图形,结合图形观察点的运动路线,可以较为直观地得出结果.综合类题型5 摇利用数轴解决实际问题题型典例髸 摇王晓涵家、学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上,家在学校东面500 m处,书店在学校西面200 m处,王晓涵从学校向东走了150 m,又向东走了-350 m,你能说出王晓涵现在的位置吗?第一章摇有理数J 7摇思路导引:题中涉及三个地点,王晓涵走来走去很乱,如果将三个地方的位置在一条数轴上表示出来,问题就会变得很清晰.若以学校为原点,以东面为正,则家在+500 m处,书店在-200 m处.王晓涵向东走了150 m,到达+150 m处,又向东走了-350 m,即向西走了3
34、50 m,到达-200 m处,在数轴上把王晓涵的运动轨迹画出来,问题就迎刃而解了.解:如图1-2.2-13,以学校为原点,以东面为正方向画数轴,则家在+500 m处,书店在-200 m处.王晓涵向东走了150 m,又向东走了-350 m,到达-200 m处,即王晓涵在书店的位置.图1-2.2-13方法总结摇 摇解此类题时可以将某一地点定为原点,令向东为正方向,某一长度为单位长度,借助数轴阅读出其他地点的位置,画出运动示意图,然后再转化为实际问题.题型6 摇分类讨论思想在数轴中的应用题型典例髺 摇 (1)在数轴上,表示-1和3的两点之间的距离是摇 摇 摇 摇 ;(2)在数轴上,表示摇 摇 摇的点
35、,到表示-2的点的距离为3.题眼直击:数轴上点的表示、分类讨论.思路导引:解这两道题应先画出数轴,如图1-2. 2-14.在(1)题中找到表示-1的点和3的点,即可求出距离为4;(2)题先找到表示-2的点,再在点-2的左、右两侧找与它距离为3的点,左侧为-5,右侧为1.图1-2.2-14摇 摇答案:(1)4. (2)-5或1.点拨:利用数轴可直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题,数轴把数与直线上的点直观形象地联系起来,体现了数形结合的思想方法.数轴是中考考查的热点之一,近年来主要考查数轴的数形结合思想的运用,常与后面的相反数及绝对值的知识综合起来考查,多以填空题、选择题的形式出现,难
36、度一般不大.考法一摇判断数轴上的点所表示的数中考典例髴 摇如图1-2. 2-15,在数轴上点M表示的数可能是(摇 摇 ).图1-2.2-15A.1.5摇 摇 摇 B. -1.5摇 摇 摇 C. -2.4摇 摇 摇 D.2.42012山东莱芜中考1题3分摇思路导引:由数轴知,点M所代表的数在-3与-2之间,选项中只有C符合条件,故选C.答案:C.揖变式演练1铱如图1-2.2-16,点M表示的数是(摇 D摇 ).图1-2.2-16A.2.5 B. -1.5 C. -2.5 D.1.52013湖南岳阳模拟摇考法二摇数轴上两点之间的距离中考典例髵 摇小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街
37、上,星期天老师到这三家进行家访,从学校出发先向东走250 m到小明家,后又向东走350 m到小兵家,再向西行800 m到小颖家,最后又回到学校.(1)以学校为原点,画出数轴并在数轴上分别表示出小明、小兵、小颖家的位置.(2)小明家距离小颖家多远?(3)这次家访,老师共行走了多少千米的路程?2013江苏无锡模拟摇解:(1)以向东为正方向,100 m为单位长度,可建立数轴,如图1-2.2-17.图1-2.2-17(2)小明家距离小颖家450 m.(3)250+350+800+200=1 600(m)= 1.6 km,所以这次家访,老师共行走了1.6 km的路程.揖变式演练2铱在数轴上到原点距离等于
38、2的点所表示的数是(摇 C摇 ).A. -2 B.2 C. 依2 D.不能确定2012山东济宁中考1题3分摇思路导引:在数轴上到原点距离等于2的点如图,点A,B即为所求,即在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是-2和2.(第2题图)点拨:在数轴上到原点的距离大于0的点应该有两个.揖变式演练3铱如图1-2.2-18,数轴上的点P表示的数是-1,将点P向右移动3个单位长度得到点P忆,则点P忆表示的数是摇 2摇 .图1-2.2-182012江苏泰州中考10题3分摇思路导引:在数轴上将点P按要求进行移动,则最终刚好落到表示2的点的位置.1. 2. 3摇相反数知识要点课标要求中考要求相反数的概念及意义
39、能初步理解相反数的概念,给出一个数能求出它的相反数(重点)求一个数的相反数(掌握)多重符号的化简根据相反数的意义化简双重符号(重点、难点)化简双重符号(掌握)七年级数学(上)摇 RJ版J 8摇知识点1 摇相反数的概念及其表示摇 (重点摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇摇摇摇摇 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪 詪詪詪詪詪 詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪)求数相反数,符号是标识,数字不变化,符号不一样;零是特殊数,求反自己扛.1几何意义:互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧;反之,位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为
40、相反数.2代数意义:像2和-2,5和-5这样,只有符号不同的两个数叫作互为相反数.注意:(1)“只有符号不同冶中“只有冶是指除了符号不同之外,其他部分完全相同,不能理解为符号不同的两个数互为相反数.例如:-3和+1,符号相反,但不互为相反数;而-3和+3,-1和+1互为相反数.(2)相反数是成对存在的,一个数是另一个数的相反数,反过来另一个数也是这个数的相反数,不能说某个数是相反数.如:“-3是一个相反数冶这句话是不对的.3相反数的表示:一般地,a和-a互为相反数.特别地,0的相反数是0,这里a表示任意一个数,可以是正数、负数,也可是0.注意:带负号的数不一定是负数.例如,如果a = -2,那
41、么-a表示-2的相反数,应为2.重点剖析摇 摇任何一个数都有相反数,而且只有一个相反数,正数的相反数一定是负数;负数的相反数一定是正数;0的相反数仍是0.知识点2 摇多重符号的化简摇 (重点、难点)摇 摇 揖衔接知识铱相反数的意义是化简带“-冶的多重符号的依据:如“-(-2)冶表示-2的相反数,所以-(-2)= 2.多重符号化简的两种方法:(1)采用同号得正,异号得负逐步由内向外化简. (2)把所有的“+冶去掉,由“-冶的个数决定.如果“-冶的个数是奇数,则结果为“-冶;如果“-冶的个数是偶数,则结果为“+冶.重点剖析摇 摇表示一个数的相反数时,如果这个数本身就含有多重符号,那么在表示的时候一
42、定要先将这个数加上括号,然后再添上负号.基础类题型1 摇相反数的概念题型典例髴 摇下列说法中正确的是(摇 摇 ).A. -3是相反数B. -3 13与+2互为相反数C. - 52与- 25互为相反数D. - 16的相反数是16思路导引:选项A没有考虑到相反数是成对出现的,故错误;选项B,只有符号不同其他都相同的两数才能互称为相反数,故错误;选项C,同正(或同负)的两个数一定不互为相反数,故错误;选项D,符合相反数的定义.故选D.答案:D.方法总结摇 摇判断两个非0的数是否互为相反数,可以分两步:(1)观察两个数的符号,看其是否相反,如果符号相同,则这两个数肯定不互为相反数;(2)如果两个数的符
43、号相反,再看符号后边的数是否相同,若数字相同(相等的小数和分数是同一个数),则两个数互为相反数,否则不互为相反数.题型2 摇求一个数的相反数题型典例髵 摇 (1)-5 89的相反数为摇 摇 摇 摇 ;(2)2m是摇 摇 摇 摇的相反数;(3)x-y的相反数为摇 摇 摇 摇 ;(4)仔-3的相反数是摇 摇 摇 摇 .思路导引:(1)去掉“ -5 89 冶的“ -冶即可得到它的相反数5 89 ;(2)在“2m冶前添加一个“-冶即可得到它的相反数-2m;(3)将“x-y冶用括号括起来,前面加“-冶,即可得到它的相反数-( x-y);(4)将“仔-3冶用括号括起来,前面加“-冶,即可得到它的相反数-(
44、仔-3).答案:(1)5 89 . (2)-2m. (3)-(x-y). (4)-(仔-3).方法总结摇 摇求一个数的相反数的方法:(1)求一个具体数字的相反数时,只需改变这个数字前面的符号,其他部分不变;(2)求一个字母或数与字母的积的相反数时,只需改变字母或数与字母的积前面的符号,其他部分不变; (3)求一个式子(如x-y)的相反数时,只需将这个式子用括号括起来,在括号前面加上“-冶.题型3 摇多重符号的化简题型典例髶 摇化简下列各数:(1)-(-5);(2)-(+5);(3)+(-8);(4)- - + 1( ) 3 ;(5)- - - 1( ) 3 ;(6)+ - -4 1( ) 3
45、.思路导引:在一个数的前边加一个“+冶,“+冶可以省略,仍然与原数相同,如+(-8)= -8;在一个数的前边加一个“-冶,就成为原数的相反数,如- ( - 5)就是- 5的相反数,因此-(-5)= 5.解:(1)-(-5)= 5.(2)-(+5)= -5.(3)+(-8)= -8.(4)- - + 1( ) 3 =+ + 1( )3 = 13 .(5)- - - 1( ) 3 =- + 1( )3 =- 13 .(6)+ - -4 1( ) 3 =+ +4 1( )3 =4 13 .第一章摇有理数J 9摇方法总结摇 摇多重符号的化简的方法:当一个数前面全是“+冶时,化简结果为正;当一个数前面有
46、偶数个“-冶时,化简结果为正;当一个数前面有奇数个“-冶时,化简结果为负.题型4 摇利用相反数的概念求未知数的值题型典例髷 摇已知2x-3与-5互为相反数,求x的值.思路导引:本题有两种解题思路,思路一:由于5与-5互为相反数,令2x-3=5,从而可求出x的值;思路二:根据互为相反数的两个数的和为0,可得方程(2x-3)+(-5)= 0,解方程求得x的值.解:方法一:因为5与-5互为相反数,所以2x-3 = 5,故x=4.方法二:因为2x-3与-5互为相反数,所以(2x-3) +(-5)= 0.故x=4.易错警示摇 摇利用相反数的概念列式时,不要弄反了符号.综合类题型5 摇相反数几何意义的综合
47、应用题型典例髸 摇已知A,B两点所表示的数互为相反数, A,B之间的距离是8,那么点A和点B各表示什么数(B在A的左边)?思路导引:因为A,B两点表示的数互为相反数且A,B之间的距离是8,所以A,B位于原点的两侧,且距原点的距离都是4.再由A,B的位置可知点A,B表示的数.解:点A表示4,点B表示-4.点拨:在数轴上,互为相反数的两个点到原点的距离相等,反之也成立.题型典例髺 摇点A在数轴上,若将A点向左移动4个单位长度,再向右移动2个单位长度,此时A点所表示的数是原来的A点所表示的数的相反数,原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来.思路导引:因为A点向左移动4个单位长度,再向
48、右移动2个单位长度后在原来位置的左边2个单位长度处,而移动前后的两个点表示一对相反数,则这两点在原点的两旁且与原点相距1个单位长度.图1-2.3-1解:如图1-2.3-1,用B点表示A点移动后的位置,则AB = 2.因为A,B表示一对相反数,所以原点O是AB的中点,AO=BO,所以A点表示1.点拨:利用数轴画图求解,既直观又准确.题型6 摇相反数的应用图1-2.3-2题型典例髼 摇将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入如图1-2. 3-2的方阵的9个方格中,使得横、竖、斜对角的3个数相加都得0.摇 摇思路导引:解:如图1-2.3-3(答案不唯一).图1-2.3-3相反数的
49、概念及表示是中考命题的热点之一,考查方式比较灵活,常以选择题、填空题的形式出现,可单独直接考查,也可与其他知识综合考查,难度一般不大.考法一摇相反数的概念中考典例髴 摇如图1-2.3-4,数轴上表示数-2的相反数的点是(摇 摇 ).图1-2.3-4A.点P摇 摇 B.点Q摇 摇 C.点M摇 摇 D.点N2012湖北宜昌中考6题3分摇思路导引:从数轴可以看出N表示的数是-2,M表示的数是-0.5,Q表示的数是0.5,P表示的数是2.因为-2的相反数是2,所以数轴上表示数-2的相反数的点是点P,故选A.答案:A.点拨:根据数轴得出N,M,Q,P表示的数,求出-2的相反数,即可得出正确答案.揖变式演练1铱-9的相反数是(摇 D摇 ).A. - 19 摇 摇 摇 摇 B. 19 摇 摇 摇 摇 C. -9摇 摇 摇 摇 D.92012北京中考1题4分摇揖变式演练2铱一个数a的相反数是5,则a等于(摇 D摇 ).A. 15 B.5 C. - 15 D. -52012黑龙江大庆中考改编1题2分考法二摇多重符号的化简中考典例髵 摇 -(-2)的值是(摇 摇 ).A. -2 B.2 C. 依2 D.42012贵州遵义中考1题3分摇思路导引:本题可看作
